Gesetze der Logik – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Im Folgenden haben wir die wichtigsten Gesetze der Logik für dich zusammengefasst. Für Aussagen nutzen wir die Buchstaben , und , für Aussageformen , , usw.

AussagenlogikBearbeiten

Die Richtigkeit dieser Gesetze kann mit Wahrheitstabellen bewiesen werden.

AssoziativgesetzeBearbeiten

Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Aussagen auswertest:

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KommutativgesetzeBearbeiten

Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden. Dies ist in der deutschen Sprache nicht unbedingt der Fall. Betrachte dazu folgende zwei Aussagen, welche in der Bedeutung einen leichten Unterschied aufweisen: „Ralf aß Haferbrei und er bekam Bauchschmerzen“ und „Er bekam Bauchschmerzen und Ralf aß Haferbrei“.

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DistributivgesetzeBearbeiten

Eine Disjunktion kann in eine Konjunktion hineingezogen werden und umgekehrt.

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AbsorptionsgesetzeBearbeiten

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IdempotenzgesetzeBearbeiten

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Doppelte VerneinungBearbeiten

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Satz vom ausgeschlossenen DrittenBearbeiten

  •   (lateinisch: tertium non datur, übersetzt: ein Drittes gibt es nicht.)

Satz vom WiderspruchBearbeiten

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Durch Anwendung der de Morganschen Regel, der doppelten Verneinung und der Kommutativität lässt sich der Satz vom Widerspruch in den Satz vom ausgeschlossenen Dritten umformen:  

Die de-Morgansche RegelBearbeiten

Bei der Negation einer Und- beziehungsweise einer Oder-Verknüpfung wird die Negation reingezogen und die Klammer aufgelöst. Aus einem   wird dabei ein   und umgekehrt.

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Negation von Implikation und ÄquivalenzBearbeiten

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Prinzip der KontrapositionBearbeiten

Diese Äquivalenz wird oft genutzt, um eine Implikation zu beweisen, Redewendung: Beweis der Kontraposition.

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Beweis durch WiderspruchBearbeiten

Auch mit Hilfe der folgenden Äquivalenz kann eine Implikation bewiesen werden, Redewendung: Beweis durch Widerspruch.

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Darstellung von Implikation und ÄquivalenzBearbeiten

Mit Hilfe dieser Gesetze kann die Implikation und die Äquivalenz auf Aussagen mit anderen Junktoren zurückgeführt werden.

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Gesetze mit Wahr und FalschBearbeiten

Im Folgenden steht   für „wahr“ und   für „falsch“.   und   können als 0-stellige Junktoren angesehen werden.

  •   (Aus Falschem folgt Beliebiges.)
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  •   (Wird gelegentlich als Definition für   verwendet.)

PrädikatenlogikBearbeiten

Negation von quantifizierten AussagenBearbeiten

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Äquivalenzen über quantifizierte AussagenBearbeiten

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  •   (Distributivität   mit  )
  •   (Distributivität   mit  )
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  •   (Umschreibung des eindeutigen Existenzquantors)

Implikationen über quantifizierte AussagenBearbeiten

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Hinweis

In der obigen Liste sind die Implikationen nicht umkehrbar.