Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Epsilon-Beweise für Grenzwerte können sehr aufwendig werden. In diesem Kapitel behandeln wir einige Sätze, die die Bestimmung von Grenzwerten vereinfachen.

Die GrenzwertsätzeBearbeiten

Die Grenzwertsätze für konvergente Folgen lauten:

Satz (Grenzwertsätze)

Seien   und   zwei konvergente Folgen mit   und  . Sei außerdem   beliebig. Es gilt

  •  
  •  
  •   für alle  
  •  
  •  

Wenn außerdem   und   für alle   ist, dann gilt auch

  •  
  •  

Für   und   für alle   gilt:

 

Warnung

Diese Regeln gelten nur, wenn alle Teilfolgen, die in den Grenzwertregeln vorkommen, konvergieren. Wenn auch nur eine dieser Folgen divergiert, können wir den Satz nicht anwenden.

Wir müssen außerdem beachten, dass   und   keine reellen Zahlen sind und damit auch keine gültigen Grenzwerte. Wenn also beispielsweise   ist, dann divergiert   und wir können keinen der Grenzwertsätze anwenden.

Monotonieregel: Grenzwerte abschätzenBearbeiten

Außerdem gilt die Monotonieregel, die wir zum Abschätzen der Grenzwerte verwenden können:

Satz (Monotonieregel)

Seien   und   zwei konvergente Folgen. Wenn   für fast alle   ist, dann gilt die Ungleichung:

 

Beispiel: Grenzwert einer Folge berechnenBearbeiten

Betrachten wir die Folge

 

Ein Beweis mit  -Umgebung zur Bestimmung der Konvergenz wäre sehr kompliziert. Zum Glück erkennen wir in der Folgendefinition viele Folgen, deren Konvergenzverhalten wir bereits kennen. So ist zum Beispiel  . Durch schrittweise Anwendung der Grenzwertsätze können wir den Grenzwert bestimmen:

 

So können wir zeigen, dass   konvergiert und den Grenzwert   besitzt. Diese Herleitung hat aber einen Haken: Wir benutzen die Grenzwertsätze, bevor wir die Konvergenz der einzelnen Folgen gezeigt haben. Dass diese Folgen konvergieren, ergibt sich erst im Argumentationsverlauf, nachdem wir die Grenzwertsätze schon verwendet haben. Deswegen ist diese Herleitung kein gültiger Beweis. Ein gültiger Beweis ist zum Beispiel folgender:

 

Wir beginnen mit der Konvergenz der Folgen, deren Konvergenzverhalten wir kennen. Durch schrittweise Anwendung der Grenzwertsätze in umgekehrter Reihenfolge leiten wir dann die Konvergenz der betrachteten Folge   und ihren Grenzwert her. Beim Zeichen   handelt es sich um die Konjunktion, die man als „und“ lesen kann.

Den Beweis so aufzuschreiben ist aber aufwendig und macht keinen Spaß. Meist zeigen wir diese Aussagen wie die Beweisskizze oben. Wir wenden einfach die Grenzwertsätze an, obwohl wir nicht wissen, ob die Folgen konvergieren. Wir müssen aber im Nachhinein anmerken, dass wir die Grenzwertsätze anwenden durften. Das gilt, weil am Ende alles konvergiert. Weil bei den letzten Schritten alles funktioniert, durften wir die Schritte davor machen. Wenn wir den Beweis also durch direkte Anwendung der Grenzwertsätze zeigen wollen, müssen wir noch erklären, dass wir diese Sätze benutzen durften.

Probleme mit divergenten FolgenBearbeiten

Die Grenzwertsätze dürfen nicht benutzt werden, wenn eine der Teilfolgen divergiert. Durch falsche Anwendung der Grenzwertsätze, können schnell Fehler auftreten:

 

Frage: Wo liegt der Fehler in der obigen Herleitung?

  ist keine reelle Zahl und damit divergiert die Folge   wegen  . Schließlich konvergiert eine Folge nur, wenn ihr Grenzwert eine reelle Zahl ist. Der Produktsatz   darf deswegen nicht angewandt werden.

Dieses Beispiel zeigt, warum die Grenzwertsätze nicht verwendet werden dürfen, wenn eine der Subfolgen gegen   oder   divergiert.

Beweise der GrenzwertsätzeBearbeiten

Die BetragsregelBearbeiten

Satz (Grenzwertregel mit Absolutbetrag)

Sei   eine konvergente Folge mit dem Grenzwert  . Dann ist  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwertregel mit Absolutbetrag)

Aus   folgt, dass   beliebig klein wird. Wir müssen zeigen, dass auch   beliebig klein wird. Im Kapitel zum Betrag haben wir folgende Ungleichung bewiesen

 

Damit ist

 

Wenn   kleiner als   ist, dann ist es somit auch  . Dies können wir für den Beweis der Konvergenz nutzen. Sei  . Wir müssen nun ein   finden, sodass   für alle   ist. Wegen   wissen wir, dass es ein   gibt, sodass   für alle   gilt.

Wie wir gesehen haben, folgt aus   die Ungleichung  . Damit können wir im Beweis   setzen. Da nämlich   für alle   ist, folgt daraus auch   für alle  .

Beweis (Grenzwertregel mit Absolutbetrag)

Sei   beliebig. Weil   gegen   konvergiert, gibt es ein   mit   für alle  . Sei nun   beliebig. Wegen der umgekehrten Dreiecksungleichung   folgt

 

Umkehrung der Betragsregel bei NullfolgenBearbeiten

Ist   eine Nullfolge, so gilt auch die Umkehrung der Betragsregel. Aus   folgt  :

Satz

Sei   eine Folge. Wenn   ist, konvergiert die Folge   gegen Null. Es ist dann  .

Beweis

Wegen   folgt die Aussage

Zu jedem   gibt es ein   mit   für alle  .

Nun ist  . Damit gilt auch folgende Aussage

Zu jedem   gibt es ein   mit   für alle  .

Dies ist gleichbedeutend mit  .

Die Betragsregel kann nur bei Nullfolgen umgekehrt werden. Für allgemeine Folgen geht dies nicht. Für die divergente Folge   ist beispielsweise  . Hier ist   und  .

Die SummenregelBearbeiten

Satz (Grenzwertsatz für Summen)

Sei   eine konvergente Folge mit Grenzwert   und   eine konvergente Folge mit Grenzwert  . Dann konvergiert auch die Folge   mit  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwertsatz für Summen)

Wir müssen zeigen, dass der Betrag   beliebig klein wird. Wir können verwenden, dass die Beträge   und   beliebig klein werden. Deswegen sollten wir eine Abschätzung von   nach oben finden, bei der die Beträge   oder   vorkommen. Hier gibt es einen Trick: Wir schreiben den Term   geschickt um und verwenden dann die Dreiecksungleichung

 

Weil   und   beliebig klein werden, sollte auch ihre Summe beliebig klein werden. Somit sollte unsere Abschätzung ausreichen. Jedoch müssen wir noch einen Epsilon-Beweis für unsere Vermutung formulieren. Auch hier können wir einen Trick verwenden: In der Summe haben wir zwei Beträge und jeden schätzen wir gegen   ab. Wenn nämlich   und   ist, dann ist

 

Wir wissen, dass es ein   mit   für alle   gibt. Analog existiert ein   mit   für alle  . Für unseren Beweis brauchen wir gleichzeitig   und  . Also sollte gleichzeitig   und   gelten. Unser Ziel ist es, ein   zu finden, sodass aus   sowohl   als auch   folgt. Eine Möglichkeit ist,   zu wählen. Aus   folgt nämlich   und  .

Beweis (Grenzwertsatz für Summen)

Sei   beliebig. Es gibt ein   mit   für alle  , weil   ist. Außerdem gibt es wegen   ein   mit   für alle  . Wir wählen  . Sei   beliebig. Es ist

 

Die FaktorregelBearbeiten

Satz (Faktorregel für Grenzwerte)

Sei   beliebig und   eine konvergente Folge mit Grenzwert  . Dann konvergiert auch die Folge   mit  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Faktorregel für Grenzwerte)

Um   zu beweisen, müssen wir   für fast alle   zeigen. Formen wir diese Ungleichung um:

 

Wir können nicht pauschal durch   teilen, weil   auch Null sein könnte. Jedoch ist der Fall   einfach zu zeigen. Hier müssen wir beweisen, dass   ist. Da   ist, folgt  , was zu zeigen war. Schauen wir uns den Fall   an:

 

Weil   gegen   konvergiert, gibt es ein  , sodass   für alle   ist.

Beweis (Faktorregel für Grenzwerte)

Sei   beliebig. Sei außerdem   und   eine konvergente Folge mit Grenzwert  .

Fall 1:  

Es ist   und damit

 

Fall 2:  

Wähle   so, dass   für alle   ist. Ein solches   existiert, weil   gegen   konvergiert. Es ist dann

 

Dies beweist, dass   ist.

Die ProduktregelBearbeiten

Satz (Produktregel für Grenzwerte)

Sei   eine konvergente Folge mit Grenzwert   und   eine konvergente Folge mit Grenzwert  . Dann konvergiert auch die Folge   mit  .

Beweis (Produktregel für Grenzwerte)

Sei   beliebig.

Wir müssen beweisen, dass   für alle   gilt, wobei wir   in Abhängigkeit von   geschickt wählen müssen. Dabei können wir verwenden, dass   und   beliebig klein werden, weil die Folgen   gegen   und   gegen   konvergieren. Um dies nutzen zu können, müssen wir   geschickt umformen und so nach oben abschätzen, dass wir die Beträge   und   erhalten. Hierzu verwenden wir einen Trick, der für diese Art von Beweis typisch ist. Wir addieren den Term  , welcher gleich Null ist:

 

Wenn wir also für alle   zeigen können, dass beide Summanden kleiner als   sind, dann sind wir fertig.

Abschätzung des zweiten Summanden

Beim zweiten Summanden ist das leicht: Die Folge   konvergiert gegen   und nach der Faktorregel mit   gilt  . Damit gilt   nach der Summenregel, d.h. es gibt ein   so, dass für alle   gilt  .

Abschätzung des ersten Summanden

Auch beim ersten Summanden wäre es schön, wenn wir die Faktorregel anwenden können. Das Problem ist nur, dass   von   abhängt und folglich   kein Kandidat für das   aus der Faktorregel ist.

Wir haben in einem vorherigen Kapitel bewiesen, dass konvergente Folgen beschränkt sind. Diesen Satz können wir hier auf die Folge   anwenden: Sei   so dass   für alle  .

Dann gilt für alle  , dass   und genauso wie für den zweiten Summanden liefert uns die Faktorregel mit   (beachte, dass   im Gegensatz zu   nicht von   abhängt) ein   mit   für alle  . Also gilt für alle   die folgende Ungleichung:  .

Zusammenfassung

Wir brauchen nur noch ein passend gewähltes  . Für alle   muss die Bedingung   und   erfüllt sein, damit beide Abschätzungen gültig sind. Daher wählen wir  . Dieses hängt nur von   ab, da   und   nur von   abhängen.

Für alle   gilt nun

 

Die PotenzregelBearbeiten

Satz (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei   eine konvergente Folge mit Grenzwert  . Sei   eine beliebige natürliche Zahl. Dann konvergiert die Folge   mit  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwertsatz für Potenzen)

Die Potenzregel ist eine Folgerung der Produktregel. So können wir für die Folge   zeigen:

 

Durch  -fach Anwendung erhalten wir:

 

Nun werden die „Pünktchen“-Beweise in der Analysis nicht als formal saubere Beweise angesehen. Deswegen führen wir den Beweis über vollständige Induktion über  .

Beweis (Grenzwertsatz für Potenzen)

Dieser Satz folgt aus der Produktregel mithilfe eines Induktionsbeweises.

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für   bewiesen werden soll:

 

1. Induktionsanfang:

 

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

 

2b. Induktionsbehauptung:

 

2c. Beweis des Induktionsschritts:

 

Beispiel (Beispiel zur Potenzregel)

Für alle   können wir beweisen, dass die Folge   gegen   konvergiert:

 

Die Quotientenregel Bearbeiten

Satz (Quotientenregel für Grenzwerte)

Sei   eine konvergente Folge mit Grenzwert   und sei   eine konvergente Folge mit Grenzwert   sowie   für alle  . Dann konvergiert die Folge   mit  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Quotientenregel für Grenzwerte)

Es genügt zu zeigen, dass   ist, denn aus der Produktregel folgt

 

Für den Beweis   müssen wir zeigen, dass   beliebig klein wird. Dabei können wir verwenden, dass   beliebig klein wird, weil   gegen   konvergiert. Dazu formen wir   geschickt um:

 

Nun können wir   kontrollieren, d.h. beliebig klein machen. Das   im Nenner stört uns nicht weiter, da es konstant ist. Wir müssen uns also nur noch um   im Nenner kümmern. Da wir   beliebig klein machen können, reicht es, wenn wir   nach oben durch eine Konstante abschätzen. Dazu müssen wir   nach unten abschätzen.

Um   nach unten abzuschätzen, verwenden wir nun die Voraussetzung, dass   ist. Daher gibt es ein  , so dass ab diesem Index alle Folgenglieder von   die Ungleichung   erfüllen. Also gilt   für alle  . Für den gesamten Ausdruck erhalten wir damit

 

Diesen Ausdruck bekommen wir beliebig klein, da wir   beliebig klein kriegen, und der Vorfaktor konstant ist. Hierzu wählen wir zu einem beliebigem   den Index   so groß, dass für alle   gilt

 

Dann erhalten wir insgesamt für alle  :

 

Diese Beweisskizze müssen wir nun in einen formalen Beweis gießen, um   zu zeigen.

Beweis (Quotientenregel für Grenzwerte)

Sei   beliebig. Wegen   gibt es ein  , so dass   für alle   ist. Außerdem gibt es ein   mit   für alle  . Dann gilt für alle  :

 

Es gilt daher  . Mit der Produktregel folgt nun

 

Die WurzelregelBearbeiten

Satz (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei   eine nichtnegative Folge mit Grenzwert  . Sei außerdem  . Dann konvergiert die Folge   mit  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Grenzwertsatz für Potenzen)

Wir müssen zum Beweis den Betrag   abschätzen. Wieder können wir   kontrollieren, da wir wissen, dass diese Beträge beliebig klein werden. Also brauchen wir erneut einen Term, in dem   vorkommt. Dazu können wir eine Hilfsformel als Abschätzung verwenden, die wir im Kapitel Rechenregeln für Wurzeln bewiesen hatten: Für   und   gilt

 

Diese lässt sich auf Absolutbeträge verallgemeinern. Für   gilt

 

Für   bekommen wir

 

Somit gilt  . Wenden wir diese Hilsformel mit   und   an, so erhalten wir

 

Den Ausdruck   können wir nun beliebig klein machen, indem wir   beliebig klein machen. Wir erhalten:

 

Mit   können wir also die Zielungleichung   beweisen.

Beweis (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei   beliebig sowie   eine nichtnegative Folge mit Grenzwert  . Sei außerdem   beliebig. Wegen   gibt es ein   mit   für alle  . Für alle   gilt

 

Die MonotonieregelBearbeiten

Satz (Monotonieregel für Grenzwerte)

Seien   und   Folgen mit Grenzwerten   und  . Es gelte außerdem   für fast alle  . Dann gilt  .

Zusammenfassung des Beweises (Monotonieregel für Grenzwerte)

Diese Regel zeigen wir durch einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen an, dass unter den Voraussetzungen des Satzes   wäre, und leiten daraus eine widersprüchliche Aussage her.

Beweis (Monotonieregel für Grenzwerte)

Angenommen  . Wegen   und   gibt es zu   Indizes   mit   für alle   und   für alle  . Daraus folgt für alle  :

 

Also   für alle  . Dies ist ein Widerspruch zu   für fast alle  . Daher muss   gelten.

Anmerkungen zur MonotonieregelBearbeiten

Einen Spezialfall erhalten wir, wenn wir   (konstant) setzen:

Sei   eine Folge mit Grenzwert   und   (bzw.  ) für fast alle  . Dann gilt   (bzw.  ).

Aus obigen Satz folgt:

Sei   eine konvergente Folge und fast alle Folgenglieder liegen in einem Intervall  , dann liegt auch ihr Grenzwert in  .

Verbinden wir die beiden Fälle „ “ und „ “ aus der Monotonieregel, dann erhalten wir:

Seien   und   Folge mit Grenzwerten   und  , und es gelte   für fast alle  . Dann gilt auch  .

Warnung

Die Monotonieregel gilt nicht mit „ “ beziehungsweise „ “. Betrachte beispielsweise die beiden Folgen   und  . Dann gilt   für alle  , aber es ist   und somit ist der Grenzwert von   nicht kleiner als  . Auch ist für alle   die Ungleichung   erfüllt, aber es ist  .