Formeln der Mengenlehre – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Auf dieser Seite haben wir wichtige Formeln der Mengenlehre für dich aufgelistet. Die Beweise findest du in den folgenden Kapiteln:

• Durchschnitt von Mengen
• Vereinigung von Mengen
• Differenz, symmetrische Differenz und Komplement

Assoziativgesetze

• $\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)$
• $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$
• $\left(A\,\triangle \,B\right)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,\left(B\,\triangle \,C\right)$

Kommutativgesetze

• $A\cap B=B\cap A$
• $A\cup B=B\cup A$
• $A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A$

Distributivgesetze

• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
• $A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C)$

Idempotenzgesetze

• $A\cap A=A$
• $A\cup A=A$

Absorptionsgesetze

• $A\cap (A\cup B)=A$
• $A\cup (A\cap B)=A$

Neutralitätsgesetze

Im Folgenden sei $M$ die Grundmenge.

• $A\cap M=A$
• $A\cup \varnothing =A$
• $A\,\triangle \,\varnothing =A$

Extremalgesetze

Im Folgenden sei $M$ die Grundmenge.

• $A\cup M=M$
• $A\cap \varnothing =\varnothing$

De-Morgansche Regeln

• $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$
• $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$

Regeln zum Komplement

Im Folgenden sei $M$ die Grundmenge.

• $(A^{\complement })^{\complement }=A$
• $M^{\complement }=\varnothing$
• $\varnothing ^{\complement }=M$
• $A\cap A^{\complement }=\varnothing$
• $A\cup A^{\complement }=M$
• $A\,\triangle \,M=A^{\complement }$
• $A\,\triangle \,A^{\complement }=M$

Regeln zur Differenz

• $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)$
• $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$
• $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$
• $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$
• $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$
• $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$

Regeln zur symmetrischen Differenz

Es gelten Assoziativität, Kommutativität, Distributivität und Neutralität, siehe dort.

• $A\,\triangle \,A=\varnothing$
• $A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$
• $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$
• $(A\triangle B)^{\complement }=(A^{\complement }\cap B^{\complement })\cup (A\cap B)$