Quantor – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Was sind Quantoren?Bearbeiten

Neben den Junktoren gibt es noch eine zweite wichtige Gruppe von logischen Symbolen, die Quantoren. Während Junktoren Aussagen miteinander verknüpfen, legen Quantoren fest, für welche Objekte   einer Grundmenge eine Aussageform   gilt. Eine Aussageform   ist dabei ein sprachlich sinnvoller Ausdruck, in dem die Variable   vorkommt und der durch Belegung dieser Variablen mit einem konkreten Wert in eine Aussage übergeht. So sind die Ausdrücke

  ist eine gerade Zahl

und

  ist ein Mensch

Beispiele für solche Aussageformen  , die von der Variablen   abhängen.

Wir möchten den Begriff „Quantor“ an einem Beispiel erklären. Stelle dir dazu vor, wir verwenden gerade die Menge der reellen Zahlen. Dies bedeutet, dass alle Variablen, die wir benutzen, nur mit reellen Zahlen belegt werden sollen. Betrachte nun folgende Aussage:

Für alle   gilt, dass   ist.

In diesem Beispiel ist „für alle“ ein Quantor, der Allquantor. Er behauptet, dass die Aussageform   für alle Belegungen der Variablen   wie zum Beispiel  ,   oder   gültig sein soll. Wir können also folgende Struktur der obigen Aussage erkennen:

 

Wie auch bei Junktoren werden für Quantoren bestimmte Symbole verwendet. Für den Allquantor ist das Symbol   am geläufigsten. So kann die obige Aussage „Für alle   gilt, dass   ist“ auch so geschrieben werden:

 

Wir können aber auch andere Quantoren zur Bindung der Variablen   in der Aussageform   verwenden. Anstatt auszudrücken, dass die Aussageform   für alle Belegungen von   gültig ist, können wir auch sagen, dass diese Aussageform für mindestens eine reelle Zahl   wahr ist. Dieser Quantor „es gibt mindestens ein“ wird Existenzquantor genannt und hat das Symbol  . So besitzt die Aussage „Es gibt mindestens ein   mit  “ folgende Struktur:

 

Formal aufgeschrieben wird daraus:

 

Verständnisfrage: Sind obige Aussagen   und   für reelle Zahlen wahr oder falsch?

  • Die Aussage   ist falsch, da sie für die erlaubte Belegung   nicht stimmt. Es ist nämlich  .
  • Die Aussage   ist wahr. Die Zahl   ist nämlich eine reelle Zahl mit  . Damit existiert (mindestens) eine reelle Zahl, welche die Aussageform   erfüllt.

Arten von QuantorenBearbeiten

Allquantor Bearbeiten

Allquantor
Symbol:  
Bedeutung: „für alle“ oder „für jede(s)“
Schreibweise:  

Im vorherigen Abschnitt hast du den Allquantor bereits kennen gelernt. Sein Symbol ist   (ein umgedrehtes A – „für Alle“). Die Schreibweise des Allquantors ist  . Dies bedeutet „Für alle   gilt  “ oder „Für jedes   gilt  “. Dabei ist   eine beliebige Aussageform, in der die Variable   vorkommt. In der Literatur ist auch die Schreibweise   zu finden, die wir aber in diesem Projekt nicht verwenden werden.

Die Menge der Objekte, auf die sich der Quantor bezieht, muss eindeutig bestimmt sein (und kann sich zum Beispiel aus dem Kontext ergeben). Wenn du eben natürliche Zahlen behandelst, so behauptet eine Aussage  , dass die Aussageform   für alle Belegungen von   aus den natürlichen Zahlen zu einer wahren Aussage wird. Untersuchst du reelle Zahlen, so behauptet  , dass die Aussageform   für alle reellen Zahlen   zu einer wahren Aussage wird.

Wenn du die Bezugsmenge des Allquantors explizit angeben möchtest oder musst, kannst du die deutlichere Schreibweise   verwenden. Sie ist eine Kurzschreibweise für   und bedeutet: „Für alle   aus der Menge   gilt die Aussage  .“

Aufgabe: Überlege dir einige (mathematische) Aussagen, in denen du den Allquantor verwenden kannst und schreib diese auf.

Folgende Beispiele können mit dem Allquantor aufgeschrieben werden:

  1. Für jedes Auto gilt: Es fährt oder es steht.
  2. Für alle reellen Zahlen   und alle natürlichen Zahlen   ist  .
  3. Alle Schwäne sind weiß.

Frage: Wie lauten die obigen Aussagen in Quantorenschreibweise?

  1.  
  2.  
  3.  

Existenzquantor Bearbeiten

Existenzquantor
Symbol:  
Bedeutung: es existiert mindestens ein
Schreibweise:  

Dieser Quantor wird für Aussagen folgender Form verwendet: „Es gibt mindestens ein  , so dass   gilt“. Dieser Quantor heißt Existenzquantor. Sein Symbol ist ein horizontal gespiegeltes E, welches für „es Existiert mindestens ein“ steht. Analog zum Allquantor haben Existenzaussagen die Form  . Diese Schreibweise steht für „Es gibt mindestens ein  , so dass   gilt“ oder „Es existiert mindestens ein  , für welches   gilt“. Auch hier ist   eine Variable und   eine Aussageform, die von   abhängt. In der Literatur kannst du auch die Schreibweise   finden.

Wie auch beim Allquantor muss die Bezugsmenge   des Quantors klar sein (z. B. aus dem Kontext). Muss die Bezugsmenge explizit angegeben werden, so kannst du die Schreibweise   verwenden. Sie ist eine Kurzschreibweise für   und bedeutet: „Es gibt mindestens ein   aus der Menge  , für welches die Aussage   wahr ist“.

Hinweis

In der Mathematik gibt es folgende Konvention: Eine Aussage der Form „Es gibt ein …“ ist immer als Aussage der Form „Es gibt mindestens ein …“ zu verstehen.

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen in die formelle Schreibweise mit dem Existenzquantor:

  1. Es gibt eine Zahl  , so dass   ist.
  2. Es gibt schöne Männer.
  3. Jeder Mensch besitzt einen Seelenverwandten.

Antwort:

  1.  
  2.  
  3.  

Eindeutiger Existenzquantor Bearbeiten

Eindeutiger Existenzquantor
Symbol:  
Bedeutung: es existiert genau ein
Schreibweise:  

Der letzte Quantor, den wir dir vorstellen möchten, ist der eindeutige Existenzquantor  . Die Schreibweise zu diesem Quantor (der auch Eindeutigkeitsquantor genannt wird) ist  . Dies bedeutet so viel wie

(*) Es gibt genau ein  , so dass die Aussageform   für dieses   eine wahre Aussage ist.

Beachte den Unterschied zwischen dem Existenzquantor und dem eindeutigen Existenzquantor: Während beim Existenzquantor die Aussageform   für mindestens eine Belegung von   gilt, gilt beim eindeutigen Existenzquantor die Aussageform   für genau eine Belegung von   aus der Grundmenge.

Auch bei diesem Quantor muss sich die Bezugsmenge durch den Kontext ergeben. Wenn du sie explizit angeben möchtest, kannst du die Schreibweise   verwenden. Sie ist eine Kurzschreibweise für   und bedeutet: „Es gibt genau ein   aus der Menge  , für welches die Aussage   wahr ist.“ Alternative und in der Literatur auch verbreitete Schreibweisen für den eindeutigen Existenzquantor sind   und  .

Verständnisfrage: Überlege dir, ob folgende Aussagen wahr sind:

  1.  
  2.  
  3.  

Antwort:

  1. Wahr. Da   und   ist, gibt es mit   mindestens eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich 4 ist.
  2. Falsch. Es ist   und  . Somit gibt es kein eindeutiges Element   mit  .
  3. Wahr.   ist nämlich die einzige natürliche Zahl, deren Quadrat gleich   ist. Beachte hier, dass   keine natürliche Zahl ist.

Der eindeutige Existenzquantor   lässt sich mit Hilfe des Existenzquantors   und des Allquantors   beschreiben, nämlich so:

(**) Es gibt mindestens ein   mit   und wenn zwei Objekte   und   die Aussageformen   und   erfüllen, so sind sie gleich.

Die Formulierungen (*) und (**) beschreiben genau denselben Sachverhalt! Das ist der Grund dafür, dass der Quantor   üblicherweise wie folgt definiert wird:

Definition (Eindeutiger Existenzquantor)

 

Damit ist auch klar, wie Aussagen mit   zu beweisen sind:

  • Zunächst wird   bewiesen,
  • anschließend wird gezeigt, dass aus   und   für beliebige   und   die Gleichheit   folgt.

NotationBearbeiten

Für Ausdrücke mit Quantoren werden in der Literatur verschiedene Schreibweisen verwendet[1]. So findet man anstelle vom Ausdruck   auch die Notationen:

  •  
  •  
  •  
  •  

Gleiches gilt für den Existenzquantor  :

  •  
  •  
  •  
  •  

Manchmal werden in der Literatur auch Existenzquantoren der Art   bzw.   verwendet. Ihre Bedeutung ist:

  •   bedeutet, es gibt genau   Objekte   mit der Eigenschaft  
  •   bedeutet, es gibt höchstens   Objekte   mit der Eigenschaft  
  •   bedeutet, es gibt mindestens   Objekte   mit der Eigenschaft  

Wir werden in diesem Projekt aber die Schreibweise   und   verwenden. Auch kann man aufeinanderfolgende Quantoren vom selben Typ zusammenfassen, indem man die verschiedenen eingeführten Variablen durch Kommata trennt. So kannst du anstelle von   auch folgende Schreibweise benutzen:  . Analog kann man anstelle von   auch kürzer   schreiben.