Gaußsche Summenformel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Nachdem ich dir die Summen- und Produktschreibweise vorgestellt habe, möchte ich dir Summenformeln zeigen, die dir in der Mathematik häufiger über den Weg laufen werden. Dies ist zum einen die Gaußsche Summenformel.

Gaußsche Summenformel

Anschaulicher Beweis der gaußschen Summenformeln (Vimeo-Video von Felix Breuer)

Die ersten sechs Folgenglieder von $\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Die Gaußsche Summenformel (auch Kleiner Gauß genannt) ist eine Formel für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen:

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\ldots +n$

Wie Gauß nach Anekdote im zarten Alter von 9 Jahren selbst herausgefunden hat, lässt sich diese Summe vereinfachen zu

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\ldots +n={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

Eine Möglichkeit, diese Formel zu beweisen, ist die vollständige Induktion (einen Beweis dazu findest du in der einführenden Beispielaufgabe zur vollständigen Induktion). Ich möchte dir in diesen Abschnitt einen weiteren Beweis dieser Summenformel vorstellen.

Satz (Gaußsche Summenformel)

Für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen gilt:

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

Beweis (Gaußsche Summenformel)

Um die Gaußsche Summenformel zu beweisen, betrachten wir zunächst die Summe $2\cdot \sum _{k=1}^{n}k$. Diese kann geschrieben werden als:

${\begin{aligned}2\cdot \sum _{k=1}^{n}k&={\color {OliveGreen}\sum _{k=1}^{n}k}+{\color {RedOrange}\sum _{k=1}^{n}k}&\\[0.5em]&=\ {\color {OliveGreen}1+2+\ldots +(n-1)+n}+{\color {RedOrange}1+2+\ldots +(n-1)+n}\\[0.5em]&\quad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umsortieren}}\right.}\\[0.5em]&=\ \underbrace {({\color {OliveGreen}1}+{\color {RedOrange}n})} _{=\ n+1}+\underbrace {({\color {OliveGreen}2}+{\color {RedOrange}n-1})} _{=\ n+1}+\ldots +\underbrace {({\color {OliveGreen}n-1}+{\color {RedOrange}2})} _{=\ n+1}+\underbrace {({\color {OliveGreen}n}+{\color {RedOrange}1})} _{=\ n+1}\\[0.5em]&=\ \underbrace {(n+1)+(n+1)+\ldots +(n+1)+(n+1)} _{n{\text{-mal }}n+1}\\[0.5em]&=n\cdot (n+1)\end{aligned}}$

Damit ist $2\cdot \sum _{k=1}^{n}k=n\cdot (n+1)$ und somit erhalten wir nach Division auf beiden Seiten mit $2$ die Gleichung $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$.