Durchschnitt von Mengen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem und im nächsten Kapitel möchten wir dir den Durchschnitt beziehungsweise die Vereinigung von Mengen vorstellen, welche in Würdigung der Arbeiten von George Boole auch Boolsche Operatoren genannt werden.

DefinitionBearbeiten

Erklärungen zum Durchschnitt und zur Vereinigung. (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Der Durchschnitt zweier Mengen   und   ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente der Menge   als auch der Menge   sind. Ihr Symbol ist  . Die Schreibweise für den Schnitt zwischen zwei Mengen   und   ist   und wird „  geschnitten  “ ausgesprochen.

Im Mengendiagramm ist der Durchschnitt zweier Mengen gleich der Schnittfläche, der zu diesen beiden Mengen zugehörigen Flächen (hier die blaue Fläche):

Dir wird vielleicht schon aufgefallen sein, dass das Symbol   des Durchschnitts Ähnlichkeiten zur Konjunktion  , also mit der logischen Verknüpfung für „und“ aufweist. Dies ist kein Wunder, denn   bezeichnet alle Objekte, die Elemente von   und   sind. Die Verknüpfung   wird in der Regel auch mit Hilfe der Konjunktion   definiert. Es ist nämlich

 

Obige Formel mit Erklärungen:

 

Damit können wir nun folgende Definition aufschreiben:

Definition (Durchschnitt)

Der Durchschnitt   ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente von   als auch von   sind:

 
 
Durchschnitt dreier Mengen

Es ist auch möglich, den Durchschnitt von mehr als zwei Mengen zu bilden. So bezeichnet   die Menge aller Objekte, die sowohl in   als auch in   und in   enthalten sind. Diese Menge kann gebildet werden, indem zunächst   bestimmt wird, welche dann wiederum mit   geschnitten wird. Es ist also

 

Analog kann man den Schnitt von mehr als drei Mengen definieren.

Verständnisfrage: Impliziert   die Gleichheit von B und C?

Nein. Betrachte zum Beispiel  ,   und  . Es ist  , aber es ist  .

BeispieleBearbeiten

Hier einige Beispiele für den Durchschnitt:

Beispiel (Durchschnitt)

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Erklärungen:

  • Beispiel 1:   ist die einzige Zahl, die Element sowohl der linken als auch der rechten Menge ist.
  • Beispiel 2: Die erste Menge ist eine Teilmenge der zweiten Menge. Damit ist die Schnittmenge gleich der ersten Menge.
  • Beispiel 3: Eine ganze Zahl, die auch eine positive rationale Zahl ist, muss eine natürliche Zahl sein. Umgekehrt sind alle natürlichen Zahlen sowohl ganze Zahlen als auch positive rationale Zahlen.
  • Beispiel 4: Es gibt keine Zahl, die sowohl gerade als auch ungerade ist. Der Schnitt muss also leer sein.

Hier einige Durchschnittsmengen visualisiert durch Mengendiagramme:

Durchschnittsmenge bildenBearbeiten

Schnittmenge von zwei endlichen MengenBearbeiten

Zunächst schauen wir uns an, wie du die Durchschnittsmenge von endlichen Mengen bilden kannst. Nehmen wir hier als Beispiel die beiden Mengen   und  . Um den Durchschnitt   zu bilden, gehst du alle Elemente von   durch und überprüfst, ob sie auch Elemente von   sind:

 

Die gemeinsamen Elemente notierst du dann als Ergebnis von  :

 

Verständnisaufgabe: Bilde folgende Mengen

  •  
  •  
  •  
  •  

Lösungen:

  •  
  •  
  •  
  •  

Schnittmenge von mehreren endlichen MengenBearbeiten

Stell dir nun vor, dass zusätzlich   definiert ist und man   bilden möchte. Hierzu bildet man zunächst  , was nach obigen Abschnitt gleich   ist. Dann bildet man den Schnitt zwischen   und   wie wir es bereits oben gemacht haben:

 

Man erhält das Ergebnis:

 

Unendliche SchnittmengenBearbeiten

Wenn du allgemein den Schnitt zweier Mengen bestimmen möchtest, dann mache dir klar, wie beide Mengen definiert sind:

  • Was ist die charakteristische Eigenschaft für die Elemente der beiden Mengen?
  • Welche Objekte sind in beiden Mengen enthalten, erfüllen also beide charakteristischen Eigenschaften?
  • Kann es solche Objekte überhaupt geben?
  • Ist die Schnittmenge eine bereits bekannte Menge?
  • Ist es ein Intervall oder ein bestimmter Zahlenbereich wie   oder  ?

Wenn dir klar ist, wie die Schnittmenge aussieht, dann versuche diese, über eine Mengenschreibweise zu notieren. Mit der Zeit wirst du merken, dass dir die Schnittmengenbildung immer einfacher fallen wird.

Verständnisaufgabe: Bilde folgende Mengen

  •   (Durchschnitt zweier Intervalle aus  )
  •  
  •  

Lösungen:

  •  
  •  
  •  

Diskussion: Was ist   ?

Es gibt (mindestens) zwei mögliche Antworten:

  • Wenn die natürlichen Zahlen keine Mengen sind, gilt:  , denn die Potenzmenge   enthält nur Mengen.
  • Anders dagegen verhält es sich wenn die natürlichen Zahlen nach John von Neumann definiert werden, wie im Kapitel "Axiomatische Mengenlehre" beschrieben. Dann ist jede natürliche Zahl die Menge seiner Vorgänger und es gilt   und daraus folgt:  .

Eigenschaften der SchnittmengeBearbeiten

Satz (Eigenschaften der Schnittmenge)

  1.   (Kommutativgesetz)
  2.   (Assoziativgesetz)
  3.   (Idempotenz)
  4.   (Neutralität der Allklasse)
  5.  

Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften der Schnittmenge)

  1. Es ist
     
  2. Es ist
     
  3. Es ist
     
  4. Es ist
     
  5. Es ist
     

Verständnisfrage: Warum gilt:   und  

Hinweis: Nutze die Definition von   und das Abstraktionsprinzip von Mengen.

Sei   beliebig. Dann gilt  . Mit dem Abstraktionsprinzip folgt  , also gelten   und  . Das zeigt die Teilmengenbeziehung.

Verständnisfrage: Es gelte:  . Was folgt für das Verhältnis zwischen   und  ?

Es gilt  . Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich  

Großer Durchschnitt Bearbeiten

Bisher haben wir den Durchschnitt von zwei Mengen definiert. Nun wollen wir den Durchschnitt von vielen Mengen bilden. Dazu betrachten wir eine Menge  , deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir den Durchschnitt bilden wollen. Wir sammeln dann die Objekte ein, die in allen Elementen von   enthalten sind.

Beispiel (Durchschnitt über  )

Sei   mit

 

Dann ist der Durchschnitt über   die Menge  .

Besteht   aus den zwei Mengen   und  , so liegen im Durchschnitt über M alle Objekte, die sowohl in A als auch in B liegen. Und das ist gerade  . Der "kleine" Durchschnitt   ist also ein Spezialfall des großen Durchschnitts  .

Definition (Großer Durchschnitt)

Der Durchschnitt über der Menge   ist die Menge aller Objekte, die Element in allen Elementen von   sind:

 

Verständnisaufgabe: Beweise für zwei beliebige Mengen   und  :  .

 

Sonderfälle: Zur Erinnerung:   ist die leere Menge,   die Allklasse, vgl. Kapitel "Leere Menge und Allklasse". Was ist

  1.  
  2.  

Antwort:

  1.  . Wir halten uns genau an die Definition von   und erhalten:  . Die Prämisse   der Implikation ist immer falsch, die Implikation selbst also wahr und damit auch die Allaussage. Deswegen können wir die Allaussage durch   ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen:  .
  2. Das können wir ohne weitere Voraussetzungen nicht beantworten, da wir ja nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen! In der Regel wird aber die leere Menge selbst dazugehören und dann ist der Durchschnitt ebenfalls leer. Auch wenn gar keine Mengen zu   gehören gilt  .

NotationBearbeiten

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für den großen Durchschnitt üblich.

  ist genau dasselbe wie  .

  ist eine Variable und steht für die Elemente von  . Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in  :  . Entscheidend ist die Menge  , mit deren Elementen wird der Durchschnitt gebildet. Wenn die Elemente der Menge   indiziert sind, also  , mit  , ist auch die folgende Schreibweise üblich:  .