Gesetze der Logik – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Im Folgenden haben wir die wichtigsten Gesetze der Logik für dich zusammengefasst. Für Aussagen nutzen wir die Buchstaben , und , für Aussageformen , , usw.
Aussagenlogik
BearbeitenDie Richtigkeit dieser Gesetze kann mit Wahrheitstabellen bewiesen werden.
Assoziativgesetze
BearbeitenBei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Aussagen auswertest:
Kommutativgesetze
BearbeitenBei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden. Dies ist in der deutschen Sprache nicht unbedingt der Fall. Betrachte dazu folgende zwei Aussagen, welche in der Bedeutung einen leichten Unterschied aufweisen: „Ralf aß Haferbrei und er bekam Bauchschmerzen“ und „Er bekam Bauchschmerzen und Ralf aß Haferbrei“.
Distributivgesetze
BearbeitenEine Disjunktion kann in eine Konjunktion hineingezogen werden und umgekehrt.
Absorptionsgesetze
BearbeitenIdempotenzgesetze
BearbeitenDoppelte Verneinung
BearbeitenSatz vom ausgeschlossenen Dritten
Bearbeiten- (lateinisch: tertium non datur, übersetzt: ein Drittes gibt es nicht.)
Satz vom Widerspruch
BearbeitenDurch Anwendung der de Morganschen Regel, der doppelten Verneinung und der Kommutativität lässt sich der Satz vom Widerspruch in den Satz vom ausgeschlossenen Dritten umformen:
Die de-Morgansche Regel
BearbeitenBei der Negation einer Und- beziehungsweise einer Oder-Verknüpfung wird die Negation reingezogen und die Klammer aufgelöst. Aus einem wird dabei ein und umgekehrt.
Negation von Implikation und Äquivalenz
BearbeitenPrinzip der Kontraposition
BearbeitenDiese Äquivalenz wird oft genutzt, um eine Implikation zu beweisen, Redewendung: Beweis der Kontraposition.
Beweis durch Widerspruch
BearbeitenAuch mit Hilfe der folgenden Äquivalenz kann eine Implikation bewiesen werden, Redewendung: Beweis durch Widerspruch.
Darstellung von Implikation und Äquivalenz
BearbeitenMit Hilfe dieser Gesetze kann die Implikation und die Äquivalenz auf Aussagen mit anderen Junktoren zurückgeführt werden.
Gesetze mit Wahr und Falsch
BearbeitenIm Folgenden steht für „wahr“ und für „falsch“. und können als 0-stellige Junktoren angesehen werden.
- (Aus Falschem folgt Beliebiges.)
- (Wird gelegentlich als Definition für verwendet.)
Prädikatenlogik
BearbeitenNegation von quantifizierten Aussagen
BearbeitenÄquivalenzen über quantifizierte Aussagen
Bearbeiten- (Distributivität mit )
- (Distributivität mit )
- (Umschreibung des eindeutigen Existenzquantors)
Implikationen über quantifizierte Aussagen
BearbeitenHinweis
In der obigen Liste sind die Implikationen nicht umkehrbar.