Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Die Anordnungsaxiome beschreiben die lineare Ordnung der reellen Zahlen und den Zusammenhang dieser Ordnung mit den arithmetischen Operationen, welche durch die Körperaxiome eingeführt wurden.

Herleitung der Anordnungsaxiome Bearbeiten

Anders als andere Mathematik-Lehrbücher möchten wir an dieser Stelle nicht einfach die Anordnungsaxiome nennen, wir möchten vielmehr dieses Kapitel mit der Skizze eines Gedankenweges beginnen, über den man auf die Formulierung der Anordnungsaxiome kommen kann.

Charakteristische Eigenschaften der Kleiner-RelationBearbeiten

 
Transitivität: Aus   und   folgt  .

Aus unserer intuitiven Idee der Zahlengerade wissen wir, dass die reellen Zahlen eine Ordnung haben. Diese wollen wir nun durch die Anordungsaxiome beschreiben. Dazu müssen wir angeben, wie die Relationen  ,  ,   und   für die reellen Zahlen definiert sind.

Dabei reicht es aus, nur eine der vier Relationen anzugeben (siehe Ordnungsrelation aus dem Buch „Grundlagen der Mathematik“). Die restlichen drei Ordnungsrelationen ergeben sich dann automatisch aus der bereits angegebenen Relation.

Wir wählen hierzu die Kleiner-Relation  . Aus dem Kapitel zur Ordnungsrelation wissen wir bereits, dass für diese Relation die folgenden beiden Eigenschaften charakteristisch sind:

  •   (Trichotomie der Kleiner-Relation)
  •   (Transitivität der Kleiner-Relation)

Das Zeichen   steht dabei für die Kontravalenz, die Entweder-Oder-Verknüpfung zwischen Aussagen.

Nun müssen wir noch klären, wie die Kleiner-Relation mit den arithmetischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Zusammenhang steht. Im Kapitel zu den Körperaxiomen wurde erklärt, dass die Subtraktion als Addition und die Division als Multiplikation angesehen werden können. Insofern reicht es, nur die Zusammenhänge mit der Addition und der Multiplikation zu untersuchen.

Zusammenhang mit der AdditionBearbeiten

Aus dem Modell der reellen Zahlen als Zahlengerade wissen wir, dass wenn wir beide Seiten der Ungleichung   mit einer reellen Zahl   addieren, die Ordnung erhalten bleibt:

Es gilt also:

 

Aus der obigen Zeichnung lässt sich aber auch die umgekehrte Implikationsrichtung herleiten. Es gilt also auch

 

Es ist also genau dann  , wenn   ist. Dementsprechend erhalten wir insgesamt die Äquivalenz:

 

Zusammenhang mit der MultiplikationBearbeiten

Bei der Multiplikation müssen wir unterscheiden, ob mit einer negativen oder mit einer positiven Zahl multipliziert wird. Werden beide Seiten der Ungleichung   mit einer positiven Zahl   multipliziert, so bleibt die Ungleichung erhalten:

Ähnlich wie bei der Addition gilt für positive Zahlen  :

 

Bei der Multiplikation mit negativen Zahlen dreht sich die Ordnung um:

Es gilt für negative Zahlen  :

 

Die Multiplikation beider Seiten der Ungleichung   mit 0 ergibt immer die falsche Aussage   und muss deswegen nicht betrachtet werden.

Zusammenfassung bisheriger ErgebnisseBearbeiten

Bisher haben wir Folgendes herausgefunden: Es muss nur die Kleiner-Relation   definiert werden. Diese hat die charakteristischen Eigenschaften:

  •  
  •  
  •  
  • Für positives  :  
  • Für negatives  :  

Reduzierung auf die notwendigen AxiomeBearbeiten

Eigentlich könnten wir bereits obige Aussagen als Anordnungsaxiome definieren. Jedoch haben wir im Einführungskapitel zu den reellen Zahlen das Ziel formuliert, dass möglichst wenige und nur die wirklich notwendigen Aussagen als Axiome definiert werden. Insofern müssen wir noch schauen, ob die obigen Aussagen in ihrer Aussagekraft oder in ihrer Anzahl reduziert werden können.

Beginnen wir mit der Ungleichung

 

Wegen   können wir beide Seiten mit   addieren. Wir erhalten

 

Es ist also genau dann  , wenn   ist. Um die Kleiner-Relation   definieren zu können, reicht es also aus zu wissen, welche Zahlen positiv sind. Eine Zahl   ist nämlich genau dann kleiner als  , wenn die bereits in den Körperaxiomen definierte Differenz   positiv ist. Eine zweistellige Relation   können wir also auf die Eigenschaft der Positivität und damit auf eine einstellige Relation reduzieren (Im Abschnitt zu den Relationen haben wir geklärt, dass Eigenschaften von Objekten als einstellige Relationen definiert werden).

Aus der Äquivalenz   ist erkennbar, dass es auf die Differenz   ankommt. Wenn wir die obigen Aussagen geschickt umformen, dann erhalten wir:

  •  
  •  
  •  
  • Für positives  :  
  • Für negatives  :  

In der Aussage

 

können wir   setzen und erhalten

 

Die Aussage

 

ist trivialerweise immer wahr, weil   ist. Sie muss deswegen nicht extra als Axiom aufgenommen werden. Bei der Transitivitätsaussage

 

kann man erkennen, dass   ist. Diese Aussage könnte man also beweisen, wenn gilt

 

Obige Aussage können wir vereinfachen, indem wir   und   setzen. Wir erhalten dann

 

Diese Aussage, welche auch unserer intuitiven Idee der reellen Zahlen entspricht, nehmen wir nun in die Anordnungsaxiome auf, um später die Transitivität der Kleiner-Relation zu beweisen. Weiterhin setzen wir bei der Aussage

Für positives  :  

für   ein und erhalten analog zur gerade gefundenen Aussage mit der Addition positiver Zahlen:

 

Wie wir später sehen werden, kann die Regel mit der Multiplikation mit einer negativen Zahl aus den bereits genannten Axiomen hergeleitet werden. Insofern müssen wir auch diese Aussage nicht als Axiom definieren. Insgesamt erhalten wir folgende Aussagen als Axiome für die Anordnung reeller Zahlen:

  •  
  •  
  •  

Fassen wir nun unsere Erkenntnisse in Definitionen zusammen.

Definitionen zu den AnordnungsaxiomenBearbeiten

Die Ordnung der reellen Zahlen kann dadurch beschrieben werden, dass wir alle positiven Zahlen kennen. Wenn   eine positive Zahl ist, schreiben wir  . Die Positivität der reellen Zahlen wird dabei über die Anordnungsaxiome definiert:

Definition (Anordnungsaxiome)

Die Anordnungsaxiome lauten

  • Trichotomie der Positivität: Für alle reellen Zahlen   gilt entweder   oder   oder  . Mit den Abkürzungen " " für "für alle" und " " für "entweder oder" können wir dies schreiben als
     
  • Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Für alle reellen Zahlen   und   gilt: Wenn   und   ist, dann ist auch  . In Zeichen:
     
  • Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation: Für alle reellen Zahlen   und   gilt: Wenn   und   ist, dann ist auch  . In Zeichen:
     

Mit Hilfe der Positivitätseigenschaft   können wir die Kleiner-Relation definieren:

Definition (Kleiner-Relation)

Die Kleiner-Relation   ist durch folgende Äquivalenz definiert:

 

Es ist also genau dann   kleiner als  , wenn die Differenz   positiv ist. Über die Kleiner-Relation können wir alle weiteren Ordnungsrelationen definieren:

Definition (Weitere Ordnungsrelationen auf Grundlage der Kleiner-Relation)

Für die reellen Zahlen sind außerdem die Relationen  ,   und   über folgende Äquivalenzen definiert:

  •  
  •  
  •  

Eine Struktur wie die der reellen Zahlen, die die Körper- und Anordnungsaxiome erfüllt, wird im Übrigen angeordneter Körper genannt:

Definition (angeordneter Körper)

Ein angeordneter Körper ist ein Körper, der die Anordnungsaxiome erfüllt.

Alternative Beschreibung der AnordnungsaxiomeBearbeiten

Die Eigenschaft für eine Zahl, positiv zu sein, ist eine einstellige Relation. Im Kapitel zu den Relationen aus dem Buch „Grundlagen der Mathematik“ haben wir gelernt, dass einstellige Relationen über Mengen modelliert werden können. Hierzu definieren wir uns eine Menge  , die alle Zahlen   enthält, für die   gilt und die damit positiv sind. Wenn man eine solche Menge   hat, kann man anstelle von   auch   schreiben. Dementsprechend können die Anordnungsaxiome auch umgeschrieben werden:

Definition (Alternative Definition der Anordnungsaxiome)

Es gibt eine Menge   mit folgenden Eigenschaften:

  • Trichotomie:
     
  • Abgeschlossenheit bezüglich Addition:
     
  • Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation:
     

Eine Zahl wird positiv genannt, wenn sie Element von   ist. Es gilt also

 

Alle weiteren Definitionen sind nun identisch zum obigen Abschnitt. Das Zeichen   ist im Übrigen die disjunkte Vereinigung.

Zur Erklärung der alternativen Anordnungsaxiome: Die Axiome zur Abgeschlossenheit wurden direkt übernommen, wobei   durch   ersetzt wurde.

Zum Axiom der Trichotomie: Weil   gleich   ist, ist jede reelle Zahl Element der Menge  . Nun ist aber die Vereinigung von   disjunkt und damit jede reelle Zahl Element von genau einer der drei Mengen

  1.  
  2.  
  3.  

Im ersten Fall   ist  . Für   ist   und für   ist  . Die Gleichung

 

ist also äquivalent zur oben eingeführten Version der Trichotomie.