Summe und Produkt – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

Wenn eine Summe viele Summanden hat, ist es unpraktisch, alle Summanden aufzuschreiben. Hier brauchst du eine abkürzende Schreibweise. Analoges gilt auch für Produkte, die viele Faktoren besitzen. Möglichkeiten solcher verkürzenden Summen- und Produktschreibweisen werden dir in diesem Kapitel vorgestellt.

Um lange Summen und Produkte abzukürzen, kannst du einzelne Summanden bzw. Faktoren auslassen. Beispielsweise kannst du die Summe der Zahlen eins bis hundert so aufschreiben:

$1+2+3+\ldots +100$

Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass sie intuitiv ist. Du kannst sie verwenden, ohne sie dem Leser extra erklären zu müssen. Auch der Umgang mit ihr ist im Regelfall nicht schwer. Das sind die Gründe, weshalb wir im Folgenden des Öfteren auf diese Schreibweise zurückgreifen werden. Jedoch hat sie einen entscheidenen Nachteil: Sie ist nicht eindeutig. Betrachte dazu folgendes Beispiel:

Beispiel: Wie lautet die Summe $1+2+\ldots +8$ ausgeschrieben?

Ein mögliches Ergebnis ist $1+2+3+4+5+6+7+8=36$ (Summe der ersten acht natürlichen Zahlen). Ein weiteres mögliches Ergebnis ist $1+2+4+8=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}=15$ (Summe der ersten vier Potenzen von zwei).

Wie das obige Beispiel zeigt, ist die Schreibweise mit Auslassungen ungenau: Es ist nicht eindeutig definiert, welche Summanden oder Faktoren zu ergänzen sind. Deswegen ist sie in den Augen der Mathematik kein guter Kandidat, um sie als abkürzende Schreibweise für lange Summen und Produkte einzusetzen. Es gibt jedoch eine andere Schreibweise, die dieses Problem der Ungenauigkeit nicht hat. Diese werden wir dir in den nächsten Abschnitten vorstellen.

Die Summenschreibweise

Erklärung der Summenschreibweise (YouTube-Video vom YouTube-Kanal: MJ Maths)

Hier ein Beispiel einer Summenschreibweise mit Hilfe des Summenzeichens:

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}$

Die Summenschreibweise

Diese Schreibweise besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Σ (Sigma). Dem Summenzeichen Σ folgt ein Funktionsterm (hier ist es $k^{2}$). Unter dem Summenzeichen steht eine neue, zuvor noch nicht benutzte Variable, die als Laufindex, Laufvariable oder Summationsvariable bezeichnet wird. Unter dem Summenzeichen steht außerdem der Startwert der Laufvariablen. Das ist der kleinste ganzzahlige Wert, den die Laufvariable annehmen kann. Über dem Summenzeichen steht der Endwert der Laufvariablen. Auch dieser ist eine ganze Zahl und steht für den größten Wert, den die Laufvariable annehmen kann. Der Laufindex läuft nun vom Start- zum Endwert und nimmt nacheinander jede ganze Zahl zwischen diesen beiden Werten an (daher der Name „Laufindex“ bzw. „Laufvariable“). Für jeden der Werte, den die Laufvariable annimmt, wird ein Summand geschrieben. Der Funktionsterm nach dem Summenzeichen gibt dabei an, welcher Wert für diesen Summanden aufgeschrieben werden soll. Dazu wird der aktuelle Wert der Laufvariablen in den Funktionsterm eingesetzt und das Ergebnis als Summand notiert.

In unserem Beispiel ist die Laufvariable $k$. Diese läuft vom Startwert $1$ bis zum Endwert $5$ und nimmt dabei nacheinander die Werte $k=1$ , $k=2$ , $k=3$ , $k=4$ und $k=5$ an. Der Funktionsterm, der angibt, welcher Summand aufgeschrieben werden soll, ist $k^{2}$. Wir erhalten für $k=1$ den Summanden $k^{2}=1^{2}=1$, für $k=2$ den Summanden $k^{2}=2^{2}=4$, für $k=3$ den Summanden $k^{2}=3^{2}=9$ und so weiter… Insgesamt erhalten wir so die Summe:

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1+4+9+16+25=55$

In der folgenden Animation siehst du nochmals die Funktionsweise der Summenschreibweise $\sum _{k=1}^{5}k^{2}$:

Damit ergibt sich folgende Definition der Summe:

Definition (Summenschreibweise)

$\sum _{k=n}^{m}a(k)$ ist eine Kurzschreibweise für die Summe $a(n)+a(n+1)+a(n+2)+\ldots +a(m-1)+a(m)$

Hinweis

In der Literatur findest du häufig die Schreibweise $\sum _{k=n}^{m}a_{k}$ anstelle von $\sum _{k=n}^{m}a(k)$. Hier ist $a_{k}$ eine Kurzschreibweise für $a(k)$. Die Schreibweise $a_{k}$ meint wie $a(k)$ eine Zuordnungsvorschrift, die der Laufvariablen $k$ den Wert $a_{k}$ für den aktuellen Summanden zuordnet.

Verständnisaufgabe: Schreibe folgende Summen in der Summenschreibweise

1. $1+2+3+4+5+6$
2. $23+23+23+23+23$
3. $1+8+27$

Antwort:

1. $\sum _{k=1}^{6}k$
2. $\sum _{k=1}^{5}23$ oder auch $\sum _{l=23}^{27}23$
3. $\sum _{k=1}^{3}k^{3}$

Verständnisaufgabe: Wie lauten folgende Summen ausgeschrieben?

1. $\sum _{s=20}^{25}s$
2. $\sum _{k=0}^{3}{\frac {k^{3}\cdot (k+1)}{2}}$
3. $\sum _{l=-3}^{0}2l$
4. $\sum _{n=-2}^{2}{\frac {n^{2}\cdot k}{p}}$
5. $\sum _{p=-10}^{-8}\lambda$

Wir erhalten folgende Summen:

1. $\sum _{s=20}^{25}s=20+21+22+23+24+25$
2. $\sum _{k=0}^{3}{\frac {k^{3}\cdot (k+1)}{2}}={\frac {0^{3}\cdot (0+1)}{2}}+{\frac {1^{3}\cdot (1+1)}{2}}+{\frac {2^{3}\cdot (2+1)}{2}}+{\frac {3^{3}\cdot (3+1)}{2}}$
3. $\sum _{l=-3}^{0}2l=2\cdot (-3)+2\cdot (-2)+2\cdot (-1)+2\cdot 0$
4. $\sum _{n=-2}^{2}{\frac {n^{2}\cdot k}{p}}={\frac {(-2)^{2}\cdot k}{p}}+{\frac {(-1)^{2}\cdot k}{p}}+{\frac {0^{2}\cdot k}{p}}+{\frac {1^{2}\cdot k}{p}}+{\frac {2^{2}\cdot k}{p}}$
5. $\sum _{p=-10}^{-8}\lambda =\lambda +\lambda +\lambda$

Die Produktschreibweise

Die Produktschreibweise

Die Produktschreibweise funktioniert analog zur Summenschreibweise. Der Unterschied ist, dass anstatt summiert, multipliziert wird – insgesamt also anstatt einer Summe ein Produkt beschrieben wird. Anstelle des Sigmazeichens Σ wird ein großes Pi Π verwendet. In der Produktschreibweise ist zum Beispiel:

$\prod _{k=1}^{5}k^{2}=1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25$

In der folgenden Animation ist die Wirkungsweise der Produktschreibweise dargestellt, welche analog zur Summenschreibweise funktioniert:

Definition (Produktschreibweise)

$\prod _{k=n}^{m}a(k)$ ist eine Kurzschreibweise für das Produkt $a(n)\cdot a(n+1)\cdot a(n+2)\cdot \ldots \cdot a(m-1)\cdot a(m)$

Auch hier findest du in der Literatur häufig die Schreibweise $\prod _{k=n}^{m}a_{k}$ an Stelle von $\prod _{k=n}^{m}a(k)$.

Verständnisaufgabe: Schreibe folgende Produkt in der Produktschreibweise:

1. $1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11$
2. $\lambda ^{n}=\underbrace {\lambda \cdot \lambda \cdot \ldots \cdot \lambda } _{n{\text{-mal}}}$

Antwort:

1. $\prod _{k=1}^{6}(2k-1)$
2. $\prod _{l=1}^{n}\lambda$

Verständnisaufgabe: Wie lauten folgende Produkte ausgeschrieben?

1. $\prod _{k=1}^{5}k$
2. $\prod _{l=-3}^{-1}l^{m}$
3. $\prod _{n=-2}^{2}(k+n)$

Wir erhalten folgende Produkte:

1. $\prod _{k=1}^{5}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$
2. $\prod _{l=-3}^{-1}l^{m}=(-3)^{m}\cdot (-2)^{m}\cdot (-1)^{m}$
3. $\prod _{n=-2}^{2}(k+n)=(k-2)\cdot (k-1)\cdot (k+0)\cdot (k+1)\cdot (k+2)$

Leere Summe/Leeres Produkt

Doch was passiert, wenn man die Summe bzw. das Produkt nicht auschreiben kann, weil der Startwert für die Laufvariable größer als der Endwert ist? Summen, die einen größeren Startwert als Endwert haben, nennt man leere Summe und Produkte mit einem größeren Start- als Endwert nennt man leeres Produkt, weil die Indexmenge, also die Menge der Werte, welche die Laufvariable durchläuft, „leer“ ist. Im Fall leerer Produkte und Summen gibt es in der Mathematik eine Konvention, die sich als sinnvoll erwiesen hat. Man ordnet einer Summe, bei der der Startwert größer dem Endwert ist, den Wert $0$ zu. Einem Produkt mit größerem Start- als Endwert wird der Wert $1$ zugeordnet. Du kannst dir hier als Eselsbrücke merken: Leeren Produkten/Summen wird eine solche Zahl zugeordnet, die das Ergebnis bei der entsprechenden Verknüpfung nicht verändert (wenn man $0$ zu einer Zahl addiert, ändert sich diese Zahl nicht und auch die Multiplikation mit $1$ verändert eine Zahl nicht).

Definition (Leere Summe)

Eine Summe, deren Startwert für die Laufvariable größer dem Endwert ist, nennt man leere Summe. Ihr wird der Wert Null zugeordnet.

Definition (Leeres Produkt)

Ein Produkt, dessen Startwert für die Laufvariable größer dem Endwert ist, nennt man leeres Produkt. Ihm wird der Wert Eins zugeordnet.

Beispiel

• $\sum _{n=4}^{3}n^{3}=0$ und $\sum _{k=-2}^{-6}{\tfrac {k}{n}}=0$
• $\prod _{l=0}^{-1}l=1$ und $\prod _{h=-10}^{-11}h^{2}=1$

Doppelsumme und Doppelprodukt

Doppelsummen und -produkte entstehen, wenn in der Summe oder dem Produkt wieder eine Summe oder ein Produkt definiert ist. Diese kannst du ausrechnen, indem du von außen nach innen die einzelnen Summen und Produkte auflöst:

${\begin{aligned}&\sum _{k=4}^{6}\sum _{l=4}^{k}l^{k}\\&\quad {\color {Black}\left\downarrow \ {\text{äußere Summe auflösen}}\right.}\\=&\sum _{l=4}^{4}l^{4}+\sum _{l=4}^{5}l^{5}+\sum _{l=4}^{6}l^{6}\\&\quad {\color {Black}\left\downarrow \ {\text{innere Summen auflösen}}\right.}\\=&4^{4}+\left(4^{5}+5^{5}\right)+\left(4^{6}+5^{6}+6^{6}\right)\\\end{aligned}}$

Verständnisfrage: Schreibe folgende Doppelsummen und -produkte aus.

• $\sum _{k=1}^{3}\prod _{l=1}^{3}a_{kl}$
• $\prod _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}a_{kl}$
• $\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=0}^{k}a_{l}\cdot b_{k-l}$

Antwort:

• ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{3}\prod _{l=1}^{3}a_{kl}&=\prod _{l=1}^{3}a_{1l}+\prod _{l=1}^{3}a_{2l}+\prod _{l=1}^{3}a_{3l}\\&=a_{11}\cdot a_{12}\cdot a_{13}+a_{21}\cdot a_{22}\cdot a_{23}+a_{31}\cdot a_{32}\cdot a_{33}\end{aligned}}$
• ${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}a_{kl}&=\left(\sum _{l=1}^{3}a_{1l}\right)\cdot \left(\sum _{l=1}^{3}a_{2l}\right)\cdot \left(\sum _{l=1}^{3}a_{3l}\right)\\&=\left(a_{11}+a_{12}+a_{13}\right)\cdot \left(a_{21}+a_{22}+a_{23}\right)\cdot \left(a_{31}+a_{32}+a_{33}\right)\end{aligned}}$
• ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=0}^{k}a_{l}\cdot b_{k-l}&=\sum _{l=0}^{1}a_{l}\cdot b_{1-l}+\sum _{l=0}^{2}a_{l}\cdot b_{2-l}+\sum _{l=0}^{3}a_{l}\cdot b_{3-l}\\&=\left(a_{0}\cdot b_{1}+a_{1}\cdot b_{0}\right)+\left(a_{0}\cdot b_{2}+a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{0}\right)\\&\quad +\left(a_{0}\cdot b_{3}+a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1}+a_{3}\cdot b_{0}\right)\end{aligned}}$

Beachte, dass – wie in der zweiten Teilaufgabe – die in einem Produkt geschachtelte Summe Vorrang hat, und deswegen ausgeschrieben geklammert werden muss.

Rekursive Definition der Summe und des Produkts

Es gibt ein Problem mit den obigen Definitionen für Summen und Produkte, das wir dir nicht verschweigen möchten. Wie dir vielleicht bereits aufgefallen ist, haben wir zur Definition der Summen- und Produktschreibweise selbst Summanden und Faktoren ausgelassen, obwohl wir bereits festgestellt haben, dass das ungenau ist. Um uns nun von dieser Ungenauigkeit zu befreien, müssen wir eine Definition der Summen- und Produktschreibweise finden, die ohne Auslassungen auskommt.

Hier bietet sich eine rekursive Definition an. Solch eine Definition vollzieht sich in zwei Schritten: Dem Rekursionsschritt und dem Rekursionsanfang. Im Fall der Summe bzw. des Produkts lautet die rekursive Definition:

Definition (Rekursive Definition der Summe)

Die Summe $\sum _{k=m}^{n}a(k)$ ist definiert durch:

• Rekursionsschritt: Für $n\geq m$ ist $\sum _{k=m}^{n}a(k)=\left(\sum _{k=m}^{n-1}a(k)\right)+a(n)$
• Rekursionsanfang: Für $n<m$ ist $\sum _{k=m}^{n}a(k)=0$

Definition (Rekursive Definition des Produkts)

Das Produkt $\prod _{k=m}^{n}a(k)$ ist definiert durch:

• Rekursionsschritt: Für $n\geq m$ ist $\prod _{k=m}^{n}a(k)=\left(\prod _{k=m}^{n-1}a(k)\right)\cdot a(n)$
• Rekursionsanfang: Für $n<m$ ist $\prod _{k=m}^{n}a(k)=1$

Zunächst fällt auf, dass die Definition des Rekursionsanfangs bei Summe und Produkt der obigen Definition der leeren Summe bzw. des leeren Produkts entspricht. Du siehst hier also eine erste Anwendung dieser Definition.

Um die rekursive Definition einer Summe (und eines Produkts) zu verstehen, kann man sich anschauen, wie mit Hilfe dieser Definition eine konkrete Summe ausgerechnet wird. Betrachten wir hierzu die Summe $\sum _{k=1}^{3}k^{3}$. Nach dem, was wir im Abschnitt zur Summenschreibweise gelernt haben, erwarten wir für diese Summe das Ergebnis

$\sum _{k=1}^{3}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}$

Wie lässt sich diese Summe aus der rekursiven Definition der Summe gewinnen? Hierzu muss solange der Rekurionsschritt auf die Summe angewandt werden, bis der Rekursionsanfang verwendet werden kann. Dieses Vorgehen ist im Einzelnen in der folgenden Animation dargestellt:

Du siehst: Zunächst wird die Summe mit dem Endwert $3$ auf eine Summe mit dem Endwert $2$ zurückgeführt, indem die Definition $\sum _{k=1}^{n}a(k)=\left(\sum _{k=1}^{n-1}a(k)\right)+a(n)$ des Rekursionsschrittes angewandt wird (setze $n=3$ und $m=1$). Auf die verbleibende Summe mit Endwert $2$ wird nochmals der Rekursionsschritt angewandt und es entsteht eine Summe mit Endwert $1$. Auf diese Summe wird nochmals der Rekursionsschritt angewandt. Die so entstandene Summe hat den Endwert $0$, also einen kleineren Endwert als der Startwert $1$. So ist die Bedingung für den Rekursionsanfang erfüllt und wir können die restliche Summe durch $0$ ersetzen. Die Rekursion bricht ab.

Analog funktioniert die rekursive Definition des Produkts: Wenn wir ein Produkt gegeben haben, so wird mit Hilfe des Rekursionschritts das Produkt schrittweise auf ein Produkt mit immer kleinerem Endwert zurückgeführt. Irgendwann ist der Endwert des verbleibenden Produkts kleiner als der Startwert. Es wird der Rekursionsanfang angewendet, womit die Rekursion abbricht.

Verständnisaufgabe: Wende die rekursive Definition auf folgende Summen/Produkte an:

• $\prod _{l=-1}^{0}(l-1)$
• $\sum _{n=1}^{-1}n^{2}$
• $\prod _{m=5}^{5}(m-n)^{k}$

Beim ersten Produkt erhält man:

${\begin{aligned}&\prod _{l=-1}^{0}(l-1)\\[0.5em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Rekursionsschritt: }}\prod _{l=-1}^{0}(l-1)=\left(\prod _{l=-1}^{-1}(l-1)\right)\cdot (0-1)\right.}\\[0.5em]=\ &\left(\prod _{l=-1}^{-1}(l-1)\right)\cdot (0-1)\\[0.5em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Rekursionsschritt: }}\prod _{l=-1}^{-1}(l-1)=\left(\prod _{l=-1}^{-2}(l-1)\right)\cdot (-1-1)\right.}\\[0.5em]=\ &\left(\prod _{l=-1}^{-2}(l-1)\right)\cdot (-1-1)\cdot (0-1)\\[0.5em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Rekursionsanfang: }}\prod _{l=-1}^{-2}(l-1)=1\right.}\\[0.5em]=\ &1\cdot (-1-1)\cdot (0-1)\\=\ &1\cdot (-2)\cdot (-1)=2\end{aligned}}$

Die zweite Summe ist bereits leer. Damit beginnt (und endet direkt) die Rekursion mit dem Rekursionsanfang:

$\sum _{n=1}^{-1}n^{2}=0$

Und beim letzten Produkt ist das Ergebnis:

${\begin{aligned}&\prod _{m=5}^{5}(m-n)^{k}\\[0.5em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Rekursionsschritt: }}\prod _{m=5}^{5}(m-n)^{k}=\left(\prod _{m=5}^{4}(m-n)^{k}\right)\cdot (5-n)^{k}\right.}\\[0.5em]=\ &\left(\prod _{m=5}^{4}(m-n)^{k}\right)\cdot (5-n)^{k}\\[0.5em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Rekursionsanfang: }}\prod _{m=5}^{4}(m-n)^{k}=1\right.}\\[0.5em]=\ &1\cdot (5-n)^{k}\\=\ &(5-n)^{k}\end{aligned}}$

Alternative Summen-/Produktschreibweise

Die alternative Summenschreibweise

Es gibt auch eine alternative Schreibweise für Summen und Produkte, die mächtiger ist als die oben vorgestellte Schreibweise. Auf die Nennung des Start- und Endwertes wird bei dieser Schreibweise verzichtet. Stattdessen definiert man unter der Summe eine Bedingung, die als (mathematische) Aussage formuliert wird. Als Laufvariable dient in dieser Schreibweise diejenige Variable, die in der Bedingung neu eingeführt wird (demzufolge muss in der Bedingungsaussage genau eine Variable neu eingeführt werden). Die Laufvariable nimmt nun in einer beliebigen Reihenfolge alle ganzzahligen Werte an, die die gestellte Bedingung erfüllen. Wegen der Kommutativität der Addition und der Multiplikation ist es auch kein Problem, dass die Reihenfolge der Summanden bzw. der Faktoren nicht spezifiziert ist. Nun wird wie in der oben definierten Summen-/Produktschreibweise für jeden Wert der Laufvariablen ein Summand aufgeschrieben. Auch hier gibt der Funktionsterm bzw. die Zuordnungsvorschrift nach der Summe an, welcher Wert als Summand für welchen Wert der Laufvariable aufgeschrieben wird.

Es ist auch möglich, dass in der alternativen Summen-/Produktschreibweise über mehrere Variablen summiert wird. Betrachte hierzu das Beispiel

$\sum _{k+l=3}k\cdot l$

In dieser Summe wird über alle Paare $(k,l)$ natürlicher Zahlen summiert, für die die Aussage $k+l=3$ erfüllt ist. Das trifft genau auf die Paare $k=0$ und $l=3$, $k=1$ und $l=2$, $k=2$ und $l=1$ sowie $k=3$ und $l=0$ zu. Damit ergibt sich obige Summe zu

${\begin{aligned}\sum _{k+l=3}k\cdot l&=0\cdot 3+1\cdot 2+2\cdot 1+3\cdot 0\\&=0+2+2+0\\&=4\end{aligned}}$

Verständnisfrage: Was ist $\sum _{i+j+k=4}i\cdot j+k$ ?

Die Variablen $(i,j,k)$ können bei der Bedingung $i+j+k=4$ folgende Werte annehmen:

${\begin{aligned}{\begin{array}{l}(0,0,4),(0,1,3),(0,2,2),(0,3,1),(0,4,0),\\(1,0,3),(1,1,2),(1,2,1),(1,3,0),\\(2,0,2),(2,1,1),(2,2,0),\\(3,0,1),(3,1,0),\\(4,0,0)\\\end{array}}\end{aligned}}$

Damit erhält man für die Summe

${\begin{aligned}\sum _{i+j+k=4}i\cdot j+k&=\quad (0\cdot 0+4)+(0\cdot 1+3)+(0\cdot 2+2)+(0\cdot 3+1)+(0\cdot 4+0)\\&\quad +(1\cdot 0+3)+(1\cdot 1+2)+(1\cdot 2+1)+(1\cdot 3+0)\\&\quad +(2\cdot 0+2)+(2\cdot 1+1)+(2\cdot 2+0)\\&\quad +(3\cdot 0+1)+(3\cdot 1+0)\\&\quad +(4\cdot 0+0)\\&=4+3+2+1+0+3+3+3+3+2+3+4+1+3+0\\&=35\end{aligned}}$

Verständnisfrage: Was ist $\sum _{1\leq \alpha <\beta \leq 3}\alpha \cdot \beta$ ?

Für die Bedingung $1\leq \alpha <\beta \leq 3$ müssen gleichzeitig folgende Ungleichungen erfüllt sein:

• $1\leq \alpha$
• $\alpha <\beta$
• $\beta \leq 3$

Damit sind folgende Paare für $(\alpha ,\beta )$ möglich:

$(1,2),\ (1,3),\ (2,3)$

Das Ergebnis lautet damit:

${\begin{aligned}\sum _{1\leq \alpha <\beta \leq 3}\alpha \cdot \beta &=1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3\\&=2+3+6\\&=11\end{aligned}}$