Differenz, symmetrische Differenz und Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Differenz Bearbeiten

Erklärungen zur Differenzmenge (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Mit Hilfe der Differenz kannst du alle Elemente einer Menge   bestimmen, die außerdem nicht in einer zweiten Menge   liegen. Ein Objekt   liegt genau dann in der Differenz von   und  , wenn   ein Element von   aber kein Element von   ist:

Für die Differenz von   und   schreibt man   (ausgesprochen: „  ohne  “). Seltener wird in der Literatur ein Minuszeichen verwendet:  .

Definition (Differenz)

Die Differenz   zweier Mengen   und   ist definiert durch:

 

Beispiel (Differenz)

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Symmetrische Differenz Bearbeiten

 
symmetrische Differenz zweier Mengen
 
Beispiel für die symmetrische Differenz von zwei Mengen

Die Symmetrische Differenz zweier Mengen   und   ist die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen   und   enthalten sind. Ist also   ein Element aus der symmetrischen Differenz von   und  , so ist entweder   oder   und   kein gemeinsames Element der Mengen   und  . Ihre Schreibweise ist   (ausgesprochen: „symmetrische Differenz von   und  “).

Definition (symmetrische Differenz)

Die symmetrische Differenz   ist die Menge aller Objekte, die Elemente genau einer der Mengen   und   sind:

 

Verständnisfrage: Bilde die symmetrische Differenz folgender Mengen

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Antwort:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Komplement Bearbeiten

 
das Komplement einer Menge
Erklärungen zur Grundmenge und dem absoluten Komplement (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Das Komplement einer Menge   ist die Menge aller Objekte der Grundmenge, die keine Elemente von   sind. Ist in einem Text keine Grundmenge angegeben, so ergibt sich diese aus dem Kontext. So wird bei einem Text über die reelle Analysis die Grundmenge meistens die Menge der reellen Zahlen   sein. Da wir hier über Mengen reden, verwenden wir die Allklasse   anstelle der Grundmenge. Die Schreibweise für das Komplement von   ist   oder   oder   (ausgesprochen: „Komplement von  “).

Definition (Komplement)

Das Komplement   der Menge   ist die Menge aller Objekte, die nicht in   enthalten sind:

 

Verständnisfrage: Die Grundmenge sei  . Bilde folgende Komplemente:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Antwort:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Satz (Eigenschaften des Komplements)

  1.   (Doppeltes Komplement)
  2.  
  3.  
  4.   (De Morgansche Regel)
  5.  
  6.  
  7.  

Dieses Eigenschaften lassen sich auf die Definitionen und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften des Komplements)

  1. Es ist
     
  2. Es ist
     
  3. Siehe Aufgabe 1
  4. Es ist
     
  5. Siehe Aufgabe 2
  6. Es ist
     
  7. Siehe Aufgabe 3

ÜbungsaufgabenBearbeiten

Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige:  

Lösung (Aufgabe 1)

 

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige:  

Lösung (Aufgabe 2)

 

Aufgabe 3: Zeige: