Betrag, Maximum und Minimum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Nachdem wir in den vergangenen Kapiteln die Anordnungsaxiome eingeführt haben, führen wir nun die ersten Begriffe ein, die direkt auf der Ordnung der reellen Zahlen aufbauen.

Maximum und MinimumBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Das Maximum zweier Zahlen gibt die größere der beiden Zahlen zurück, während das Minimum die kleinere Zahl zurückgibt. Beide Funktionen sind folgendermaßen definiert:

Definition (Maximum)

 

Definition (Minimum)

 

Es ist genauso möglich, das Maximum und Minimum von endlich vielen Zahlen anzugeben. Hierzu definieren wir

 

und

 

Beachte, dass es nur möglich ist, das Maximum und Minimum von endlichen Mengen auszurechnen. Für eine Verallgemeinerung des Maximums und Minimums auf unendliche Mengen werden wir später die Begriffe vom „Supremum“ und vom „Infimum“ einführen.

Charakteristische Eigenschaften von Minimum und MaximumBearbeiten

Das Maximum und das Minimum erfüllen folgende Eigenschaften für beliebige reelle Zahlen  ,   und  , welche für diese Funktionen charakteristisch sind:

Satz (Maximum und Minimum sind genauso groß, wie die größte, bzw. kleinste Zahl die sie enthalten.)

Jede reelle Zahl, die größer ist als das Maximum zweier beliebiger reellen Zahlen   und  , ist auch größer als beide Zahlen. Umgekehrt gilt auch: Jede reelle Zahl, die kleiner ist als das Minimum zweier beliebiger reellen Zahlen   und   ist auch kleiner als beide Zahlen.

 

Beweis (Maximum und Minimum sind genauso groß, wie die größte, bzw. kleinste Zahl die sie enthalten.)

Beweisschritt:  

Nach der Definition des Maximums gilt  . Hier müssen wir also zwei Fälle untersuchen:   und den umkehrten Fall. Durch die Trichotomie muss hier gelten  , da   und   bereits im ersten Fall betrachtet werden.

Fall 1:  

Da nun nach Definition des Maximums   gilt können wir   einsetzen und erhalten damit die immer wahre Aussage  . Daher wissen wir nun durch die Trichotomie   und können über die Transitivität   folgern. (Beachte, das nach Definition   und   äquivalent sind.)

Fall 2:   ("sonst")

Im zweiten Fall können wir   setzen und wir wissen bereits, dass   sein muss. Also können wir schreiben  . Die Transitivität sagt uns, dass wir diesen Ausdruck auch als   schreiben können. Der Ausdruck   ist aber nach der Definition von   immer Wahr.

Beweisschritt:  

Analog zur obigen Fallunterscheidung sollten wir auch hier untersuchen, wie sich welcher Fall auswirkt. Setzt man die jeweilige Bedingung für das Maximum ein, ergibt sich eine wahre Aussage für beide Fälle:

Fall 1:  

 

Fall 2:   ("sonst")

 

Beweisschritt:  

Betrachten wir zunächst wieder die Definition des Minimums   so fällt auf, dass wir wieder zwei Fälle beachten müssen:   und das "sonst". Im Sinne der Trichotomie muss hier gelten   da   und   durch den ersten Fall ausgeschlossen werden.

Fall 1:  

Nach Definition des Minimums können wir in diesem Fall   einsetzen. Da wir außerdem noch wissen, dass   gelten muss, erhalten wir   und durch die Transitivität  .

Fall 2:   ("sonst")

Ähnlich dem ersten Fall können wir   und das Minimum gleichsetzen ( ), was nach der Definition des Minimums gelten muss. Daher muss   gelten. Durch die Transitivität der Relation können wir das zu   auseinander ziehen. Auch der Ausdruck   ist immer wahr, da   immer dann wahr ist, wenn auch   wahr ist (Siehe Definition von  ).

Beweisschritt:  

Setzt man die jeweilige Bedingung für   in den zu zeigenden Ausdruck ein, so erhalten wir für die beiden möglichen Fälle immer eine wahre Aussage.

Fall 1:  

 

Fall 2:   ("sonst")

 


Diese Eigenschaften werden in der Analysis genutzt, um obere bzw. untere Schranken auszurechnen. Wenn beispielsweise eine Variable   gleichzeitig größer oder gleich   und größer oder gleich   sein soll, so definieren wir  . Dann ist nämlich garantiert, dass   und  .

To-Do:

Abschnitt muss ausgebaut werden:

  • Frage muss beantwortet werden: Warum sind die obigen Äquivalenzen charakteristisch für das Maximum und das Minimum?

Betrag Bearbeiten

DefinitionBearbeiten

Erklärung des Betrags. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)
 
Verlauf der Betragsfunktion.

Der Betrag (auch Betragsfunktion oder Absolutbetrag genannt) gibt den Abstand einer Zahl zur Null zurück. Er ist definiert über:

Definition (Betrag)

Der Betrag   einer reellen Zahl   ist definiert durch

 
 
  ist der Abstand zwischen   und  .

In der Analysis werden wir den Betrag vor allem in der Form   kennen lernen. Dieser Term gibt den Abstand der Zahlen   und   und damit eine Art „Fehler“ zwischen   und   wieder. In der Analysis werden wir diesen Abstand verwenden, um das Konzept des Grenzwertes zu beschreiben.

Verständnisfrage: Warum ist  ?

Wegen Trichotomie ist entweder  ,   oder  .

Fall 1:  

Aus   folgt  , also   und damit  . Es ist dann

 

Fall 2:  

Ist  , dann ist auch  , weil Null ihr eigenes Negative ist. Entsprechend ist

 

Fall 3:  

Aus   folgt  , also   und damit  . Es ist dann

 

Charakteristische EigenschaftBearbeiten

Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt:

 

Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich   durch  , ergibt sich:

 

Daraus folgt:

 

Es ist also genau dann  , wenn   und   ist. Analog ist genau dann  , wenn   und  .

Eigenschaften (Übersicht)Bearbeiten

Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird:

Eigenschaft des Betrags Eigenschaft für den Abstand  
   
   
   
   
   

Beweise der BetragseigenschaftenBearbeiten

Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag nullBearbeiten

Satz (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)

Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Es gilt also

 

Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)

Beweisschritt:  

Für   ist  .

Beweisschritt:  

Nach der Definition des Betrags folgt aus  , dass   ist. Nun impliziert   die beiden Ungleichungen   und  . Damit folgen aus   die beiden Ungleichungen   und  . Nach Multiplikation von der Ungleichung   mit   erhalten wir  . Damit haben wir die beiden Bedingungen   und  . Mit der Antisymmetrie der Kleiner-Gleich-Relation („Aus   und   folgt  “) erhalten wir  .

Alternativer Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)

Beweisschritt:  

Für   ist  .

Beweisschritt:  

Gegeben sei  . Nach der Definition des Betrags ist  . Somit ist   oder  . Für   bzw.   gibt es nichts mehr zu beweisen. Andererseits folgt aus   bzw.  , dass   ist (Spiegelung bei Bildung des Negativen). Da aber das Negative der Null die Null selbst ist, folgt aus  , dass   ist. In beiden Fällen   oder   folgt also  , womit dieser Beweisschritt gezeigt ist.

MultiplizitätBearbeiten

Satz (Multiplizität)

Es ist  .

Beweis (Multiplizität)

Fall 1:   und   beliebig

Es ist  .

Fall 2:   beliebig und  

Es ist  .

Fall 3:   und  

Es folgt   und damit  .

Fall 4:   und  

Es folgt   und damit  . Wegen   ist  . Somit haben wir  .

Fall 5:   und  

Es folgt   und damit  . Wegen   ist  . Somit haben wir  .

Fall 6:   und  

Es folgt   und damit  .

DreiecksungleichungBearbeiten

Satz (Dreiecksungleichung)

Für alle reellen Zahlen   und   ist  .

Beweis (Dreiecksungleichung)

Aus   und   folgt   („Monotonie der Addition“). Analog folgt aus   und  , dass  , also   ist (wiederum „Monotonie der Addition“). Da   entweder   oder   ist, ist auch  .

Die Dreiecksungleichung werden wir vor allem nutzen, um Abstände   nach oben abzuschätzen. In die Differenz kann nämlich ein Term   eingeschoben werden, also

 

Der Abstand   kann also über die Abstände   und   nach oben abgeschätzt werden. Der obige Trick wird in der Analysis häufig verwendet.

Abschätzung des Abstands nach untenBearbeiten

Satz (Abschätzung des Abstands nach unten)

Es ist  .

Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten)

Es ist

 

und damit nach Umformung der Ungleichung

 

Analog folgt aus

 

die Ungleichung

 

Insgesamt ist also sowohl   als auch   kleiner als  . Damit ist

 

Betrag des QuotientenBearbeiten

Satz (Betrag des Quotienten)

Für Quotienten   ist

 

Beweis (Betrag des Quotienten)

Es ist wegen der Multiplizität des Betrags:

 

Durch Multiplikation von   auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung.

Alternativer Beweis (Betrag des Quotienten)

Gegeben sei  . Wegen der Multiplizität des Betrags gilt:  . Wir haben somit:  . Durch Multiplikation von   auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung.

Beweise der AbstandseigenschaftenBearbeiten

Abstand mit Betrag NullBearbeiten

Satz (Abstand mit Betrag null)

Der Abstand zwischen   und   ist genau dann null, wenn   und   identisch sind. Es gilt also

 

Beweis (Abstand mit Betrag null)

Gegeben sei  . Sei nun  , so dass   ist. Da die Null die einzige Zahl mit dem Betrag null ist, gilt:

 

Durch Rücksubstitution ergibt sich:

 

bzw.

 

Multiplizität des AbstandsBearbeiten

Satz (Multiplizität des Abstands)

Es ist  .

Beweis (Multiplizität des Abstands)

Gegeben sei  . Sei nun  , so dass  . Daraus folgt (Multiplizität des Betrags und Rücksubstitution):

 

Dreiecksungleichung für den AbstandBearbeiten

Satz (Dreiecksungleichung für den Abstand)

Für alle reellen Zahlen   und   ist  .

Beweis (Dreiecksungleichung für den Abstand)

Gegeben seien   und  . Sei nun   und  , so dass  . Wegen der Dreiecksungleichung gilt nun:  . Durch Rücksubstitution erhalten wir:   bzw.  .

Abschätzung des Abstands nach untenBearbeiten

Satz (Abschätzung des Abstands nach unten)

Es ist  .

Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten)

Es ist

 

und damit nach Umformung der Ungleichung

 

Analog folgt aus

 

die Ungleichung

 

Insgesamt ist also sowohl   als auch   kleiner als  . Damit ist

 

Betrag des QuotientenBearbeiten

Satz (Betrag des Quotienten)

Für Quotienten   ist

 

Beweis (Betrag des Quotienten)

Gegeben sei  . Sei  , so dass  . Nun aber gilt (Betrag des Quotienten):  . Daraus folgt (durch Rücksubstitution), dass  .