Relation – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wie können Eigenschaften und Beziehungen modelliert werden?Bearbeiten

Im vorherigem Kapitel haben wir das Konzept der Menge kennengelernt, mit der Objekte zu einem Ganzen zusammengefasst werden können. In diesem Kapitel werden wir uns damit beschäftigen, wie Eigenschaften von und Beziehungen zwischen Objekten modelliert werden können. Diese Eigenschaften von bzw. Beziehungen zwischen Objekten werden Relationen genannt. Hierzu werden wir uns zunächst einige Beispiele anschauen, um dann das Konzept der Relationen einzuführen.

Modellierung von EigenschaftenBearbeiten

 
Modellierung der Eigenschaft "x ist weiblich"

Sei   die Menge aller zur Zeit lebenden Menschen. Wir wollen nun das (biologische) Geschlecht der Menschen beschreiben. Dabei soll angenommen werden, dass jeder Mensch entweder männlich oder weiblich aber nicht beides gleichzeitig ist. Wie können wir das Geschlecht eines Menschen mit Hilfe von Mengen beschreiben?

Eine in der Mathematik häufig benutzte Möglichkeit ist folgende: Wir definieren eine neue Menge  , die genau all diejenigen Menschen enthält, die wir als weiblich bezeichnen wollen. Die Menge   ist also definiert durch  . Damit können wir   schreiben, um auszudrücken, dass   weiblich ist.

Ein Vorteil dieser Modellierung ist der, dass wir Mengenverknüpfungen verwenden können, um neue Eigenschaften zu beschreiben. So ist   die Menge aller männlichen Menschen, da wir davon ausgehen, dass jeder nicht weibliche Mensch männlich ist. Damit können wir   für „  ist männlich“ schreiben.

Wir fassen zusammen: Wenn wir eine Grundmenge   haben und in ihr eine Eigenschaft beschreiben wollen, so können wir eine neue Menge   definieren, die genau all diejenigen Objekte aus   enthält, die diese Eigenschaft besitzen.

Modellierung von zweistelligen BeziehungenBearbeiten

 
Modellierung der Beziehung „x liebt y“

Sei wieder   die Menge aller Menschen, die zur Zeit leben. Wie kann nun die Liebesbeziehung zwischen zwei Menschen beschrieben werden? Wie können wir also modellieren, dass ein Mensch   einen anderen Menschen   liebt?

Auch hierfür führen wir eine neue Menge ein: Die Menge   soll genau all diejenigen Paare   von Menschen enthalten, für die gilt, dass   die Person   liebt. Wir definieren damit  . So können wir   schreiben, um auszudrücken, dass   den Menschen   liebt. Damit haben wir eine Modellierung für die Liebesbeziehung gefunden.

Rechts siehst du ein Beispiel für eine solche Modellierung. Du siehst, dass Kristina und Max sowie Julia und Anna ein Liebespärchen sind. Hannes ist zwar in Max verliebt, jedoch wird seine Liebe nicht erwidert. Stefan liebt keine Person der Grundmenge und wird auch von keiner anderen Person geliebt.

Verständnisfrage: Wieso werden für die Beziehung „  liebt  “ Paare   und nicht Mengen   verwendet?

Bekanntermaßen ist bei der aufzählenden Mengenschreibweise die Reihenfolge der Objekte irrelevant. So ist  . Jedoch ist die Beziehung „  liebt  “ zwischen den Personen   und   eine andere Beziehung als „  liebt  “. Dementsprechend können Mengen der Form   nicht zur Beschreibung der Liebesbeziehung herangezogen werden.

Im Gegensatz zu Mengen besitzen Paare   die notwendige Eigenschaft, dass die Reihenfolge ihrer Komponenten für die Identitätsbeziehung relevant ist. So ist   dann und nur dann, wenn   und   ist.

Zusammenfassung: Um eine zweistellige Beziehung in einer Grundmenge   zu modellieren, können wir eine neue Menge   definieren, die all diejenigen Paare   der Objekte   und   aus   enthält, die in Beziehung zueinander stehen. Damit ist  .

 
Modellierung der Beziehung „x studiert y“

Mit der Liebesbeziehung haben wir ein Beispiel für eine Beziehung von Objekten innerhalb einer Menge kennen gelernt. Wie können wir Beziehungen von Objekten unterschiedlicher Mengen modellieren?

Nehmen wir hierzu die Beziehung „  studiert  “. Dabei sei   die Menge der Menschen und   die Menge der Studienfächer. Um nun die Beziehung „  studiert  “ zu beschreiben, definieren wir eine neue Menge   derjenigen Paare   mit   und  , so dass der Mensch   das Fach   studiert. So wird die Beziehung „  studiert  “ modelliert durch die Menge  . Es ist damit  .

Auf der linken Seite siehst du ein konkretes Beispiel für diese Art der Modellierung. Hier sind Hannes, Anna und Julia Studenten, während Max nicht studiert. Hannes studiert Geografie und Anna und Julia studieren Mathematik. Das Studienfach Kommunikationswissenschaften wird in unserem Beispiel von niemandem studiert.

Hinweis

In unseren Beispielen gehen wir davon aus, dass immer eindeutig festgestellt werden kann, ob eine Person eine andere Person liebt beziehungsweise ob eine Person ein konkretes Fach studiert. In der Realität sind diese Fragen aber selten eindeutig beantwortbar. Auch haben wir nicht spezifiziert, welche Art von Liebe wir meinen. Zählt beispielsweise die Liebe von Eltern zu ihren Kindern auch dazu?

Obige Relationen stellen nur einführende Beispiele dar. Übersehe bitte die Unzulänglichkeiten, die diese Relationen haben.

Modellierung von dreistelligen BeziehungenBearbeiten

 
Relation „x lernt y beim Lehrer z“

Zum Schluss schauen wir uns ein Beispiel für eine Beziehung an, in der drei Objekte involviert sind. Ein Beispiel für eine solche Beziehung ist die Relation „  lernt   beim Lehrer  “. Dabei sind   und   Menschen der Menge   und   ein Schulfach der Menge  .

Diese Beziehung beschreiben wir über ein 3-Tupel. Wir definieren eine neue Menge   von 3er-Tupeln   mit   und   für die gilt, dass der Mensch   beim Lehrer   das Schulfach   lernt. Es ist also  .

Auf der rechten Seite siehst du eine Abbildung, die diese Modellierung veranschaulicht. Hier ist Anna Lehrerin der Fächer Mathematik und Geografie. Julia ist Schülerin im Mathematikunterricht und Hannes Schüler im Geografieunterricht bei Anna. Max ist weder Schüler noch Lehrer. Außerdem gibt es in unserem Beispiel weder Schüler noch Lehrer für das Fach Kunst.

DefinitionenBearbeiten

Aus den obigen Beispielen lässt sich ein Prinzip ablesen, wie Relationen in der Mathematik modelliert werden. Sei dazu   eine  -stellige Relation zwischen den Mengen   bis  . Dies bedeutet, dass   eine Relation ist, die zwischen   Objekten   bis   besteht und dass  ,  , …,   ist. Wie wird   in der Mathematik modelliert?

  wird modelliert als Menge von  -Tupeln   der Objekte   bis   mit  ,  , …,  . Dabei enthält   genau diejenigen  -Tupel von Objekten, die in Relation zueinander stehen. Somit ist   eine Teilmenge des kartesischen Produkts  . Zur Erinnerung:   ist die Menge aller  -Tupel   mit  ,  , …,  . Die Relation   ist daher eine Teilmenge von  .

Definition (Relation)

Eine  -stellige Relation   zwischen Objekten der Mengen   bis   ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts  .

Diese Art der Relation kann nicht die Qualität einer Relation beschreiben. Entweder stehen bestimmte Objekte in Relation zueinander oder nicht, aber sie können nicht mehr oder weniger in Relation zueinander stehen. Im Beispiel der Liebesbeziehung bedeutet dies, dass entweder   die Person   liebt oder nicht. Jedoch können wir mit Hilfe der obigen Definition nicht beschreiben, dass   die Person   mehr liebt als die Person   oder dass   die Person   mag, aber nicht liebt.

Die häufigste Art der Relation ist die binäre Relation:

Definition (binäre Relation)

Eine binäre Relation ist eine zweistellige Relation. Eine binäre Relation ist damit eine Beziehung, die zwischen Objekten zweier Mengen   und   existiert und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts  .

Für eine binäre Relation   gibt es eine eigene Schreibweise für die Relation zwischen zwei Objekten   und  . Um auszudrücken, dass   mit   in Relation steht, kann man neben   auch   schreiben. Ein Beispiel hierfür ist die Relation  , die „  ist kleiner als  “-Relation auf den reellen Zahlen (hier ist „ “ das Zeichen für die Relation). Anstatt nun   zu schreiben (was bedeutet, dass 2 kleiner als 3 ist), kann man auch   schreiben, wie du es bereits aus der Schule kennst.

Frage: Sei  . Wie sehen folgende Relationen als Mengen von Tupeln aus?

  •  : „  ist eine gerade Zahl.“
  •  : „  ist eine Quadratzahl.“
  •  : „  ist kleiner als  
  •  : „  ist ein Teiler von  “ oder gleichwertig „die Division   durch   hinterlässt keinen Rest“
  •  : „ 

Antwort:

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