Kartesisches Produkt – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Kartesisches Produkt Bearbeiten

Das kartesische Produkt ist eine besondere Verknüpfung zwischen zwei Mengen. Die Schreibweise für das kartesische Produkt zwischen den Mengen   und   ist   (ausgesprochen: „  kreuz  “). Das kartesische Produkt   ist die Menge aller geordneten Paare   mit   und  . So ist beispielsweise:

 

Beispiele/Übungsaufgabe: Schreibe folgende kartesische Produkte aus.

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Antwort:

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Definition (kartesisches Produkt)

Das kartesische Produkt   zweier Mengen   und   ist die Menge aller geordneten Paare   wobei   ein Element der Menge   und   ein Element der Menge   ist:

 

Verständnisfrage: Sei   eine endliche Menge mit   Elementen und   eine endliche Menge mit   Elementen. Wie viele Elemente enthält die Menge  ?

Seien   bis   die Elemente der Menge   und   bis   die Elemente der Menge  . Dann sieht   so aus:

 

Man sieht, dass es für jedes   genau   verschiedene   mit   gibt. Damit enthält   genau   verschiedene geordnete Paare als Elemente.

Man kann auch das kartesische Produkt von mehr als zwei Mengen bilden. Analog zum Fall von zwei Mengen ist das kartesische Produkt   der drei Mengen  ,   und   gleich der Menge aller 3-Tupel   mit  ,   und  :

 

Verständnisfrage: Was ist  ?

 

Allgemein ist das kartesische Produkt   der   Mengen   bis   die Menge aller n-Tupel   mit  ,   und so weiter bis  :

 

Für kartesische Produkte von Mengen mit sich selber gibt es eine abkürzende Schreibweise: Es ist  ,   und so weiter. Allgemein ist

 

Verständnisfrage: Was ist  ?

 

ProduktschreibweiseBearbeiten

Für das kartesische Produkt   von mehreren Mengen, gibt es auch die kompaktere Schreibweise  . Diese ist definiert durch

 

Du siehst, dass die obige Schreibweise ähnlich dem Produkt   reeller Zahlen ist, welches du vielleicht schon aus der Schule kennst. Der Unterschied ist der, dass hier anstatt Zahlen Mengen verknüpft werden und die Verknüpfung nicht die Multiplikation sondern das kartesische Produkt ist.