Vereinigung von Mengen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Definition

Erklärungen zum Durchschnitt und zur Vereinigung. (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Eine weitere wichtige Verknüpfung zwischen Mengen ist die Vereinigung. Die Vereinigung zweier Mengen ist diejenige Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält. Ein Element $x$ ist also genau dann in der Vereinigung von $A$ und $B$, wenn $x$ in $A$ und/oder $x$ in $B$ ist. Die Vereinigung wird durch $A\cup B$ gekennzeichnet (ausgesprochen: „$A$ vereinigt $B$“). Im Mengendiagramm ist die Vereinigung der gesamte Flächeninhalt beider Mengen:

Vereinigungsmenge zweier Mengen

Auch hier ist die Ähnlichkeit von $\cup$ mit der Disjunkten $\lor$, also dem logischen „oder“ beabsichtigt. Es ist nämlich

$A\cup B=\{x\,|\,x\in A\lor x\in B\}$

Mit Erklärungen:

$\underbrace {{\underset {}{}}A\cup B} _{\text{A vereinigt mit B}}\underbrace {{\underset {}{}}=} _{\text{ist}}\underbrace {{\underset {}{}}\{x\,|\,} _{{\text{die Menge aller }}x{\text{ für die gilt:}}}\underbrace {{\underset {}{}}x\in A} _{\text{x ist Element von A}}\underbrace {{\underset {}{}}\lor } _{\text{oder}}\underbrace {{\underset {}{}}x\in B} _{\text{x ist Element von B}}\}$

Insgesamt ergibt sich folgende Definition der Vereinigung:

Definition (Vereinigung)

Die Vereinigung $A\cup B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert durch:

$A\cup B:=\{x\,|\,x\in A\lor x\in B\}$

Verständnisfrage: Impliziert $A\cup B=A\cup C$ die Gleichheit der Mengen $B$ und $C$?

Nein. Für beispielsweise $A=\left\{1\right\}$, $B=\left\{2\right\}$ und $C=\left\{1,2\right\}$ ist $A\cup B=\{1,2\}=A\cup C$ aber $B$ und $C$ sind unterschiedliche Mengen.

Beispiele

Vereinigung zweier Polygonmengen

Beispiel (Vereinigung)

1. $\{2,4,5,9\}\cup \{1,3,5,7,12\}=\{1,2,3,4,5,7,9,12\}$
2. $\{3,12,18\}\cup \{3,4,12,16,18\}=\{3,4,12,16,18\}$
3. $\mathbb {Q} ^{+}\cup \mathbb {Q} ^{-}=\{x\in \mathbb {Q} \,|\,x\neq 0\}$
4. $\{x\in \mathbb {N} \,|\,x{\text{ gerade}}\}\cup \{x\in \mathbb {N} \,|\,x{\text{ ungerade}}\}=\mathbb {N}$

Erklärungen:

• Beispiel 1 und 2: Die Vereinigungsmenge umfasst alle Elemente der beiden Mengen zusammengefasst.
• Beispiel 3: Jede rationale Zahl ungleich null ist entweder positiv oder negativ. Null ist die einzige rationale Zahl, die weder positiv noch negativ ist.
• Beispiel 4: Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade.

Eigenschaften der Vereinigungsmenge

Hier die wichtigsten Eigenschaften der Vereinigung:

Satz (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

1. $A\cup B=B\cup A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cup A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cup \varnothing =A$ (Neutralität der leeren Menge)
5. $A\cup {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}$
6. $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$ (De-Morgansches Gesetz)

Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

1. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cup B\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\lor \,x\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Kommutativit{\ddot {a}}t\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in B\,\lor \,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&B\cup A\end{aligned}}$
2. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A\cup B)\cup C\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in \{y\,|\,y\in A\,\lor \,y\in B\}\lor x\in C\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in A\,\lor \,y\in B\}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A\,\lor \,x\in B)\lor x\in C\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Assoziativit{\ddot {a}}t\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\lor \,(x\in B\lor x\in C)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in B\,\lor \,y\in C\}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\lor \,x\in \{y\,|\,y\in B\lor y\in C\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cup (B\cup C)\end{aligned}}$
3. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cup A\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Idempotenz\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
4. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cup \varnothing \\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x\in \varnothing \}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x\neq x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
5. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cup {\mathcal {V}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x\in {\mathcal {V}}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}$
6. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A\cup B)^{c}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{c}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin A\cup B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin A\land x\notin B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{c}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A^{c}\land x\in B^{c}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A^{c}\cap B^{c}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A^{c}\cap B^{c}\end{aligned}}$

Verständnisfrage: Warum gilt: $A\subseteq A\cup B$ und $B\subseteq A\cup B$

Hinweis: Nutze die Definition von $\cup$ und das Abstraktionsprinzip von Mengen.

Sei $x\in A$ beliebig. Dann gilt $x\in A\lor x\in B$. Mit dem Abstraktionsprinzip folgt daraus $x\in \{y\,|\,y\in A\lor y\in B\}=A\cup B$. Das zeigt die Teilmengenbeziehung. Die Behauptung $B\subseteq A\cup B$ wird genauso bewiesen.

Verständnisfrage: Es gelte: $A\cup B=A$. Was folgt für das Verhältnis zwischen $A$ und $B$?

Es gilt $B\subseteq A$. Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich $B\subseteq A\cup B=A$.

Hinweis

Achte darauf, nicht doppelt zu zählen!! Wir sind oft daran interessiert, die Kardinalität einer Vereinigung zwei Mengen $A$ und $B$ zu finden. Beachte, dass $|A|+|B|$ jedes Element, das in $A$ aber nicht in $B$, oder in $B$ aber nicht in $A$ ist, genau einmal zählt, und jedes Element, das in beiden $A$ und $B$ ist, wird jedoch genau zweimal gezählt. Wenn man also die Anzahl der Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ sind, von $|A|+|B|$ subtrahiert, werden die Elemente in $A\cap B$ nur einmal gezählt. Daher gilt: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Disjunkte Vereinigung

Beispiel einer disjunkten Vereinigung

Möchte ein Autor deutlich machen, dass die vereinigten Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, so schreibt er in der Regel $A\,{\dot {\cup }}\,B$ (ausgesprochen: „$A$ disjunkt vereinigt mit $B$“). Mengen ohne gemeinsame Elemente nennt man im Übrigen „disjunkte Mengen“. Der Operator ${\dot {\cup }}$ wird disjunkte Vereinigung genannt. $A\,{\dot {\cup }}\,B$ ist also nichts anderes als die normale Vereinigung $A\cup B$, mit dem einzigen Unterschied, dass bei der Schreibweise $A\,{\dot {\cup }}\,B$ der Durchschnitt der Mengen $A$ und $B$ leer ist.

Wozu braucht man die disjunkte Vereinigung? Manchmal ist es notwendig zu wissen, dass eine Menge die Vereinigung bestimmter disjunkter Mengen ist. Mit der disjunkten Vereinigung kann man dies kurz und knapp ausdrücken.

Schauen wir uns das ganz an einem Beispiel an. Folgende Formel könnte dir im ersten Semester begegnen (man benutzt sie, um die Ordnung der reellen Zahlen zu beschreiben):

$\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{+}\,{\dot {\cup }}\,\{0\}\,{\dot {\cup }}\,\mathbb {R} ^{-}$

Mit Erklärung:

$\underbrace {{\underset {}{}}\mathbb {R} } _{\text{Die Menge der reellen Zahlen }}\underbrace {{\underset {}{}}=} _{\text{ist}}\quad \underbrace {{\underset {}{}}\mathbb {R} ^{+}\,{\dot {\cup }}\,\{0\}\,{\dot {\cup }}\,\mathbb {R} ^{-}} _{\begin{array}{c}{\text{die disjunkte Vereinigung der positiven }}\\{\text{und der negativen reellen Zahlen und der Null.}}\end{array}}$

Ohne die disjunkte Vereinigung könnte man auch schreiben:

${\big (}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\cup \mathbb {R} ^{-}{\big )}\land {\big (}\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ^{-}{\text{ und }}\{0\}{\text{ sind paarweise disjunkt}}{\big )}$

Obige Formel mit der disjunkten Vereinigung ist kürzer und deswegen wird sie auch in der Mathematik verwendet.

Definition (disjunkte Vereinigung)

Die Schreibweise

$C=A\,{\dot {\cup }}\,B$

ist eine Abkürzung für

${\big (}C=A\,{\cup }\,B{\big )}\land (A\cap B=\varnothing )$

${\dot {\cup }}$ wird dabei disjunkte Vereinigung genannt.

Große Vereinigung

So wie wir einen großen Durchschnitt definiert haben, so definieren wir nun eine große Vereinigung. Dazu betrachten wir eine Menge $M$, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir die Vereinigung bilden wollen. Wir sammeln also alle die Objekte ein, die in (wenigstens) einem Element von $M$ enthalten sind.

Beispiel (Vereinigung über $M$)

Sei $M:=\,\{A,B,C,D\}$ mit

${\begin{aligned}A&:=\{1,2,3,4,5\}\\B&:=\{2,4,7\}\\C&:=\{0,2,4,7,9\}\\D&:=\{2,3,4,8\}\end{aligned}}$

Dann ist die Vereinigung über $M$ gleich die Menge $\{0,1,2,3,4,5,7,8,9\}$.

Besteht $M$ aus den zwei Mengen $A$ und $B$, so liegen in der Vereinigung über M alle Objekte, die in A oder in B liegen. Und das ist gerade $A\cup B$. Die "kleine" Vereinigung $\cup$ ist also ein Spezialfall der großen Vereinigung $\bigcup$.

Definition (Große Vereinigung)

Die Vereinigung über der Menge $M$ ist die Menge aller Objekte, die Element in einem Element von $M$ sind:

$\bigcup M:=\{x\,|\,\exists y\in M:x\in y\}$

Verständnisaufgabe: Beweise für zwei beliebige Mengen $A$ und $B$: $\;\bigcup \{A,B\}=A\cup B$.

${\begin{aligned}&x\in \bigcup \{A,B\}&&\\\iff &\exists y\in \{A,B\}:x\in y&&Definition\,von\,\bigcup \\\iff &x\in A\lor x\in B&&\{A,B\}\,hat\,nur\,die\,beiden\,Elemente\\\iff &x\in A\cup B&&Definition\,von\,\cup \\\end{aligned}}$

Sonderfälle: Zur Erinnerung: $\varnothing :=\{x\,|\,x\neq x\}$ ist die leere Menge, ${\mathcal {V}}:=\{x\,|\,x=x\}$ die Allklasse, vgl. Kapitel "Leere Menge und Allklasse". Was ist

1. $\bigcup \varnothing$
2. $\bigcup {\mathcal {V}}$

Antwort:

1. $\bigcup \varnothing =\varnothing$. Wir halten uns an die Definition von $\bigcup$ und erhalten: $\bigcup \varnothing =\{x\,|\,\exists y\in \varnothing :x\in y\}=\{x\,|\,\exists y:y\in \varnothing \land x\in y\}=\dotsc$. Der linke Teil $y\in \varnothing$ der Konjunktion ist immer falsch, die Konjunktion selbst also auch und damit auch die Existenzaussage. Deswegen können wir die Existenzaussage durch $x\neq x$ ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen: $\dotsc =\{x\,|\,x\neq x\}=\varnothing$.
2. Da wir ja bisher nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen, wissen wir nicht genau, welche Mengen zu ${\mathcal {V}}$ gehören. Deren Elemente sollen wir ja für die Vereinigung einsammeln. Mehr dazu gibt es im Kapitel Axiomatische Mengenlehre.

Notation

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für die großen Vereinigung üblich.

$\bigcup _{A\in M}A$ ist genau dasselbe wie $\bigcup M$.

$A$ ist eine Variable und steht für die Elemente von $M$. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in $y$: $\bigcup _{y\in M}y$. Entscheidend ist die Menge $M$, mit deren Elementen wird die Vereinigung gebildet. Wenn die Elemente der Menge $M$ indiziert sind, also $M=\{A_{1},A_{2},A_{3},\dotsc ,A_{i},\dotsc \}$, mit $i\in I$, ist auch die folgende Schreibweise üblich: $\;\bigcup _{i\in I}A_{i}$.