Logik und Aussagen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Warum Logik für die Mathematik wichtig ist

Logik ist die Sprache der Mathematik. In dieser Sprache werden mathematische Sätze formuliert und Beweise geführt. Sie genügt der Anforderung der Mathematik, dass alle in ihr formulierten Ausdrücke eine klare und scharf definierte Bedeutung haben. Dabei ist das richtige Schließen aus logischen Ausdrücken nicht immer so einfach, wie man zunächst annimmt. Oftmals verführt uns unsere Intuition zu Schlüssen, die sich beim genaueren Hinschauen als falsch herausstellen. Der richtige Umgang mit der Logik ist einer der Schlüssel, um Mathematik zu verstehen und zu beherrschen. Deswegen beschäftigen wir uns in den folgenden Kapiteln mit logischen Ausdrücken und wie man mit ihnen umgeht.

Mehrdeutigkeit natürlicher Sprachen

Zunächst möchten wir an einigen Beispielen zeigen, warum die deutsche Sprache (oder andere natürliche Sprachen) nicht geeignet ist, um sich allein in ihr über mathematische Problemstellungen zu unterhalten.

Frage: Welche Bedeutung haben die folgenden Aussagen?

Aussage: Jeder Mann liebt eine Frau.

1. Jeder Mann liebt mindestens eine Frau.
2. Jeder Mann liebt genau eine Frau.
3. Jeder Mann liebt dieselbe Frau.

Aussage: In der Liste finden Sie Ihre Adresse oder Ihre Handynummer.

1. In der Liste finden Sie Ihre Adresse und/oder Ihre Handynummer.
2. In der Liste finden Sie entweder Ihre Adresse oder Ihre Handynummer.

Aussage: Ich sehe Robert auf dem Dach mit dem Fernglas.

1. Ich bin auf dem Dach und sehe durch mein Fernglas Robert.
2. Ich sehe durch mein Fernglas Robert, der auf dem Dach ist.
3. Ich sehe Robert, der auf dem Dach ist und ein Fernglas hat.
4. Ich sehe Robert auf dem Dach, das mit einem Fernglas ausgestattet ist.

Du siehst, dass viele Sätze unserer Alltagssprache (beabsichtigt oder unbeabsichtigt) mehrdeutig sind. Sicherlich kennst du noch weitere Beispiele für Sätze, die mehrdeutig sind. Überlege, wie oft es dir schon passiert ist, dass dich jemand missverstanden hat.

Wegen dieser Mehrdeutigkeiten sind natürliche Sprachen zur Präzisierung in der Mathematik nicht gut geeignet. Stelle dir vor, Mathematiker hätten eine unterschiedliche Auffassung über mathematische Objekte, weil die ihnen zugrunde liegende Definition auf unterschiedliche Weise verstanden werden kann. Ein sinnvolles mathematisches Arbeiten ist dann schlicht nicht möglich. Deswegen ist es wichtig, einen Werkzeugsatz zu haben, mit dem ganz klar definierte Aussagen formuliert werden können und in dem es klare Regeln gibt, wie man aus bestehenden Aussagen neue herleitet. Dieses System ist für die Mathematik die Logik.

Klassische Logik

Die Mathematik benutzt die „klassische Logik“. Der Begriff klassisch hat hierbei keinen zeitlichen Charakter. Die klassische Logik ist alles andere als veraltet und kann vielmehr als „Standardlogik“ angesehen werden. Sie definiert sich über folgende zwei Eigenschaften:

• Prinzip der Zweiwertigkeit: Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.
• Extensionalitätsprinzip: Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt.

Trifft eine der beiden Eigenschaften der klassischen Logik nicht zu, spricht man von nichtklassischer Logik. Ein Beispiel hierfür ist die mehrwertige Logik, bei der das Prinzip der Zweiwertigkeit aufgegeben wird. Weite Teile der Mathematik nutzen die klassische Logik als Grundlage.

Die heutige Form der Logik wurde in der Mitte des 19. Jahrhunderts entwickelt, als die Mathematiker begannen, sich mit den Grundlagen der Mathematik zu beschäftigen. Sie entwickelte sich schnell zu einem Teilgebiet der Mathematik, der sogenannten „Mathematischen Logik“, und liefert heute die Sprache, in der Mathematik betrieben wird. Wir werden die Logik schrittweise behandeln und die traditionellen Teilbereiche ansprechen:

• Aussagenlogik – Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit Aussagen und der Verknüpfung von Aussagen zu neuen Aussagen.
• Prädikatenlogik – Die Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Sie ermöglicht die Untersuchung der inneren Struktur einer Aussage.
• Klassenlogik – Die Klassenlogik ist eine Erweiterung der Prädikatenlogik um Begriffe der Mengenlehre. Sie ist die Sprache der Mathematik.

Grundlegende Begriffe

Die Aussage

Ein grundlegender Begriff der Logik ist die Aussage:

Definition (vorläufige Beschreibung)

Eine Aussage ist ein aus Wörtern und/oder mathematischen Zeichen aufgebauter Ausdruck, von dem es möglich und sinnvoll ist zu sagen, dass dieser Ausdruck wahr oder falsch ist.

Aussagen sind damit Ausdrücke, denen man sinnvoll einen Wahrheitswert zuordnen kann. Man kann sie also für die Punkte im folgenden Satzfragment einsetzen:

Ist es wahr, dass gilt: …?

Der Ausdruck „5 ist eine Primzahl“ ist beispielsweise eine Aussage, weil die Frage „Ist es wahr, dass gilt: 5 ist eine Primzahl?“ sinnvoll gestellt und beantwortet werden kann. Demgegenüber ist die Frage „Ist 5 eine Primzahl?“ keine Aussage, da der Ausdruck „Ist es wahr, dass gilt: Ist 5 eine Primzahl? ?“ keine sinnvolle Frage ist (beachte das doppelte Fragezeichen). Damit folgt, dass Fragen, Satzfragmente und Befehle keine Aussagen sind, da ihnen nicht sinnvoll ein Wahrheitswert zugeordnet werden kann.

Sprachliche Gebilde wie „$x\geq 5$“, in denen freie Variablen vorkommen, sind keine Aussagen, sondern Aussageformen. Dies liegt daran, dass bei solchen Ausdrücken der Wahrheitswert von der Belegung der Variablen abhängt. So ist „$x\geq 5$“ für die Belegung $x=42$ wahr und für $x=1$ falsch und es kann deshalb nicht eindeutig entschieden werden, ob dieser Ausdruck wahr oder falsch ist. Auch wenn der Ausdruck unabhängig von der Belegung der freien Variablen immer wahr ist, handelt es sich um eine Aussageform. So ist der Ausdruck $x+x=2x$ eine Aussageform. Als Oberbegriff von Aussagen und Aussageformen wird der Begriff Formel verwendet.

Es gilt nicht immer, dass Ausdrücke mit Variablen Aussageformen sind. So ist der Ausdruck „Für alle reellen Zahlen $x$ gilt $x\geq 5$“ eine Aussage und keine Aussageform. Der Grund ist der, dass hier $x$ durch den so genannten Quantor „für alle“ gebunden wird und nicht mehr frei ist. Was genau freie und gebundene Variablen sowie Aussageformen sind, werden wir im Kapitel „Aussageform und Substitution“ erklären.

Beachte, dass die obige Definition noch nicht ganz präzise ist. So ist nicht genau geklärt, was ein sinnvoller Ausdruck ist. Meist genügt hier die menschliche Intuition, jedoch kann damit eine gewisse Subjektivität nicht vermieden werden. Für unsere Zwecke reicht aber obige Definition erst einmal. Wir betrachten nur Aussagen, die genau einen der beiden sogenannten Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ besitzen. Dies wird „Prinzip der Zweiwertigkeit“ genannt:

Definition (Prinzip der Zweiwertigkeit)

Eine Aussage ist entweder „wahr“ oder „falsch“.

Dabei nutzt man für den Wahrheitswert „wahr“ oftmals das Symbol ${\mathsf {W}}$, $w$ oder $1$. Für „falsch“ werden die Symbole ${\mathsf {F}}$, $f$ oder $0$ benutzt.

Ausdruck	Ist der Ausdruck eine Aussage?	Bemerkung
10 ist eine gerade Zahl.	Aussage	Wahre Aussage
5 ist durch 3 ohne Rest teilbar.	Aussage	Falsche Aussage
Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen liegt mindestens eine Primzahl.	Aussage	Man nennt diese Aussage die Legendresche Vermutung. Bis heute weiß man nicht, ob diese Aussage wahr ist oder falsch.
Schläfst du schon?	Keine Aussage	—
Geh in die Schule!	Keine Aussage	—
$5+4-7x=0$	Aussageform	Ohne weitere Informationen zu $x$ können wir nichts sagen: Ist $x$ frei wählbar? Wenn ja, muss $x$ eine natürliche, ganze, reelle oder komplexe Zahl sein?
$x>0$ oder $x=0$ oder $x<0$	Aussageform	Obwohl der Ausdruck für alle reellen Zahlen $x$ wahr ist, ist dieser Ausdruck keine Aussage. Schließlich ist nicht klar, ob $x$ wirklich eine reelle Zahl ist (wie man vermuten könnte). Es gibt nämlich Ordnungen, in denen dieser Ausdruck nicht für alle Objekte wahr ist.
Boah, Alter, geil Mann …	Keine Aussage	—

Aussagen begegnen dir überall in der Mathematik. Alle Sätze, Hilfssätze und Axiome sind als Aussagen formuliert. Wenn du dir einen Beweis anschaust, so ist dieser eine Folge von Aussagen, welche aufeinander aufbauen und in logischen Beziehungen zueinander stehen. Zum Beispiel kann eine Aussage eine Schlussfolgerung aus einer anderen Aussage sein. Dementsprechend ist es für dich als Mathematikstudentin oder -student wichtig, dass du mit Aussagen richtig umgehen kannst, also zum Beispiel die innere Struktur einer Aussage erkennst und sie richtig negieren kannst sowie häufige Fehler im logischen Schlussfolgern vermeidest.

In den Aussagen kommen Ausdrücke wie $7$ oder andere Ziffern, Variable wie $x$ oder zusammengesetzte Ausdrücke wie $4+5-7x$ vor. Diese Ausdrücke bezeichnen Objekte und werden Terme genannt.

Welche der folgenden Ausdrücke sind Aussagen?

1 Alle Raben sind weiß.

	Aussage
	Keine Aussage

2 $5+7$

	Aussage
	Keine Aussage

3 $5\geq 7$

	Aussage
	Keine Aussage

4 $5+7=6$

	Aussage
	Keine Aussage

5 Ist $5+7=12$?

	Aussage
	Keine Aussage

Problematische Ausdrücke

Aber Vorsicht: Es gibt Ausdrücke, die auf den ersten Blick wie eine Aussage aussehen, denen aber kein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. Einer dieser Ausdrücke ist der auf sich selbst beziehende Satz „Dieser Satz ist falsch“. Ist dieser Satz wahr oder falsch? Zwar macht die Frage Sinn, aber es gibt keine Antwort dazu. Denn egal welchen Wahrheitswert man dieser Aussage zurechnet, man erhält immer einen Widerspruch.

Verständnisfrage: Wieso kann dem Ausdruck „Dieser Satz ist falsch“ nicht sinnvoll ein Wahrheitswert zugeordnet werden?

Angenommen der Satz ist wahr. Dann besagt er ja gerade, dass er falsch ist. Beides kann er aber nicht sein. ↯

Nehmen wir nun an, der Satz ist falsch. Dann wäre er wahr, denn genau das besagt er ja. Also erhalten wir auch in diesem Fall einen Widerspruch. ↯

Dementsprechend handelt es sich bei diesem Ausdruck um keine Aussage.

Problematische Ausdrücke können insbesondere dann auftreten, wenn diese einen Selbstbezug aufweisen. Dieser Selbstbezug ist bereits im obigen Beispiel „Dieser Satz ist falsch“ vorhanden. Ein weiteres Beispiel für einen problematischen Ausdruck ist:

„Der nächste Satz ist wahr. Der vorherige Satz ist falsch.“

Verständnisfrage: Warum ist der Ausdruck „Der nächste Satz ist wahr. Der vorherige Satz ist falsch“ problematisch?

Wenn der erste Satz wahr ist, so wäre der zweite Satz wahr und damit der erste falsch ↯. Wenn der erste Satz falsch ist, wäre der zweite Satz falsch und damit der erste Satz wahr ↯.

Solche problematischen Ausdrücke sind neben der Eindeutigkeit ein weiterer Grund, die mathematische Sprache zu präzisieren.