Abbildung, Funktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Abbildung, Funktion Bearbeiten

Einführung des Begriffs der Funktion. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Ein zentrales Konzept der Mathematik ist die Abbildung, die auch Funktion genannt wird. Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen   und  . Dies bedeutet, dass jedem Element   durch die Abbildung   genau ein Element   zugeordnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die Quadratfunktion von der Menge   in die Menge  , die jeder reellen Zahl   ihre Quadratzahl   zuordnet. Die Schreibweise für Abbildungen von   nach   ist:

 

Ausgesprochen wird dieser Ausdruck so:

 

Die Menge   heißt Definitionsbereich von   und   ist die Zielmenge der Abbildung. Die Elemente aus dem Definitionsbereich von   werden Argument genannt und jedes durch die Abbildung getroffene Element   heißt Funktionswert zum Argument  .

 

Hinweis

Die Begriffe „Abbildung“ und „Funktion“ sind beide in der Mathematik üblich und bedeuten genau dasselbe.

In der Zielmenge   müssen nicht alle Elemente Funktionswerte sein.

Beispiel (Rest bei Division mit 2)

 

 

Hier besteht der Definitionsbereich   aus vier Elementen. Die Zielmenge ist  .   und   sind Funktionswerte. Die Zahl   dagegen nicht, denn keine Zahl ergibt bei Division durch   den Rest  . Also sind nicht alle Elemente in   Funktionswerte.

Die Pfeile geben die Zuordnung wider: sie gehen vom Argument zum Funktionswert und verbinden so ein Paar. Wir können daher die Zuordnung   als eine Menge von Paaren aus Argument und Funktionswert beschreiben:  . Mengen von Paaren haben wir bereits im Kapitel Relation kennengelernt. Abbildungen sind also Relationen! Aber nicht jede Relation ist eine Abbildung. Damit eine Relation eine Abbildung ist, muss jedes Element in   in Relation mit genau einem Element in   sein

Fassen wir noch einmal zusammen, was eine Funktion ausmacht: Die Paare   bilden eine Relation  . Diese Relation hat eine spezielle Eigenschaft: zu jedem Element   gibt es genau ein Element   mit  . Im Pfeildiagramm erkennst du dies daran, dass von jedem Element des Definitionsbereichs   genau ein Pfeil ausgeht. Im Koordinatensystem muss es zu jedem  -Wert genau einen  -Wert geben.

 
Die quadratische Funktion  

Wir definieren daher Abbildungen als eine Relationen mit der oben genannten Eigenschaft:

Definition (Abbildung, Funktion)

Eine Abbildung oder Funktion   aus der Menge   in die Menge   ist eine Relation   mit folgender Eigenschaft:

  • zu jedem Element   gibt es genau ein Element   mit  .

Dieses eindeutige Element wird mit   bezeichnet und Funktionswert von   genannt.   ist der Definitionsbereich,   ist die Zielmenge der Funktion. Die Zuordnung   kann zusätzlich angegeben werden:   oder auch so  .

Beispiel (Quadratfunktion)

Jeder reellen Zahl wird ihr Quadrat zugeordnet:

 

Funktionen werden häufig im Koordinatensystem veranschaulicht, wie in der Darstellung der Funktion rechts. Dabei werden die Paare   als Koordinaten aufgefasst. Diese Punktemenge wird dann als Graph der Funktion bezeichnet.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Pfeildiagramme stellen Abbildungen aus der Menge   in die Menge   dar?

Antwort:

  • Pfeildiagramm 1: Abbildung
  • Pfeildiagramm 2: partielle Abbildung (dem Objekt   wird kein Element aus   zugeordnet)
  • Pfeildiagramm 3: keine Abbildung (dem Element   werden mehrere Elemente aus   zugeordnet und dem Objekt   wird kein Element aus   zugeordnet)
  • Pfeildiagramm 4: Abbildung

Definitions- und Wertebereich Bearbeiten

Ist   eine Funktion von   nach  , so ist   der Definitionsbereich   von  

Der Wertebereich   einer Funktion ist als die Menge der Funktionswerte definiert:

Definition (Wertebereich einer Funktion)

  sei eine Funktion. Dann ist der Wertebereich von   die Menge aller Elemente für die es ein Argument gibt, formalisiert:

 

Es gilt  .

Einschränkung einer FunktionBearbeiten

Definition (Einschränkung einer Funktion)

Sei   eine Funktion und   eine Teilmenge von  . Dann ist die Einschränkung von   auf   die Funktion, die auf   mit   übereinstimmt:

 

Für die eingeschränkte Funktion gilt:  .

  ist tatsächlich eine Funktion.

Gleichheit von AbbildungenBearbeiten

Es ist nicht sofort klar, wann zwei Abbildungen gleich sind. Ähnlich wie bei Mengen müssen wir definieren, wann zwei Abbildungen gleich sind.

Definition (Gleichheit von Abbildungen)

Zwei Abbildungen   und   sind gleich, wenn  ,   und für alle   gilt  .

Sind zwei Funktionen gleich, so sind auch die Definitionsbereiche und die Wertebereiche gleich. Bei der Gleichheit kommt es nicht darauf an, ob die Zuordnungsvorschriften   und   gleich formuliert sind!

Beispiel

Die folgenden Funktionen sind gleich:

  1.  
  2.  

Bild und Urbild Bearbeiten

Zwei wesentliche Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen ist der Begriff des Bildes und der Begriff des Urbilds:

Definition (Bild)

Sei   eine Funktion und   eine Teilmenge. Das Bild   ist die Menge aller Funktionswerte   mit  :

 

Notation: Es ist üblich, sowohl für den Funktionswert   eines Elementes  , als auch für das Bild   einer Teilmenge   die gleiche Schreibweise zu verwenden, nämlich   mit runden Klammern. Aus dem Zusammenhang muss dann klar werden, was jeweils gemeint ist. Einige Autor*innen verwenden daher für das Bild einer Teilmenge   eckige Klammern:  .

 
Bild und Urbild

Beispiel (Bild)

Sei  . Es ist

  •  
  •  
  •  

Definition (Urbild)

Das Urbild   einer Abbildung   und einer Menge   ist die Menge aller Argumente  , die durch   in die Menge   abgebildet werden:

 

Beachte, dass   auch Elemente enthalten kann, die durch   nicht getroffen werden. Betrachte dazu die Abbildung auf der rechten Skizze. Die Zahl   wird nicht getroffen und die Zahl   besitzt als Funktionswert nur das Argument  . Dementsprechend gilt für das Urbild  .

Beispiel (Urbild)

Sei  . Es ist

  •  
  •  
  •  

Warnung

Es besteht Verwechslungsgefahr zwischen dem Urbild  , der Umkehrfunktion   und dem multiplikativen Inversen  .

Aufgabe

Sei

  •  
  •  
  •  

Bestimme folgende Bilder und Urbilder (beachte die unterschiedlichen Definitions- und Zielmengen der Abbildungen!):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Lösung

  1. Da   der gesamte Definitionsbereich von   ist, müssen hier alle Funktionswerte bestimmt werden, die durch   getroffen werden. Generell ist das Ergebnis der (reellwertigen) Quadratfunktion stets nicht negativ. Also ist das Bild eine Teilmenge von  .

    Nun kann man auch zeigen, dass alle nicht-negativen Zahlen durch   getroffen werden.

    Sei hierfür   eine nicht negative Zahl. Es ist dann stets   im Definitionsbereich   von   enthalten. Da   ist, gibt es ein Argument, welches von   auf   abgebildet wird. Also gilt  .

  2. Wir müssen nur die Funktionswerte von   und   überprüfen. Es ist   und  .

    Damit wird nur   getroffen und es gilt  .

  3. Wenn wir alle Beträge der ganzen Zahlen bilden, erhalten wir die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der Null, deshalb gilt:  

  4. Wir nutzen die Definition des Bildes  . Da die Aussage   immer falsch ist, folgt  .

  5. Bei der Quadratfunktion wird sowohl   als auch   auf   abgebildet. Es ist nämlich sowohl   sowie  . Da beide Zahlen   und   im Defintionsbereich von   sind, sind beide Zahlen im Urbild enthalten.

    Nun suchen wir alle   mit  , also  . Da   nicht   sein darf, bleibt nur die Möglichkeit   übrig.

    Damit ist   das gesuchte Urbild.

  6. Der Definitionsbereich von   besteht nur aus der Menge  . Diese Zahlen werden durch den Betrag auf die Menge   abgebildet. Da die Menge   in   enthalten, ist der komplette Definitionsbereich das gesuchte Urbild, also  

  7. Bei der Betragsfunktion wird für ein beliebiges nicht-negatives   sowohl   als auch   auf   abgebildet. Damit ist das Urbild von  .

  8. Wir benutzen die Definition des Urbilds:  . Die Aussage   ist für alle   falsch. Somit folgt  .

Eigenschaften von Abbildungen Bearbeiten

  sei eine Funktion von der Menge   in die Menge  . Es gelte also:  .

Injektiv Bearbeiten

 
Beispiel Injektivität
Erklärung von Injektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)
 
Bildung der Umkehrfunktion

Wenn eine Funktion verschiedene Argumente stets auf verschiedene Funktionswerte abbildet, wird sie injektiv genannt. Im Pfeildiagramm injektiver Funktionen treffen niemals zwei Pfeilspitzen auf denselben Funktionswert.

Definition (Injektiv)

Eine Funktion ist injektiv, wenn sie verschiedene Argumente auf verschiedene Werte abbildet:

 

Zum Nachweis der Injektivität wird häufig die Kontraposition verwendet:  .

Beispiel (Injektiv)

  •   ist nicht injektiv, denn alle Werte bis auf   werden zweimal getroffen. Es gilt ja beispielsweise  .
  •   ist injektiv, denn aus   folgt  .

Surjektiv Bearbeiten

 
Beispiel Surjektivität

Eine Funktion   ist surjektiv, wenn alle Elemente von   von der Funktion getroffen werden. Anders ausgedrückt: zu jedem Element   gibt es ein Argument  , mit  .

Definition (Surjektiv)

Eine Funktion ist surjektiv, wenn alle Elemente von   getroffen werden:

 
Erklärung von Surjektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Beispiel (Surjektiv)

  •   ist surjektiv, denn für ein beliebiges   ist  .
  •   ist nicht surjektiv, denn die Quadratfunktion auf   wird niemals negativ.

Verständnisaufgabe: Ist   surjektiv?

Nein, da weder   noch   in   liegen. Das heißt   liegt nicht im Bild von  .

Satz (Surjektivität)

 .

Beweis (Surjektivität)

Die Behauptung folgt mit der Definition des Wertebereichs: der umfasst alle Werte, die getroffen werden.

Bijektiv Bearbeiten

 
Beispiel Bijektivität

Eine Funktion   kann sowohl injektiv als auch surjektiv sein. Man nennt diese Eigenschaft bijektiv. Im Pfeildiagramm ist dann jedes Element von   mit genau einem Element von   verbunden. Mit Hilfe von bijektiven Funktionen können Mengen hinsichtlich ihre Größe verglichen werden: gibt es eine Bijektion von   auf  , so haben die beiden Mengen   und   gleichviele Elemente. Wir werden den Größenvergleich zwischen Mengen im Kapitel Mächtigkeit von Mengen ausführlich behandeln.

Definition (Bijektiv)

Eine Funktion ist bijektiv von   auf  , wenn sie injektiv und surjektiv ist. Das heißt, jedem Element von   wird genau ein Element von   zugeordnet:

 
Erklärung von Bijektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Beispiel (Bijektiv)

  1.   ist bijektiv.
  2.   ist bijektiv.
  3.   ist nicht bijektiv.

Beweis

  1. Im Koordinatenkreuz ist diese Funktion eine Gerade mit Steigung   und um eine Einheit nach oben verschoben. Wir zeigen die Injektivität: aus   folgt   und daraus  . Für die Surjektivität sei eine beliebige reelle Zahl   gegeben. Dann definieren wir das Argument   und rechnen nach:  . Also werden alle reellen Zahlen getroffen.
  2. In gleicher Weise zeigt man die Bijektivität von  , das ist eine Parabel 3. Grades.
  3. Der Graph von   ist die Sinuskurve. Die nimmt bekanntlich alle Werte zwischen   und   an. Also ist   surjektiv auf dem Intervall  .   ist aber nicht injektiv, denn   ist periodisch, das heißt, diese Werte werden immer wieder angenommen.

Funktionskomposition Bearbeiten

 
Die Funktionskomposition

Seien zwei Abbildungen   und   gegeben. Dann können wir die beiden Funktionen nacheinander ausführen. Wir bilden zunächst ein   mit   ab und erhalten  . Dann können wir darauf   anwenden und erhalten  . Insgesamt ergibt sich  . Das führt zum Begriff der Komposition von Funktionen

Definition (Komposition von Abbildungen)

Die Komposition zweier Abbildungen   und   ist die Abbildung  .

Gelesen wird   so: erst  , dann   oder auch:   nach  .

Hinweis

Beachte, dass in der Schreibweise für die Funktionskomposition   diejenige Funktion, die zuerst angewandt wird, rechts steht (Hier musst du also „von rechts nach links“ lesen). Die Schreibweise   meint also, dass auf   erst   und danach   angewandt wird. Es ist also  .

Verständnisfrage: Sei   und  . Berechne

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Antwort:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Verständnisfrage: Seien   und   zwei Abbildungen von   nach  . Gilt dann  ? Wieso?

Nein, dies ist nicht der Fall. Sei zum Beispiel   und  . Dann ist nämlich

 

und

 

Hier sieht man, dass   ist. Beispielsweise ist  .

Satz (Existenz der Umkehrfunktion)

Ist   bijektiv, so gibt es eine eindeutige Funktion   mit   für alle   und   für alle  .

Beweis (Existenz der Umkehrfunktion)

Beweisschritt: Existenz

Wir definieren   für das eindeutige   mit  . Die gewünschten Identitäten folgen unmittelbar.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Sind   zwei solche Funktionen, so  .

Definition (Umkehrfunktion)

Für eine bijektive Funktion   bezeichnen wir mit   die eindeutige Funktion   aus obigem Satz. Diese Funktion nennen wir die Umkehrfunktion von  .