Axiomatische Mengenlehre – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Es wurden verschiedene axiomatische Mengenlehren entwickelt. Die aktuell gebräuchlichste ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC. Sie ist nach den beiden deutschen Mathematikern Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel benannt, die sie von 1908 bis 1922 entwickelten. Das C in der Bezeichnung steht für "Axiom of Choice" (Auswahlaxiom).

Wie am Ende des Kapitels "Russells Antinomie und Klassen" beschrieben, legen wir eine klassentheoretische Sprache zugrunde, in der beliebige Klassen mit dem Klassenbildungsoperator gebildet werden können. Insbesondere ist die Allklasse, für deren Elemente auch die Variablen stehen, und die Russellsche Klasse.

Hinweis

Wir nennen die Klasse dann eine Menge, wenn sie im Variblenbereich, also in der Allklasse liegt: .

Wir wissen bereits, dass nicht alle Klassen Mengen sind, denn es gilt ja . Die Axiome von ZFC sorgen nun dafür, dass viele Klassen Mengen sind. So viele, dass sie für die Mathematik ausreichen. Um die Axiome zu verstehen, hilft die Vorstellung, dass Mengen kleine Klassen sind.

ExtensionalitätBearbeiten

Das erste Axiom gilt bereits für Klassen:

Extensionalitätsaxiom

 

Die Extensionalität haben wir bereits im 1. Kapitel der Mengenlehre kennen gelernt. Die umgekehrte Richtung ( ) gilt auch, das ergibt sich aus den Eigenschaften von  .

Folgerung:   sei eine beliebige Klasse. Dann gilt:  

Wir setzen   für  . Dann folgt aus dem Abstraktionsprinzip  . Mit der Extensionalität erhalten wir  . ✔

Verständnisfrage:   sei eine echte Klasse. Dann gilt:  

Nach Definition der Einerklasse gilt   und die Elemente von Klassen sind Mengen.   ist aber eine echte Klasse, es gilt also  . ✔

Leere MengeBearbeiten

Die leere Klasse hat keine Elemente und ist wie folgt definiert:  . Nach dem Extensionalitätsaxiom gibt es nur eine leere Klasse, denn wenn   ebenfalls keine Elemente hat, gilt   und daraus folgt  .

Axiom der leeren Menge

 

Verständnisfrage: Zeige   für eine beliebige Klasse  .

Da   folgt mit dem Extensionalitätsaxiom  . Logische Umformung liefert  . Weil   immer falsch ist, können wie das nach den Regeln der Aussagenlogik zu   verkürzen.

PaarmengenBearbeiten

Nicht nur die leere Klasse, auch Klassen mit zwei Elementen sind klein. Das folgende Axiom stellt sicher, dass sie Mengen sind:

Paarmengenaxiom

 

Folgerung: Auch die Klassen mit einem Element sind Mengen:  .

Wir wählen im Paarmengen-Axiom   und erhalten  .

Mit Hilfe des Paarmengenaxioms lassen sich geordnete Paare definieren. Geordnete Paare sind die Elemente des kartischen Produkts  . Während die Reihenfolge der Elemente bei den Paarmengen keine Rolle spielt, ist sie bei geordneten Paaren wesentlich. Im allgemeinen ist   und  . Zwei geordnete Paare sind nur dann gleich, wenn beide Komponenten gleich sind. Weiterhin sollen geordnete Paare Mengen sein, denn sie sollen ja als Elemente verwendet werden! Insgesamt soll also gelten:

  1.  
  2.  

Die heute übliche Paardefinition in der Mengenlehre stammt vom polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski und ist nach ihm benannt. Die Idee ist folgende: die erste Komponente des geordneten Paares   wird als Einermenge, die zweite als Zweiermenge dargestellt und beides wird dann in einer Zweiermenge zusammengefasst:

Definition (Kuratowski-Paare)

Für zwei Klassen   und   ist das geordnete Paar so definiert:

 

Wir haben die Definition für beliebige Klassen definiert, aber wenn echte Klassen beteiligt sind, funktioniert das nicht wie gewünscht. Ist beispielsweise   eine echte Klasse, so liefert sie zur Zweiermenge keinen Beitrag, denn es gilt:  . Für zwei Mengen dagegen erfüllt das Kuratowski-Paar die Anforderungen:

Satz (Eigenschaft geordneter Paare)

Sind  , so gilt:

  1.  
  2.  

Beweis (Eigenschaft geordneter Paare)

Die erste Behauptung folgt unmittelbar aus dem Paarmengenaxiom.

Fall 1:  

Dann ist   eine Einermenge. Dann ist auch   eine Einermenge und daher ist   und  . Also gilt  .

Fall 2:  

Dann enthält   eine Einer- und eine Zweiermenge. Das gilt dann auch für  . Aus der Gleichheit der Paarmengen folgt dann die Gleichheit der Einermengen   und daraus  . Mit dieser Gleichheit und der Gleichheit der Zweiermengen   ergibt sich   und daraus  . ✔

Mit Hilfe von geordneten Paaren kann die gesamte Theorie der Relationen und Funktionen entwickelt werden.

VereinigungBearbeiten

Wir haben die große Vereinigung von   so definiert:  . Die Vereinigung sammelt also die Elemente der Elemente von  . Die Vereinigung einer Zweierklasse ist gerade die Vereinigung der beiden Elemente:  

Vereinigungsmengenaxiom

 

Insbesondere ist   eine Menge.

Aufgabe: Zeige mit Hilfe des Axiom für Paarmengen:  .

Für jede Klasse gilt  , also auch  .

Sei nun  . Aus dem Axiom für Paarmengen folgt  , also gibt es eine Menge aus  , nämlich   mit  . Das zeigt  .

Beides zusammen ergibt  

Verständnisfrage: Es gilt  . Werden für den Beweis Axiome für Mengen benötigt?

Nein, denn die leere Klasse hat keine Elemente, also   auch nicht. ✔

Aufgabe: Zeige:  .

Die Einermengen  ,  , usw. sind alle in  . Dann bilden wir die Vereinigung  , anschliessend   usw. ✔

Mit den bisher vorgestellten Axiomen können wir folgende Reihe von Mengen erzeugen:

 ,    ,    ,    ,        

Die erste Menge hat 0 Elemente, die nächste 1, die nächste 2, die nächste 3, usw. Für die auf   folgende Menge   sammeln wir alle Elemente von   ein und fügen zusätzlich   selbst dazu:  . Dieses Bildungsgesetz zeigt, dass die Reihe tatsächlich nur Mengen enthält: nach dem Axiom der leeren Menge gilt   und wenn   so folgt mit dem Paarmengenaxiom  . Mit dem Vereinigungsmengenaxiom ergibt sich daraus  .

Definition (Nachfolger)

Ist   eine Klasse, dann ist  .

Für eine Menge   ist   ebenfalls eine Menge! Für echte Klassen bringt die Nachfolge nichts:

Verständnisfrage: Es gilt:  . Warum?

Die Einerklasse von   ist leer, wenn   eine echte Klasse ist, denn  .

Mit dieser Nachfolger-Funktion lassen sich die natürlichen Zahlen definieren! Auf diese Idee war 1923 der ungarisch-amerikanische Mathematiker John von Neumann gekommen. Er definierte:

     
         
         
         
         
usw.

Auf diese Weise lässt sich jede einzelne natürliche Zahl definieren.

AussonderungBearbeiten

Der große Durchschnitt von   wurde so definiert:  . Hier werden die Elemente gesammelt, die in allen Elementen von   legen. Der Durchschnitt einer Zweierklasse ist der Durchschnitt seiner beiden Elemente:  

Verständnisfrage: Es gilt  . Warum?

Dazu müssen wir uns die Definition von   genau anschauen:   steht für  . Die Prämisse von   ist immer falsch, daher ist die Implikation immer wahr, vgl. Wahrheitstabelle von von  . Daher erfüllen alle   die definierende Bedingung für  . ✔ [1]

Verständnisfrage: Es gilt   für eine beliebige Klasse  . Warum?

Ist   ist nichts zu zeigen. Sei also  . Da nach der definierenden Bedingung von   die Elemente von   in allen Elementen von   liegen müssen, so liegen sie insbesondere auch in  . ✔

Aufgabe: Zeige:  .

Nach dem Axiom über die leere Menge gilt  . Daher müsen alle Elemente von   in   liegen. Das gilt aber für kein Element. Also ist   leer. ✔

Mit den bisherigen Axiomen können wir noch nicht zeigen, dass der Durchschnitt zweier Mengen wieder eine Menge ist. In der zweiten Verständnisfrage haben wir gesehen, dass der Durchschnitt einer nichtleeren Klasse immer eine Teilklasse einer Menge ist. Und es passt gut zu unsrer Vorstellung von kleinen Klassen, wenn solche Teilklassen ebenfalls Mengen sind:

Aussonderungsaxiom

 

Das Axiom gilt für beliebige Klassen  . Da es ja zu jeder Formel   die Klasse   gibt, wird dieses Axiom oft als Axiomenschema bezeichnet.

Verständnisfrage: Die Allklasse ist keine Menge sondern eine echte Klasse:  . Warum?

Die Russelsche Klasse   ist eine Teilklasse von  , also:  . Wäre   eine Menge, so wäre mit der Aussonderung auch   eine Menge. ↯

Aufgabe:   sei eine beliebige Aussageform,   eine beliebige Klasse. Zeige:

  1.  
  2.  

Beweis:

  1. Es gilt ja   und mit   folgt mit der Aussonderung die Behauptung. ✔
  2. Ebenso ist   und die Aussonderung liefert  . ✔

Beide Formulierungen sind gleichwertig zum Aussonderungsaxiom. Denn mit der Definition   erhalten wir aus 1.  . Und weil   ist, folgt daraus 2.  . Aus 2. folgt das Aussonderungsaxiom, denn wenn   gilt, ist  . Zusammen mit der Aufgabe haben wir folgendes gezeigt: Aussonderungsaxiom   1. und 1.   2. und 2.   Aussonderungsaxion. Das zeigt, das alle drei Aussagen äquivalent sind. Vgl. Kapitel "Wahrheitstabelle".

Verständnisfrage: Es gilt  . Warum?

Ist   gibt es ein   mit  . Mit der Aussonderung folgt daraus die Behauptung. ✔

Aufgabe:   und   seien Klassen. Zeige:  

Wäre   so folgte wegen   und der Aussonderung  

Oberklassen von echten Klassen sind also ebenfalls echte Klassen und keine Mengen. Das entspricht unserer Vorstellung, dass Mengen kleine Klassen sind.

Satz (Hilfssatz)

Sei   eine Menge. Dann gilt:  .

Das heißt nichts anderes als: keine Menge enthält alle Mengen!

Beweis (Hilfssatz)

Wir definieren  . Dann gilt  , also ist   eine Menge. Mit dem Abstraktionsprinzip gilt  . Weil   eine Menge ist, dürfen wir   für   einsetzen und erhalten:  . Also gilt:  . ✔

Mit   haben wir eine Menge gefunden, die kein Element der Menge   ist. Aus dem Hilfssatz ergibt sich, dass die Allklasse   keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Denn wäre   eine Menge, gäbe es eine Menge  , die nicht in   läge. ↯ Also gilt:

Satz (Allklasse)

Die Allklasse ist eine echte Klasse:  

Anmerkung: Die Konstruktion von   entspricht der Russellschen Klasse  . Aus dem Beweis des Hilfssatzes ergibt sich auch, dass   gilt.

Ist   eine Menge, so ist das Komplement   eine echte Klasse. Auch hierin spiegelt sich unsere Vorstellung wider, dass Mengen "kleine" Klassen sind!

Verständnisfrage: Für beliebige Klassen   gilt:  . Warum?

Wären   und   Mengen, so wäre auch die Vereinigungsmenge   eine Menge. ↯

ErsetzungBearbeiten

Warnung

Um das Folgende zu verstehen, werden Funktionen benötigt! Vgl. dazu das Kapitel "Abbildung, Funktion"

Wir benutzen die folgenden Schreibweisen und Definitionen:

Definition (Schreibweisen und Eigenschaften von Funktionen)

  •   ist eine Funktion von   in  
  •   ist eine Funktion
  •   (Definitionsbereich von  )
  •   (Wertebereich von  )
  •   ist injektiv  
  •   ist surjektiv auf  
  •   ist bijektiv auf   ist injektiv und surjektiv auf  

Ersetzungsaxiom

 

Auch dieses Axiom gilt für eine beliebige Klasse   und wird daher oft als Axiomenschema bezeichnet. Als Anwendung zeigen wir, dass die Vereinigung von mengenvielen Mengen wieder eine Menge ergibt.

Satz (Große Vereinigung)

 

Das folgt noch nicht allein aus dem Vereinigungsmengen-Axiom!

Beweis (Große Vereinigung)

Setzen wir   so gilt  . Die Behauptung folgt nun mit dem Vereinigungsmengen-Axiom, wenn   eine Menge ist. Das ist aber nach dem Ersetzungs-Axiom der Fall. Dazu betrachten wir die Funktion   mit  . Der Definitionsbereich   ist eine Menge, also auch der Wertebereich  . ✔

PotenzmengeBearbeiten

Zur Erinnerung:  . Wir können mit den bisherigen Axiomen nicht nachweisen, dass die Potenzklasse einer Menge wieder eine Menge ist! Daher fordern wir es in einem eigenen Axiom:

Potenzmengenaxiom

 

Wir wollen nun zeigen, dass die Bildung von Potenzmengen zu immer größeren Mengen führt. Unser Vorstellung von Mengen als kleine Klassen wird dabei etwas belastet, aber es ist uns wichtig, dass die Klasse aller Teilmengen einer Menge wieder eine Menge ist.

Mit Hilfe von Funktionen können wir die Größe von Klassen vergleichen, ohne die Anzahl ihrer Elemente zu kennen. Diese Anzahl wird Mächtigkeit genannt. Mit den bisher vorgestellten Axiomen können wir noch nicht genau sagen, was die Anzahl bei Klassen mit unendlich vielen Elementen ist! Wir beschränken uns daher auf den Vergleich von Klassen und nennen eine Klasse   schmächtiger oder gleichmächtig zu  , wenn es eine injektive Funktion gibt, die   in   abbildet. Ist   schmächtiger als  , so ist   mächtiger als  .

Definition (Mächtigkeit von Klassen)

  und   seien Klassen.

  •     (  ist gleichmächtig zu  )
  •     (  ist schmächtiger als  ,     ist mächtiger als  )
  •     (  ist echt schmächtiger als  ,     ist echt mächtiger als  ).

Um zu zeigen, dass   echt schmächtiger als   ist, müssen also zwei Bedingungen gezeigt werden:

  1. es gibt eine injektive Funktion von   in  ,
  2. es gibt keine bijektive Funktion von   auf  .

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun beweisen, dass eine Menge   schmächtiger als ihre Potenzklasse   ist.

Satz (Satz von Cantor)

Sei   eine Menge. Dann gilt:  .

Die Potenzmenge einer Menge ist stets mächtiger als die Menge selbst.

Beweis (Satz von Cantor)

  1. Die Funktion, die jedem Element   die Einermenge   zuordnet, ist injektiv und bildet   in   ab. Also gilt:  .
  2. Annahme:   bijektiv. Wir definieren die Klasse  .   ist eine Teilmenge von   und daher gilt:  . Wegen der Annahme dass   surjektiv ist, gibt es   mit  . Nach Definition von   folgt:   und daraus:  . ↯ Also gibt es keine bijektive Funktion und es gilt:  . ✔

UnendlichkeitBearbeiten

Mit etwas Aufwand[2] – den wir hier nicht darstellen wollen – lässt sich die Klasse   aller natürlichen Zahlen definieren. Dazu reichen die bisher vorgestellten Axiome völlig aus. Wir nutzen hier zur Definition von   die Eigenschaft, dass sich die natürlichen Zahlen schrittweise als Nachfolger erzeugen lassen. Klassen, die die leere Menge enthalten und mit jedem Element auch den Nachfolger dieses Elements, heißen induktiv:

Definition (Induktive Klassen)

  ist induktiv  .

Nach dieser Definition sind die natürlichen Zahlen offensichtlich in allen induktiven Klassen enthalten. Wir definieren daher:

Definition (Natürliche Zahlen)

 .

Achtung! Diese Definition liefert nur dann das Gewünschte, wenn   nicht leer ist. Gibt es keine induktiven Mengen, geht der Durchschnitt über die leere Menge und liefert  , wie im Abschnitt Aussonderung gezeigt. Es muss also eine induktive Menge geben, damit die Definition von   in Ordnung ist. Genau das ist der Inhalt des Unendlichkeitsaxioms:

Unendlichkeitssaxiom

 

Mit dem Aussonderungsaxiom folgt direkt:

Satz (Natürliche Zahlen)

 .   Die Klasse der natürlichen Zahlen ist eine Menge.

Da der Durchschnitt in allen induktiven Mengen enthalten ist, ist   bezogen auf   die kleinste induktive Menge. Die natürlichen Zahlen werden durch die fünf Peano-Axiome beschrieben. Diese werden wir nun nachweisen:

Satz (Natürliche Zahlen)

  erfüllt die Peano-Axiome:

  1.     (0 ist eine natürliche Zahl.)
  2.     (Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Nachfxolger.)
  3.     (0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.)
  4.     (Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.)
  5.   sei eine beliebige Klasse:
     
    (Ist 0 aus   und gilt für jede natürliche Zahl, wenn sie in   ist, dann ist auch ihr Nachfolger in  , dann sind alle natürlichen Zahlen in  )

Wir zeigen Punkt 4. zum Schluss.

Beweis (Natürliche Zahlen)

  1.   ( ) ist in jeder induktiven Menge enthalten, also auch im Durchschnit  . ✔
  2. Sei   nach Voraussetzung. Dann ist   und damit auch   in allen induktiven Mengen enthalten, also auch in  . ✔
  3. Der Nachfolger von x ist nicht leer! ✔
  4. Mit 5. steht das Beweisverfahren durch vollständige Induktion zur Verfügung!
    Wir zeigen zunächst einen Hilfsatz:  . Induktion über  .
    Induktionsanfang: Sei   und  . Dann ist  .
    Induktionsschluss: Gelte nun   und sei  .
    Dann ist   oder  .
    Im erste Fall folgt mit der Induktionsvoraussetzung   und wegen   auch  .
    Im zweiten Fall gilt   und somit ebenfalls  .
    Damit ist der Hilfsatz bewiesen.
    Sei nun   und gelte  .
    Das heißt  .
    Dann gilt   und mit dem Hilfssatz folgt  .
    Ebenso folgt   und somit  .
    Das zeigt  . ✔
  5. Wir konstruieren eine induktive Menge   und zeigen, dass   gilt. Daraus folgt  .
    Sei   und gelten die Voraussetzungen.
    Dann ist   eine Menge und es gilt  .
    Es gilt  , also ist  .
    Sei nun  , also   und  .
    Dann ist   (nach 2.) und   (nach Voraussetzung).
    Daher ist   und somit   induktiv.
    Nach Definition von   gilt daher  . ✔

Aufgabe: Zeige dass jede natürliche Zahl selbst aus natürlichen Zahlen besteht:  

Induktion über  :
Induktionsanfang:  .
Induktionsschluss: Gelte nun  . Dann ist  , denn die Vereinigung zweier Teilmengen von   ist ebenfalls eine Teilmenge von  . ✔

Anmerkung: Das 5. Peano-Axiom wird häufig mit Aussagenformen anstelle von Klassen formuliert:

  sei eine beliebige Aussageform:
 

Wegen   sind mit   beide Formulierungen gleichwertig.

FundierungBearbeiten

Mengen können – im Gegensatz zu echten Klassen – als Elemente auftreten. Dabei kann es zu Merkwürdigkeiten kommen, beispielsweise dass   gilt. Wir wollen das näher untersuchen, dabei ist die folgende Definition hilfreich:

Definition ( -minimal)

  ist  -minimal in   genau dann, wenn  

Wenn also ein  -minimales Element in   überhaupt Elemente hat, dann liegen sie nicht in  . Das folgende Axiom fordert, dass jede nichtleere Menge  -minimale Elemente hat:

Fundierungsaxiom

 

Mit diesem Axiom werden keine weiteren Mengen erzeugt, ganz im Gegenteil: Damit werden Folgen wie    ,    ,    ,   usw. ausgeschlossen. Es gibt also keine unendlich lang absteigende  -Ketten. Daher kommt auch die Bezeichnung "Fundierung".

Satz:  

Angenommen es gäbe eine solche Kette. Dann bilden wir die Klasse  .
Es ist   und  . Aber   hat kein  -minimales Element. ↯

Verständnisfrage: Gibt es eine Menge   mit:   ?

Nein. Es gilt ja insbesondere  . Wäre  , so folgte   im Widerspruch zur Fundierung. ↯

Verständnisfrage: Was besagt die Fundierung für die Russelsche Klasse  ?

Da alle Mengen fundiert sind, gilt   und die Russelsche Klasse ist die Allklasse:  

Dieses Axiom hat rein praktische Gründe: auf dieses Weise werden unbequeme Mengen ausgeschlossen und die Mengenlehre wird einfacher. Die Mathematik kommt im Wesentlichen mit fundierten Mengen aus.

AuswahlBearbeiten

Warnung

Um das letzte Axiom zu verstehen, werden Kenntnisse über Partitionen (Zerlegungen) benötigt! Vgl. dazu das Kapitel "Äquivalenzrelationen"

Auswahlaxiom

 

Wir lesen dieses Axiom schrittweise:   sei eine beliebige Menge.
Die Prämisse besagt:              

Die Konklusion besagt:          

Insgesamt heißt das also: Zu einer Menge   deren Elemente nicht leer und paarweise disjunkt sind, gibt es eine Menge  , die aus jedem Element von   genau ein Element enthält, also auswählt. Die Menge   ist eine Partition der Menge   und die Menge   wählt aus jedem Teil der Partition einen Repräsentanten aus:

Das Auswahlaxiom sieht harmlos aus, hat aber erhebliche Auswirkungen. Es gibt eine Reihe von wichtigen Sätzen, die auf der Basis der übrigen Axiome zum Auswahlaxiom gleichwertig sind[3], unter anderem die folgenden:

  • Wohlordnungssatz: Jede Menge lässt sich wohlordnen.
  • Zornsches Lemma: Ist jede Kette einer halbgeordneten Menge nach oben beschränkt, hat die Menge ein maximales Element.

Wir wollen hier aber die Vorstellung der Axiome von ZFC beenden.