Geometrische Summenformel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Eine weitere wichtige Summenformel ist die geometrische Summenformel. Sie lautet:

Dabei ist eine beliebige reelle Zahl ungleich 1.

Geometrische SummenformelBearbeiten

Satz (Geometrische Summenformel)

Für alle reellen   und für alle   ist:

 

Beweis (Geometrische Summenformel)

Es ist

 

Geometrische Summe für q = 1Bearbeiten

Für   ist:

 

Beweis mit vollständiger InduktionBearbeiten

InduktionsanfangBearbeiten

Im Induktionsanfang muss folgende Formel für   bewiesen werden:

 

Die linke Seite kannst du schreiben als:

 

Die rechte Seite ergibt:

 

Da auf beiden Seiten das Gleiche steht, ist der Indutkionsanfang für   bewiesen.

InduktionsschrittBearbeiten

Im Induktionsschritt nimmt man an, dass die Formel bereits für ein beliebiges   gilt. Es wird nun gezeigt, dass die Formel auch für   gilt. Da wir bereits die Formel für   gezeigt haben, folgt so die Gültigkeit der geometrischen Summenformel nach dem Prinzip der vollständigen Induktion. Unsere Induktionsvoraussetzung lautet:

 

Wir verwenden sie zur Berechnung der ersten   Glieder:

 

Jetzt bringen wir die Summe auf einen gemeinsamen Hauptnenner:

 

Also ist

 

Dies ist aber gerade die zu beweisende Induktionsbehauptung. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die geometrische Summenformel für alle   bewiesen.

Anwendung der Geometrischen SummenformelBearbeiten

Die geometrische Summenformel lässt sich dazu verwenden, das für eine Rente gesparte Geld zu berechnen. Stell dir dazu vor, du würdest jedes Jahr   für deine Rente sparen, die mit   verzinst werden. Wie viel hast du nach 10 Jahren erspart? Die ersten  , die du einzahlst, werden 10-mal verzinst, die zweiten werden 9-mal verzinst, die dritten werden 8-mal verzinst und so weiter. Damit ergibt sich der Betrag des Ersparten  :

 

Frage: Wie lautet die allgemeine Formel, wenn   der jährlich eingezahlte Betrag,   der Zins und   die Anzahl der Jahre ist, die du einzahlst?

Analog zu obigen Rechnung ergibt sich der Betrag des Ersparten   zu: