Sitemap – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Diese Seite listet alle Kapitel des Projekts „Mathe für Nicht-Freaks“ auf. Diese Seite dient zur Übersicht und aus ihr werden die komplette Navigation und die Inhaltsverzeichnisse der einzelnen Bücher generiert.
| Symbol | Bedeutung |
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| roter Link | Link auf ein Kapitel, welches noch nicht existiert und welches noch geschrieben werden muss. |
| blauer Link | Kapitel wurde bereits angelegt und enthält Inhalt. |
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Fortschritt 0% – Kapitel besitzt keinen oder kaum Inhalt. Das Kapitel muss neu geschrieben bzw. ergänzt und überarbeitet werden. |
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Fortschritt 25% – Kapitel befindet sich in der Entwicklung, muss aber noch wesentlich ergänzt werden. |
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Fortschritt 50% – Wesentliche Inhalte sind vorhanden, es müssen aber noch wichtige Inhalte hinzugefügt werden (oft befinden sich auf der Seite ToDo-Hinweise, was noch ergänzt werden muss). |
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Fortschritt 75% – Kapitel ist inhaltlich fertig, muss aber noch überarbeitet werden (Korrektur von Rechtschreibfehlern, Formulierungen so verändern, dass sie verständlicher sind oder besser klingen. Unnötige und unpassende Füllwörter wie „auch“ entfernen). |
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Fortschritt 100% – Kapitel ist inhaltlich fertig und wurde mindestens einmal Korrektur gelesen. Aber auch diese Kapitel kannst du Korrektur lesen. Sprich: Rechtschreibfehler korrigieren und Formulierungen verbessern. Auch diese Kapitel können (wie alle anderen) inhaltlich ergänzt werden. |
Was ist Mathematik?
BearbeitenEinführung in die Logik
Bearbeiten- Logik und Aussagen
- Junktoren
- Aussagenlogik
- Wahrheitstabelle
- Tautologien
- Quantoren
- Aussageform und Substitution
- Prädikatenlogik
- Aussagen formalisieren
- Aussagen negieren
- Klassenlogik
- Gesetze der Logik
- Aufgaben
Beweise und Beweismethoden
Bearbeiten- Was sind Beweise?
- Direkter und indirekter Beweis
- Fallunterscheidung und Kontraposition
- Notwendige und hinreichende Bedingungen
Vollständige Induktion
BearbeitenMengenlehre
Bearbeiten- Definition einer Menge
- Mengenschreibweisen
- Euler- und Venn-Diagramme
- Teilmenge und echte Teilmenge
- Potenzmenge
- Leere Menge und Allklasse
- Mengenverknüpfungen
- Durchschnitt von Mengen
- Vereinigung von Mengen
- Differenz, symmetrische Differenz und Komplement
- Boolesche Algebra
- Disjunkte Mengen
- Tupel und geordnetes Paar
- Kartesisches Produkt
- Formeln der Mengenlehre
- Russells Antinomie und Klassen
- Axiomatische Mengenlehre
Relationen
Bearbeiten- Relationen
- Binäre Relationen
- Eigenschaften binärer Relationen
- Äquivalenzrelationen
- Ordnungsrelationen
Abbildungen
BearbeitenMächtigkeit von Mengen
BearbeitenGleichungsumformungen
BearbeitenSumme, Produkt und Fakultät
Bearbeiten- Summe und Produkt
- Gaußsche Summenformel
- Geometrische Summenformel
- Eigenschaften für Summe und Produkt
- Fakultät
Binomialkoeffizient
BearbeitenAnhang
BearbeitenWas ist Analysis?
BearbeitenWas sind reelle Zahlen?
Bearbeiten- Todo: Die Addition wird mit einer Subtraktion erklärt. Es sollte zunächst eine Addition mit zwei positiven Zahlen erklärt werden. -- Stephan Kulla 23:33, 23. Okt. 2017 (CEST)
Körperaxiome
BearbeitenAnordnungsaxiome
BearbeitenVollständigkeit reeller Zahlen
Bearbeiten- TODO: In dem Artikel Mathe für Nicht-Freaks: Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit gibt es im ersten Abschnitt einen Link zu einem Wikipedia-Artikel. Hier muss man sich überlegen, ob wir diesen Beweis selbst führen wollen oder wie wir den Link in der Druckversion gestalten wollen.
- TODO: Ich bin nach wie vor der Meinung, dass dieser Abschnitt in ein Ausblickskapitel gehört, und nicht vorangestellt werden sollte! who2010
- TODO: Aus einem Feedback "Beim Archimedischen Axiom wird das Axiom negiert, um seine Bedeutung besser zu erklären. Ich tat mir hierbei recht schwer herauszulesen, ob dann im weiteren Verlauf immer noch die Rede von der negierten Version oder der normalen war. "
Die komplexen Zahlen
Bearbeiten- Einleitung und Motivation
- Definition komplexer Zahlen
- Betrag und Konjugation
- Polardarstellung
- Darstellung komplexwertiger Funktionen
- Aufgaben
Supremum und Infimum
Bearbeiten- Supremum und Infimum
- Uneigentliches Supremum und Infimum
- Supremum und Infimum bestimmen und beweisen
- Eigenschaften Supremum und Infimum
- TODO: Das Supremumsaxiom
- TODO: Das Supremumsaxiom
Wurzel reeller Zahlen
Bearbeiten- Wurzel reeller Zahlen
- Lösungen von Potenzgleichungen
- Rechenregeln
- Verallgemeinerte Potenzen
- Aufgaben
Folgen
Bearbeiten- TODO: Abschnitt zu Eigenschaften könnte man in ein extra Kapitel verschieben
Konvergenz und Divergenz
Bearbeiten- TODO: Artikel umstrukturieren, erst allgemeines Vorgehen erklären, unabhängig davon, ob Konvergenz oder Divergenz gezeigt werden soll
- Beispiele für Grenzwerte
- Unbeschränkte Folgen divergieren
- Grenzwertsätze
- Der Sandwichsatz
- Monotoniekriterium
- Konvergenzbeweise rekursiver Folgen
- Aufgaben
Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen
Bearbeiten- Teilfolgen
- Häufungspunkte von Folgen
- Häufungs- und Berührpunkte von Mengen
- Satz von Bolzano-Weierstraß
- Bestimmte Divergenz
- Bestimmte Divergenz: Regeln
- Lim sup und Lim inf
- Cauchy-Folgen
Reihen
Bearbeiten- Animation: Zusammenziehen der Teleskopsumme; Aufgabe (eine Teleskopsumme?!)
- Was ist so harmonisch an der harmonischen Reihe?
- e-Reihe
- Absolute Konvergenz einer Reihe
- Umordnungssatz für Reihen
- Cauchy-Produkt für Reihen
- Aufgaben
Konvergenzkriterien für Reihen
Bearbeiten- Übersicht Konvergenzkriterien
- Cauchy-Kriterium
- Trivialkriterium
- Beschränkte Reihen und Konvergenz
- Majoranten- und Minorantenkriterium
- Wurzelkriterium
- Quotientenkriterium
- Die Reihenfolge von Quotienten- und Wurzelkriterium sollte vertauscht werden, da das Wurzelkriterium nicht immer zum Standardstoff gehört.
Potenzreihen
BearbeitenExponential- und Logarithmusfunktion
Bearbeiten- Herleitung und Definition der Exponentialfunktion
- Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Logarithmusfunktion
- Verallgemeinerte Potenzen
- Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen
- Aufgaben
Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen
Bearbeiten- Sinus und Kosinus
- Eigenschaften des Sinus und Kosinus
- Arkussinus und Arkuskosinus
- Tangens und Kotangens
- Arkustangens und Arkuskotangens
- Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
- Aufgaben
Stetigkeit
Bearbeiten- ToDo: In diesen Kapitel könnte man noch Bezüge zur historischen Entwicklung des Stetigkeitsbegriffs einbauen.
- TODO: Das Epsilon-Delta-Kriterium aufgefasst als Spiel
- TODO: Abschnitt zum Grenzwert einer Funktion fehlt.
- TODO: Abschnitt zum Grenzwert einer Funktion fehlt.
- TODO: In der Animation mit der Wurzel und 1/x Funktion sollte das rote Rechteck bis zum Punkt (0,0) gehen.
- TODO: Wie sehen Beweise mit der Lipschitz-Stetigkeit aus?
- TODO: Wie kann man beweisen, dass eine Funktion Lipschitz-stetig / nicht Lipschitz-stetig ist?
- TODO: Uneigentliche Stetigkeit, Einseitige Grenzwerte, Stetige Fortsetzung von Funktionen
- Notiz: Artikel Topologische Definition der Stetigkeit war ursprünglich geplant, sollte aber erst später im Buch zur Topologie kommen.
Ableitung
Bearbeiten- Ableitung
- Ableitungsregeln
- Spezielle Ableitungsregeln
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Beispiele für Ableitungen
- Ableitung höherer Ordnung
- Satz von Rolle
- Mittelwertsatz
- Konstanzkriterium
- Monotoniekriterium
- Ableitung und lokale Extrema
- Regel von L'Hospital
- Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- Aufgaben 1
- Aufgaben 2
- Aufgaben 3
- Aufgaben 4
Integrale
BearbeitenEinführung in die lineare Algebra
BearbeitenVektorräume
Bearbeiten- Einführung in den Vektorraum
- Vektorraum
- Eigenschaften von Vektorräumen
- Beweise für Vektorräume führen
- Der Körper als Vektorraum
- Koordinatenräume
- Folgenräume
- Funktionenraum
- Untervektorraum
- Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen
- Summe von Unterräumen
- Innere direkte Summe
- Komplement
- Nebenklassen eines Unterraums
- Faktorraum
Linearkombinationen, Erzeugendensystem und Basis
Bearbeiten- Linearkombinationen
- Spann einer Menge
- Erzeugendensystem
- Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
- Basis eines Vektorraums
- Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz
- Dimension eines Vektorraums
Lineare Abbildungen
Bearbeiten- Lineare Abbildungen
- Eigenschaften linearer Abbildungen
- Prinzip der linearen Fortsetzung
- Beweise für lineare Abbildungen führen
- Monomorphismus
- Epimorphismus
- Isomorphismus
- Endomorphismus und Automorphismus
- Bild einer linearen Abbildung
- Kern einer linearen Abbildung
- Vektorraum linearer Abbildungen
- Dualraum
- Aufgaben
Matrizen
Bearbeiten- Einführung in Matrizen
- Abbildungsmatrizen
- Matrizen Allgemein
- Gleichungssysteme und Matrizen
- Vektorraumstruktur auf Matrizen
- Matrizenmultiplikation
- Basiswechselmatrizen
- Aufgaben
Isomorphiesatz und Dimensionsformel
BearbeitenEinleitung und Grundbegriffe
Bearbeiten- Übersicht: Maßtheoretische Begriffe
- Inhalte auf Ringen
- Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen
- Prämaße und Maße
Konstruktion von Maßen
Bearbeiten- Einführung in die Konstruktion von Maßen
- Erzeugte sigma-Algebren
- Existenz einer Fortsetzung
- Eindeutigkeit einer Fortsetzung
Lebesgue-Integration
BearbeitenHelp
BearbeitenIntroduction
BearbeitenComplex numbers
Bearbeiten- Introduction and motivation
- Definition of complex numbers
- Absolute value and conjugation
- Polar representation
- Drawing complex-valued functions
- Exercises
Supremum and infimum
Bearbeiten- Supremum and infimum
- The infinite case
- How to prove existence of a supremum or infimum
- Properties of supremum and infimum
Sequences
BearbeitenConvergence and divergence
Bearbeiten- Definition of limit
- How to prove convergence and divergence
- Examples for limits
- Unbounded sequences diverge
- Limit theorems
- The squeeze theorem
- Monotony criterion
- How to prove convergence for recursive sequences
- Exercises
Subsequences, Accumulation points and Cauchy sequences
Bearbeiten- Subsequence
- Accumulation points of sequences
- Accumulation points of sets
- The Bolzano-Weierstrass theorem
- Divergence to infinity
- Divergence to infinity: rules
- Lim sup and lim inf
- Cauchy sequences
- Exercises
Series
Bearbeiten- Series
- Computation rules for series
- Telescoping sums and series
- Geometric series
- Harmonic series
- Exponential series
- Absolute convergence of a series
- Rearrangement theorem for series
- Exercises
Convergence criteria for series
Bearbeiten- Overview: convergence criteria
- Cauchy criterion
- Term test
- Bounded series and convergence
- Direct comparison test
- Root test
- Ratio test
- Alternating series test
- Cauchy condensation test
- Application of convergence criteria
- Exercises
Exponential and Logarithm functions
Bearbeiten- Derivation and definition of the exponential series
- Properties of the exponential series
- Logarithmic function
- Real exponents
- Exp and log functions for complex numbers
- Exercises
Trigonometric and Hyperbolic functions
BearbeitenContinuity
Bearbeiten- Continuity of functions
- Epsilon-delta definition of continuity
- Sequential definition of continuity
- Limit of functions
- Proving continuity
- Proving discontinuity
- Composition of continuous functions
- Extreme value theorem
- Intermediate value theorem
- Continuity of the inverse function
- Uniform continuity
- Lipschitz continuity
- Exercises
Differential Calculus
Bearbeiten- Derivatives
- Computing derivatives
- Computing derivatives - special
- Derivative - inverse function
- Examples for derivatives
- Derivatives of higher order
- Rolle's theorem
- Mean value theorem
- Constant functions
- Monotone functions
- Derivative and local extrema
- L'Hôspital's rule
- Overview: continuity and differentiability
- Exercises 1
- Exercises 2
- Exercises 3
- Exercises 4
Vector spaces
Bearbeiten- Introduction: Vector space
- Vector space
- Vector space: properties
- Proofs for vector spaces
- Field as a vector space
- Coordinate spaces
- Sequence spaces
- Function spaces
- Subspace
- Union and intersection of vector spaces
- Sum of subspaces
- Inner direct sum
- Complements of vector spaces
- Cosets of a subspace
- Quotient space
Linear combinations, generators and bases
BearbeitenLinear maps
Bearbeiten- Linear map
- Properties of linear maps
- Linear continuation
- Proofs for linear maps
- Monomorphisms
- Epimorphisms
- Isomorphisms
- Endomorphism and Automorphism
- Image of a linear map
- Kernel of a linear map
- Vector space of a linear map
- Dual space
- Exercises
Matrices
BearbeitenIntroduction, basic definitions
Bearbeiten- Overview: Objects in Measure Theory
- Volumes on rings
- Continuity of volumes on rings
- Pre-measures and measures
Constructiong measures
BearbeitenErste Schritte
Bearbeiten- Wer kann mitmachen?
- Wie kann ich beitragen?
- Wie melde ich mich an?
- Wer sind meine Ansprechpersonen?
- Wie fange ich ein neues Buch an?
- Eine persönliche Spielwiese erstellen
- Einen Artikel bearbeiten
- Beispielartikel
- Hilfreiche Links
Zusammenarbeit
Bearbeiten- Interaktion mit der Community
- Best Practices für Entscheidungsprozesse
- Umfragen
- Wie gebe ich gutes Feedback?
Unser Arbeitsprozess
Bearbeiten- Artikelworkflow
- Phabricator
- Grundvorstellung finden
- Artikelplan erstellen
- Bestehende Artikel überarbeiten
Bearbeiten von Inhalten
Bearbeiten- Wie funktioniert der Editor?
- Grundlegende Formatierungen
- Vorlagen
- Formelumgebung
- Spickzettel für Mathe-Formeln
- Hochladen und Einbinden von Medien
- Inhalte doppelt Einbinden
Konventionen
Bearbeiten- Sprachliche Konventionen
- Formatierungskonventionen
- Mathematische Konventionen
- Zitieren und Quellenangaben
- Hinweise zu Lizenzen
