Vereinigung von Mengen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

DefinitionBearbeiten

Erklärungen zum Durchschnitt und zur Vereinigung. (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Eine weitere wichtige Verknüpfung zwischen Mengen ist die Vereinigung. Die Vereinigung zweier Mengen ist diejenige Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält. Ein Element   ist also genau dann in der Vereinigung von   und  , wenn   in   und/oder   in   ist. Die Vereinigung wird durch   gekennzeichnet (ausgesprochen: „  vereinigt  “). Im Mengendiagramm ist die Vereinigung der gesamte Flächeninhalt beider Mengen:

Auch hier ist die Ähnlichkeit von   mit der Disjunkten  , also dem logischen „oder“ beabsichtigt. Es ist nämlich

 

Mit Erklärungen:

 

Insgesamt ergibt sich folgende Definition der Vereinigung:

Definition (Vereinigung)

Die Vereinigung   zweier Mengen   und   ist definiert durch:

 

Verständnisfrage: Impliziert   die Gleichheit der Mengen B und C?

Nein. Für beispielsweise  ,   und   ist   aber   und   sind unterschiedliche Mengen.

BeispieleBearbeiten

 
Vereinigung zweier Polygonmengen

Beispiel (Vereingung)

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Erklärungen:

  • Beispiel 1 und 2: Die Vereinigungsmenge umfasst alle Elemente der beiden Mengen zusammengefasst.
  • Beispiel 3: Jede rationale Zahl ungleich null ist entweder positiv oder negativ. Null ist die einzige rationale Zahl, die weder positiv noch negativ ist.
  • Beispiel 4: Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade.

Eigenschaften der VereinigungsmengeBearbeiten

Hier die wichtigsten Eigenschaften der Vereinigung:

Satz (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

  1.   (Kommutativgesetz)
  2.   (Assoziativgesetz)
  3.   (Idempotenz)
  4.   (Neutralität der leeren Menge)
  5.  

Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

  1. Es ist
     
  2. Es ist
     
  3. Es ist
     
  4. Es ist
     
  5. Es ist
     

Verständnisfrage: Warum gilt:   und  

Hinweis: Nutze die Definition von   und das Abstraktionsprinzip von Mengen.

Sei   beliebig. Dann gilt  . Mit dem Abstraktionsprinzip folgt daraus  . Das zeigt die Teilmengenbeziehung. Die Behauptung   wird genauso bewiesen.

Verständnisfrage: Es gelte:  . Was folgt für das Verhältnis zwischen   und  ?

Es gilt  . Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich  .

Disjunkte VereinigungBearbeiten

 
Beispiel einer disjunkten Vereinigung

Möchte ein Autor deutlich machen, dass die vereinigten Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, so schreibt er in der Regel   (ausgesprochen: „  disjunkt vereinigt mit  “). Mengen ohne gemeinsame Elemente nennt man im Übrigen „disjunkte Mengen“. Der Operator   wird disjunkte Vereinigung genannt.   ist also nichts anderes als die normale Vereinigung  , mit dem einzigen Unterschied, dass bei der Schreibweise   der Durchschnitt der Mengen   und   leer ist.

Wozu braucht man die disjunkte Vereinigung? Manchmal ist es notwendig zu wissen, dass eine Menge die Vereinigung bestimmter disjunkter Mengen ist. Mit der disjunkten Vereinigung kann man dies kurz und knapp ausdrücken.

Schauen wir uns das ganz an einem Beispiel an. Folgende Formel könnte dir im ersten Semester begegnen (man benutzt sie, um die Ordnung der reellen Zahlen zu beschreiben):

 

Mit Erklärung:

 

Ohne die disjunkte Vereinigung könnte man auch schreiben:

 

Obige Formel mit der disjunkten Vereinigung ist kürzer und deswegen wird sie auch in der Mathematik verwendet.

Definition (disjunkte Vereinigung)

Die Schreibweise

 

ist eine Abkürzung für

 

  wird dabei disjunkte Vereinigung genannt.

Große VereinigungBearbeiten

So wie wir einen großen Durchschnitt definiert haben, so definieren wir nun eine große Vereinigung. Dazu betrachten wir eine Menge  , deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir die Vereinigung bilden wollen. Wir sammeln also alle die Objekte ein, die in (wenigstens) einem Element von   enthalten sind.

Beispiel (Vereinigung über  )

Sei   mit

 

Dann ist die Vereinigung über   gleich die Menge  .

Besteht   aus den zwei Mengen   und  , so liegen in der Vereinigung über M alle Objekte, die in A oder in B liegen. Und das ist gerade  . Die "kleine" Vereinigung   ist also ein Spezialfall der großen Vereinigung  .

Definition (Große Vereinigung)

Die Vereinigung über der Menge   ist die Menge aller Objekte, die Element in einem Element von   sind:

 

Verständnisaufgabe: Beweise für zwei beliebige Mengen   und  :  .

 

Sonderfälle: Zur Erinnerung:   ist die leere Menge,   die Allklasse, vgl. Kapitel "Leere Menge und Allklasse". Was ist

  1.  
  2.  

Antwort:

  1.  . Wir halten uns an die Definition von   und erhalten:  . Der linke Teil   der Konjunktion ist immer falsch, die Konjunktion selbst also auch und damit auch die Existenzaussage. Deswegen können wir die Existenzaussage durch   ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen:  .
  2. Da wir ja bisher nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen, wissen wir nicht genau, welche Mengen zu   gehören. Deren Elemente sollen wir ja für die Vereinigung einsammeln. Mehr dazu gibt es im Kapitel Axiomatische Mengenlehre.

NotationBearbeiten

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für die großen Vereinigung üblich.

  ist genau dasselbe wie  .

  ist eine Variable und steht für die Elemente von  . Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in  :  . Entscheidend ist die Menge  , mit deren Elementen wird die Vereinigung gebildet. Wenn die Elemente der Menge   indiziert sind, also  , mit  , ist auch die folgende Schreibweise üblich:  .