Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Die Anordnungsaxiome beschreiben die lineare Ordnung der reellen Zahlen und den Zusammenhang dieser Ordnung mit den arithmetischen Operationen, welche durch die Körperaxiome eingeführt wurden.

Herleitung der Anordnungsaxiome

Anders als andere Mathematik-Lehrbücher möchten wir an dieser Stelle nicht einfach die Anordnungsaxiome nennen, wir möchten vielmehr dieses Kapitel mit der Skizze eines Gedankenweges beginnen, über den man auf die Formulierung der Anordnungsaxiome kommen kann.

Charakteristische Eigenschaften der Kleiner-Relation

Transitivität: Aus $a>b$ und $b>c$ folgt $a>c$.

Aus unserer intuitiven Idee der Zahlengerade wissen wir, dass die reellen Zahlen eine Ordnung haben. Diese wollen wir nun durch die Anordungsaxiome beschreiben. Dazu müssen wir angeben, wie die Relationen $\leq$, $\geq$, $<$ und $>$ für die reellen Zahlen definiert sind.

Dabei reicht es aus, nur eine der vier Relationen anzugeben (siehe Ordnungsrelation aus dem Buch „Grundlagen der Mathematik“). Die restlichen drei Ordnungsrelationen ergeben sich dann automatisch aus der bereits angegebenen Relation.

Wir wählen hierzu die Kleiner-Relation $<$. Aus dem Kapitel zur Ordnungsrelation wissen wir bereits, dass für diese Relation die folgenden beiden Eigenschaften charakteristisch sind:

• $\forall x,y:x<y\ {\dot {\lor }}\ x=y\ {\dot {\lor }}\ y<x$ (Trichotomie der Kleiner-Relation)
• $\forall x,y,z:x<y\land y<z\implies x<z$ (Transitivität der Kleiner-Relation)

Das Zeichen ${\dot {\lor }}$ steht dabei für die Kontravalenz, die Entweder-Oder-Verknüpfung zwischen Aussagen.

Nun müssen wir noch klären, wie die Kleiner-Relation mit den arithmetischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Zusammenhang steht. Im Kapitel zu den Körperaxiomen wurde erklärt, dass die Subtraktion als Addition und die Division als Multiplikation angesehen werden können. Insofern reicht es, nur die Zusammenhänge mit der Addition und der Multiplikation zu untersuchen.

Zusammenhang mit der Addition

Aus dem Modell der reellen Zahlen als Zahlengerade wissen wir, dass wenn wir beide Seiten der Ungleichung $x<y$ mit einer reellen Zahl $a$ addieren, die Ordnung erhalten bleibt:

Addition beider Seiten einer Ungleichung mit einer Zahl erhält die Ungleichung

Es gilt also:

$x<y\implies a+x<a+y$

Aus der obigen Zeichnung lässt sich aber auch die umgekehrte Implikationsrichtung herleiten. Es gilt also auch

$a+x<a+y\implies x<y$

Es ist also genau dann $x<y$, wenn $a+x<a+y$ ist. Dementsprechend erhalten wir insgesamt die Äquivalenz:

$x<y\iff a+x<a+y$

Zusammenhang mit der Multiplikation

Bei der Multiplikation müssen wir unterscheiden, ob mit einer negativen oder mit einer positiven Zahl multipliziert wird. Werden beide Seiten der Ungleichung $x<y$ mit einer positiven Zahl $a$ multipliziert, so bleibt die Ungleichung erhalten:

Multiplikation mit positiver Zahl erhält die Ungleichung

Ähnlich wie bei der Addition gilt für positive Zahlen $a$:

$x<y\iff ax<ay$

Bei der Multiplikation mit negativen Zahlen dreht sich die Ordnung um:

Multiplikation mit negativer Zahl dreht die Ungleichung um

Es gilt für negative Zahlen $a$:

$x<y\iff ay<ax$

Die Multiplikation beider Seiten der Ungleichung $x<y$ mit 0 ergibt immer die falsche Aussage $0<0$ und muss deswegen nicht betrachtet werden.

Zusammenfassung bisheriger Ergebnisse

Bisher haben wir Folgendes herausgefunden: Es muss nur die Kleiner-Relation $<$ definiert werden. Diese hat die charakteristischen Eigenschaften:

• $\forall x,y:x<y\ {\dot {\lor }}\ x=y\ {\dot {\lor }}\ y<x$
• $x<y\land y<z\implies x<z$
• $x<y\iff a+x<a+y$
• Für positives $a$: $x<y\iff ax<ay$
• Für negatives $a$: $x<y\iff ay<ax$

Reduzierung auf die notwendigen Axiome

Eigentlich könnten wir bereits obige Aussagen als Anordnungsaxiome definieren. Jedoch haben wir im Einführungskapitel zu den reellen Zahlen das Ziel formuliert, dass möglichst wenige und nur die wirklich notwendigen Aussagen als Axiome definiert werden. Insofern müssen wir noch schauen, ob die obigen Aussagen in ihrer Aussagekraft oder in ihrer Anzahl reduziert werden können.

Beginnen wir mit der Ungleichung

$x<y$

Wegen $x<y\iff a+x<a+y$ können wir beide Seiten mit $-x$ addieren. Wir erhalten

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrcl}&x&<&y\\\iff \ &x+(-x)&<&y+(-x)\\\iff \ &0&<&y-x\end{array}}\end{aligned}}$

Es ist also genau dann $x<y$, wenn $0<y-x$ ist. Um die Kleiner-Relation $<$ definieren zu können, reicht es also aus zu wissen, welche Zahlen positiv sind. Eine Zahl $x$ ist nämlich genau dann kleiner als $y$, wenn die bereits in den Körperaxiomen definierte Differenz $y-x$ positiv ist. Eine zweistellige Relation $x<y$ können wir also auf die Eigenschaft der Positivität und damit auf eine einstellige Relation reduzieren (Im Abschnitt zu den Relationen haben wir geklärt, dass Eigenschaften von Objekten als einstellige Relationen definiert werden).

Aus der Äquivalenz $x<y\iff 0<y-x$ ist erkennbar, dass es auf die Differenz $y-x$ ankommt. Wenn wir die obigen Aussagen geschickt umformen, dann erhalten wir:

• $\forall x,y:0<y-x\ {\dot {\lor }}\ 0=y-x\ {\dot {\lor }}\ 0<-(y-x)$
• $0<y-x\land 0<z-y\implies 0<z-x$
• $0<y-x\iff 0<a+y-(a+x)$
• Für positives $a$: $0<y-x\iff 0<ay-ax=a(y-x)$
• Für negatives $a$: $0<y-x\iff 0<ax-ay=-a(y-x)$

In der Aussage

$\forall x,y:0<y-x\ {\dot {\lor }}\ 0=y-x\ {\dot {\lor }}\ 0<-(y-x)$

können wir $z=y-x$ setzen und erhalten

$\forall z:0<z\ {\dot {\lor }}\ 0=z\ {\dot {\lor }}\ 0<-z$

Die Aussage

$0<y-x\iff 0<a+y-(a+x)$

ist trivialerweise immer wahr, weil $a+y-(a+x)=y-x$ ist. Sie muss deswegen nicht extra als Axiom aufgenommen werden. Bei der Transitivitätsaussage

$0<y-x\land 0<z-y\implies 0<z-x$

kann man erkennen, dass $z-x=(z-y)+(y-x)$ ist. Diese Aussage könnte man also beweisen, wenn gilt

$0<y-x\land 0<z-y\implies 0<(y-x)+(z-y)$

Obige Aussage können wir vereinfachen, indem wir $a=y-x$ und $b=z-y$ setzen. Wir erhalten dann

$0<a\land 0<b\implies 0<a+b$

Diese Aussage, welche auch unserer intuitiven Idee der reellen Zahlen entspricht, nehmen wir nun in die Anordnungsaxiome auf, um später die Transitivität der Kleiner-Relation zu beweisen. Weiterhin setzen wir bei der Aussage

Für positives $a$: $0<y-x\iff 0<ay-ax=a(y-x)$

für $y-x=b$ ein und erhalten analog zur gerade gefundenen Aussage mit der Addition positiver Zahlen:

$0<a\land 0<b\implies 0<ab$

Wie wir später sehen werden, kann die Regel mit der Multiplikation mit einer negativen Zahl aus den bereits genannten Axiomen hergeleitet werden. Insofern müssen wir auch diese Aussage nicht als Axiom definieren. Insgesamt erhalten wir folgende Aussagen als Axiome für die Anordnung reeller Zahlen:

• $\forall x:0<x\ {\dot {\lor }}\ 0=x\ {\dot {\lor }}\ 0<-x$
• $\forall a,b:0<a\land 0<b\implies 0<a+b$
• $\forall a,b:0<a\land 0<b\implies 0<ab$

Fassen wir nun unsere Erkenntnisse in Definitionen zusammen.

Definitionen zu den Anordnungsaxiomen

Die Ordnung der reellen Zahlen kann dadurch beschrieben werden, dass wir alle positiven Zahlen kennen. Wenn $x$ eine positive Zahl ist, schreiben wir $0<x$. Die Positivität der reellen Zahlen wird dabei über die Anordnungsaxiome definiert:

Definition (Anordnungsaxiome)

Die Anordnungsaxiome lauten

• Trichotomie der Positivität: Für alle reellen Zahlen $x$ gilt entweder $0<x$ oder $x=0$ oder $0<-x$. Mit den Abkürzungen "$\forall$" für "für alle" und "${\dot {\lor }}$" für "entweder oder" können wir dies schreiben als
  $\forall x\in \mathbb {R} :0<x\ {\dot {\lor }}\ 0=x\ {\dot {\lor }}\ 0<-x$
• Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Für alle reellen Zahlen $a$ und $b$ gilt: Wenn $0<a$ und $0<b$ ist, dann ist auch $0<a+b$. In Zeichen:
  $\forall a,b\in \mathbb {R} :0<a\land 0<b\implies 0<a+b$
• Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $a$ und $b$ gilt: Wenn $0<a$ und $0<b$ ist, dann ist auch $0<ab$. In Zeichen:
  $\forall a,b\in \mathbb {R} :0<a\land 0<b\implies 0<ab$

Mit Hilfe der Positivitätseigenschaft $0<x$ können wir die Kleiner-Relation definieren:

Definition (Kleiner-Relation)

Die Kleiner-Relation $x<y$ ist durch folgende Äquivalenz definiert:

$x<y:\iff 0<y-x$

Es ist also genau dann $x$ kleiner als $y$, wenn die Differenz $y-x$ positiv ist. Über die Kleiner-Relation können wir alle weiteren Ordnungsrelationen definieren:

Definition (Weitere Ordnungsrelationen auf Grundlage der Kleiner-Relation)

Für die reellen Zahlen sind außerdem die Relationen $\geq$, $\leq$ und $>$ über folgende Äquivalenzen definiert:

• $x\leq y:\iff x<y\lor x=y$
• $x\geq y:\iff y<x\lor x=y$
• $x>y:\iff y<x$

Eine Struktur wie die der reellen Zahlen, die die Körper- und Anordnungsaxiome erfüllt, wird im Übrigen angeordneter Körper genannt:

Definition (angeordneter Körper)

Ein angeordneter Körper ist ein Körper, der die Anordnungsaxiome erfüllt.

Alternative Beschreibung der Anordnungsaxiome

Die Eigenschaft für eine Zahl, positiv zu sein, ist eine einstellige Relation. Im Kapitel zu den Relationen aus dem Buch „Grundlagen der Mathematik“ haben wir gelernt, dass einstellige Relationen über Mengen modelliert werden können. Hierzu definieren wir uns eine Menge $M$, die alle Zahlen $x$ enthält, für die $0<x$ gilt und die damit positiv sind. Wenn man eine solche Menge $M$ hat, kann man anstelle von $0<x$ auch $x\in M$ schreiben. Dementsprechend können die Anordnungsaxiome auch umgeschrieben werden:

Definition (Alternative Definition der Anordnungsaxiome)

Es gibt eine Menge $M\subseteq \mathbb {R}$ mit folgenden Eigenschaften:

• Trichotomie:
  $M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}=\mathbb {R}$
• Abgeschlossenheit bezüglich Addition:
  $\forall a,b:a\in M\land b\in M\implies a+b\in M$
• Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation:
  $\forall a,b:a\in M\land b\in M\implies ab\in M$

Eine Zahl wird positiv genannt, wenn sie Element von $M$ ist. Es gilt also

$0<x:\iff x\in M$

Alle weiteren Definitionen sind nun identisch zum obigen Abschnitt. Das Zeichen ${\dot {\cup }}$ ist im Übrigen die disjunkte Vereinigung.

Zur Erklärung der alternativen Anordnungsaxiome: Die Axiome zur Abgeschlossenheit wurden direkt übernommen, wobei $0<x$ durch $x\in M$ ersetzt wurde.

Zum Axiom der Trichotomie: Weil $M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}$ gleich $\mathbb {R}$ ist, ist jede reelle Zahl Element der Menge $M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}$. Nun ist aber die Vereinigung von $M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}$ disjunkt und damit jede reelle Zahl Element von genau einer der drei Mengen

1. $M$
2. $\{0\}$
3. $\{-x:x\in M\}$

Im ersten Fall $x\in M$ ist $0<x$. Für $x\in \{0\}$ ist $x=0$ und für $x\in \{-x:x\in M\}$ ist $0<-x$. Die Gleichung

$M\ {\dot {\cup }}\ \{0\}\ {\dot {\cup }}\ \{-x:x\in M\}=\mathbb {R}$

ist also äquivalent zur oben eingeführten Version der Trichotomie.