Tautologie – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Tautologie Bearbeiten

 
Die Aussage „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist.“ ist eine Tautologie.

Es gibt Aussagen, die sind immer wahr. Das klassische Beispiel hierfür ist die Bauernregel: „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist.“   stehe für die Aussage „Der Hahn kräht auf dem Mist“ und   für „Das Wetter ändert sich“, dann können wir diese Bauernregel folgendermaßen formalisieren:

 

Da Aussagen entweder „wahr“ oder „falsch“ sind, ist leicht zu sehen, dass die Bauernregel immer wahr ist. Dabei kommt es überhaupt nicht darauf an, ob der Hahn kräht oder nicht. Denn   oder   – eine dieser beiden Aussagen ist wahr. Es spielt auch keine Rolle, was genau mit   gemeint ist: es muss nur eine Aussage sein!   könnte auch für die Behauptung stehen: „Es gibt kleine, grüne Männchen auf dem Mars.“

Woran liegt es, dass diese Aussage immer wahr ist? Es liegt daran, wie die Aussage mit Junktoren aus Teilaussagen zusammengebaut ist. Wir wissen, dass die Negation   den Wahrheitswert umdreht: aus   wird   und umgekehrt aus   wird  . Die Oder-Verbindung   wird wahr, wenn eine der beiden Teilaussagen wahr ist. Also ist   immer wahr. Die Implikation   ist nur dann falsch, wenn die Prämisse   wahr ist und die Konklusion   falsch ist. In unserem Beispiel aber ist die Konklusion   immer wahr. Daher ist auch   immer wahr. Mit Junktoren zusammengesetzte Aussagen, die immer wahr sind, werden Tautologien oder auch allgemeingültige Aussagen genannt:

Definition (Tautologie)

Eine mit Junktoren zusammengesetzte Aussage heißt tautologisch oder allgemeingültig, wenn sie bei jeder möglichen Interpretation seiner Teilaussagen mit Wahrheitswerten wahr ist.

Besonders wichtige Tautologien sind Äquivalenzen. Zwei Aussagen   und   sind nämlich genau dann äquivalent, wenn die zusammengesetzte Aussage   eine Tautologie ist. Das wird oft bei Beweisen genutzt. Statt direkt die Aussage   zu beweisen, wird eine dazu äquivalente Aussage   gezeigt.

Beispiel (Äquivalente Aussagen)

Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent:

  •  
  •   (Kontraposition)
  •   (Widerspruchsbeweis)

Es sind also tautologisch:

  •  
  •  

Eine alternative Formulierung des Widerspruchbeweises ist im Übrigen  .

Überprüfung einer TautologieBearbeiten

Wir werden jetzt drei Möglichkeiten vorstellen, wie du überprüfen kannst, ob eine Aussage eine Tautologie ist oder nicht. Alle diese Möglichkeiten sollen am Beispiel der Kontraposition   demonstriert werden.

Wahrheitstabelle erstellenBearbeiten

Erklärung der Äquivalenz von dem direktem Beweis, der Kontraposition und dem Widerspruchsbeweis. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Eine Methode ist es, eine Wahrheitstabelle für die zu untersuchende Aussage aufzustellen, vgl. Kapitel „Wahrheitstabelle“. Wenn in der letzten Spalte der Wahrheitstabelle nur „wahr“ als resultierender Wahrheitswert auftritt, ist die untersuchte Aussage eine Tautologie. Sobald ein resultierender Wahrheitswert „falsch“ ist, ist die Aussage keine Tautologie.

Aufgabe: Stelle die Wahrheitstabelle für   auf.

         
         
         
         
         

Ergebnis: Die Aussage ist eine Tautologie.

Aufgabe: Stelle die Wahrheitstabelle für   auf.

         
         
         
         
         

Ergebnis: Die Aussage ist keine Tautologie.

Aufgabe: Stelle die Wahrheitstabelle für   auf.

             
             
             
             
             

Ergebnis: Die Aussage ist eine Tautologie.

Aufgabe: Stelle die Wahrheitstabelle für   auf.

           
           
           
           
           

Ergebnis: Die Aussage ist eine Tautologie.

Äquivalenzumformungen verwendenBearbeiten

Wenn du die Tautologie einer Äquivalenz   beweisen musst, kannst du versuchen, die Aussage   durch bereits bekannte Äquivalenzbeziehungen in die Aussage   umzuformen. Für unser Beispiel nehmen wir an, dass wir die folgenden Äquivalenzen bereits kennen:

  1.     (Umformung der Implikation)
  2.     (Kommutativität von  )

Mit diesen beiden Äquivalenzen können wir die Kontraposition beweisen:

 

BaummethodeBearbeiten

Diese Methode ist eine Art des Widerspruchsbeweises. Du beweist hier, dass eine Aussage   eine Tautologie ist, indem du zeigst, dass diese Aussage nie falsch sein kann, weil sich sonst ein Widerspruch ergibt. Dabei zerlegst du die zu untersuchende Aussage schrittweise in ihre Teilaussagen und schaust dir nur diejenigen Fälle an, die zu einer falschen Aussage führen würden.

Nehmen wir an, dass   falsch ist. Dann muss entweder   falsch sein und   wahr sein oder umgekehrt. Im ersten Fall muss   und   sein. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass   wahr ist (weil für   und   die Aussage   falsch ist).

Im zweiten Fall muss   und   sein. Dies bedeutet   und  . Aber auch das führt zu einem Widerspruch, weil   ist (für   und   ist die Aussage   falsch). Schematisch könnte man dies in einem Baum darstellen (deswegen auch der Name). Dabei stellt jeder Ast einen zu betrachtenden Fall dar:

 

Liste von TautologienBearbeiten

AssoziativgesetzeBearbeiten

Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Aussagen auswertest:

  •  
  •  

KommutativgesetzeBearbeiten

Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden. Dies ist in der deutschen Sprache nicht unbedingt der Fall. Betrachte dazu folgende zwei Aussagen, welche in der Bedeutung einen leichten Unterschied aufweisen: „Ralf aß Haferbrei und er bekam Bauchschmerzen“ und „Er bekam Bauchschmerzen und Ralf aß Haferbrei“.

  •  
  •  

DistributivgesetzeBearbeiten

Eine Disjunktion kann in eine Konjunktion hineingezogen werden und umgekehrt.

  •  
  •  

AbsorptionsgesetzeBearbeiten

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  •  

IdempotenzgesetzeBearbeiten

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  •  

Doppelte VerneinungBearbeiten

  •  

Satz vom ausgeschlossenen DrittenBearbeiten

  •   (lateinisch: tertium non datur, übersetzt: ein Drittes gibt es nicht.)

Satz vom WiderspruchBearbeiten

  •  

Durch Anwendung der de Morganschen Regel, der doppelten Verneinung und der Kommutativität lässt sich der Satz vom Widerspruch in den Satz vom ausgeschlossenen Dritten umformen:  

Die de-Morgansche RegelBearbeiten

Bei der Negation einer Und- beziehungsweise einer Oder-Verknüpfung wird die Negation reingezogen und die Klammer aufgelöst. Aus einem   wird dabei ein   und umgekehrt.

  •  
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Negation von Implikation und ÄquivalenzBearbeiten

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Prinzip der KontrapositionBearbeiten

Diese Äquivalenz wird oft genutzt, um eine Implikation zu beweisen, Redewendung: Beweis der Kontraposition.

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Beweis durch WiderspruchBearbeiten

Auch mit Hilfe der folgenden Äquivalenz kann eine Implikation bewiesen werden, Redewendung: Beweis durch Widerspruch.

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Darstellung von Implikation und ÄquivalenzBearbeiten

Mit Hilfe dieser Gesetze kann die Implikation und die Äquivalenz auf Aussagen mit anderen Junktoren zurückgeführt werden.

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Gesetze mit Wahr und FalschBearbeiten

Im Folgenden steht   für „wahr“ und   für „falsch“.   und   können als 0-stellige Junktoren angesehen werden.

  •   (Aus Falschem folgt Beliebiges.)
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  •   (Wird gelegentlich als Definition für   verwendet.)