Abbildung, Funktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Abbildung, Funktion

Einführung des Begriffs der Funktion. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Ein zentrales Konzept der Mathematik ist die Abbildung, die auch Funktion genannt wird. Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen $A$ und $B$. Dies bedeutet, dass jedem Element $x\in A$ durch die Abbildung $f$ genau ein Element $f(x)\in B$ zugeordnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die Quadratfunktion von der Menge $\mathbb {R}$ in die Menge $\mathbb {R}$, die jeder reellen Zahl $x\in \mathbb {R}$ ihre Quadratzahl $x^{2}\in \mathbb {R}$ zuordnet. Die Schreibweise für Abbildungen von $A$ nach $B$ ist:

$f:A\rightarrow B:x\mapsto f(x)$

Ausgesprochen wird dieser Ausdruck so:

$\underbrace {f{\color {white}|}} _{{\text{Abbildung }}f}:\underbrace {A\rightarrow B{\color {white}|}} _{{\text{aus }}A{\text{ nach }}B,}:\underbrace {x\mapsto f(x){\color {white}|}} _{{\text{die }}x{\text{ auf }}f(x){\text{ abbildet}}}$

Die Menge $A$ heißt Definitionsbereich von $f$ und $B$ ist die Zielmenge der Abbildung. Die Elemente aus dem Definitionsbereich von $f$ werden Argument genannt und jedes durch die Abbildung getroffene Element $f(x)\in B$ heißt Funktionswert zum Argument $x$.

$f:\overbrace {A{\color {white}|}} ^{\text{Definitionsbereich}}\rightarrow \overbrace {B{\color {white}|}} ^{\text{Zielmenge}}:\overbrace {x{\color {white}|}} ^{\text{Argument}}\mapsto \overbrace {f(x){\color {white}|}} ^{\text{Funktionswert}}$

Hinweis

Die Begriffe „Abbildung“ und „Funktion“ sind beide in der Mathematik üblich und bedeuten genau dasselbe.

In der Zielmenge $B$ müssen nicht alle Elemente Funktionswerte sein.

Beispiel (Rest bei Division mit 2)

$f:\{1,2,3,4\}\rightarrow \{0,1,2\}:x\mapsto x{\bmod {2}}$

Hier besteht der Definitionsbereich $A:=\{1,2,3,4\}$ aus vier Elementen. Die Zielmenge ist $B:=\{0,1,2\}$. $0$ und $1$ sind Funktionswerte. Die Zahl $2$ dagegen nicht, denn keine Zahl ergibt bei Division durch $2$ den Rest $2$. Also sind nicht alle Elemente in $B$ Funktionswerte.

Die Pfeile geben die Zuordnung wider: sie gehen vom Argument zum Funktionswert und verbinden so ein Paar. Wir können daher die Zuordnung $f$ als eine Menge von Paaren aus Argument und Funktionswert beschreiben: $f:=\{(1,1),(2,0),(3,1),(4,0)\}$. Mengen von Paaren haben wir bereits im Kapitel Relation kennengelernt. Abbildungen sind also Relationen! Aber nicht jede Relation ist eine Abbildung. Damit eine Relation eine Abbildung ist, muss jedes Element in $A$ in Relation mit genau einem Element in $B$ sein

Fassen wir noch einmal zusammen, was eine Funktion ausmacht: Die Paare $(x,f(x))$ bilden eine Relation $\{(x,y)\in A\times B\,|\,f(x)=y\}\subseteq A\times B$. Diese Relation hat eine spezielle Eigenschaft: zu jedem Element $x$ gibt es genau ein Element $y$ mit $(x,y)\in f$. Im Pfeildiagramm erkennst du dies daran, dass von jedem Element des Definitionsbereichs $A$ genau ein Pfeil ausgeht. Im Koordinatensystem muss es zu jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert geben.

Die quadratische Funktion $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}$

Wir definieren daher Abbildungen als eine Relationen mit der oben genannten Eigenschaft:

Definition (Abbildung, Funktion)

Eine Abbildung oder Funktion $f:A\rightarrow B$ aus der Menge $A$ in die Menge $B$ ist eine Relation $f\subseteq A\times B$ mit folgender Eigenschaft:

• zu jedem Element $x\in A$ gibt es genau ein Element $y\in B$ mit $(x,y)\in f$.

Dieses eindeutige Element wird mit $f(x)$ bezeichnet und Funktionswert von $x$ genannt. $A$ ist der Definitionsbereich, $B$ ist die Zielmenge der Funktion. Die Zuordnung $x\mapsto f(x)$ kann zusätzlich angegeben werden: $f:A\rightarrow B:x\mapsto f(x)$ oder auch so $f:A\mapsto B:f(x)=\dots$.

Beispiel (Quadratfunktion)

Jeder reellen Zahl wird ihr Quadrat zugeordnet:

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}$

Funktionen werden häufig im Koordinatensystem veranschaulicht, wie in der Darstellung der Funktion rechts. Dabei werden die Paare $(x,f(x))$ als Koordinaten aufgefasst. Diese Punktemenge wird dann als Graph der Funktion bezeichnet.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Pfeildiagramme stellen Abbildungen aus der Menge $X$ in die Menge $Y$ dar?

• 
  Pfeildiagramm 1
• 
  Pfeildiagramm 2
• 
  Pfeildiagramm 3
• 
  Pfeildiagramm 4

Antwort:

• Pfeildiagramm 1: Abbildung
• Pfeildiagramm 2: partielle Abbildung (dem Objekt $1\in X$ wird kein Element aus $Y$ zugeordnet)
• Pfeildiagramm 3: keine Abbildung (dem Element $3\in X$ werden mehrere Elemente aus $Y$ zugeordnet und dem Objekt $4\in X$ wird kein Element aus $Y$ zugeordnet)
• Pfeildiagramm 4: Abbildung

Definitions- und Wertebereich

Ist $f:A\rightarrow B$ eine Funktion von $A$ nach $B$, so ist ${\mathsf {Db}}(f)=A$ der Definitionsbereich ${\mathsf {Db}}$ von $f$

Der Wertebereich ${\mathsf {Wb}}$ einer Funktion ist als die Menge der Funktionswerte definiert:

Definition (Wertebereich einer Funktion)

$f:A\rightarrow B$ sei eine Funktion. Dann ist der Wertebereich von $f$ die Menge aller Elemente für die es ein Argument gibt, formalisiert:

${\mathsf {Wb}}(f):=\{y\in B\,|\,\exists x\in A:f(x)=y\}$

Es gilt ${\mathsf {Wb}}(f)\subseteq B$.

Einschränkung einer Funktion

Definition (Einschränkung einer Funktion)

Sei $f:A\rightarrow B$ eine Funktion und $C\subseteq A$ eine Teilmenge von $A$. Dann ist die Einschränkung von $f$ auf $C$ die Funktion, die auf $C$ mit $f$ übereinstimmt:

$f\upharpoonright C:=\{(x,y)\in A\times B\,|\,x\in C\land y=f(x)\}$

Für die eingeschränkte Funktion gilt: $f\upharpoonright C:C\rightarrow B$.

$f\upharpoonright C:C\rightarrow B$ ist tatsächlich eine Funktion.

Gleichheit von Abbildungen

Es ist nicht sofort klar, wann zwei Abbildungen gleich sind. Ähnlich wie bei Mengen müssen wir definieren, wann zwei Abbildungen gleich sind.

Definition (Gleichheit von Abbildungen)

Zwei Abbildungen $f:A\to B$ und $g:C\to D$ sind gleich, wenn $A=C$, $B=D$ und für alle $x\in A$ gilt $f(x)=g(x)$.

Sind zwei Funktionen gleich, so sind auch die Definitionsbereiche und die Wertebereiche gleich. Bei der Gleichheit kommt es nicht darauf an, ob die Zuordnungsvorschriften $x\mapsto f(x)$ und $x\mapsto g(x)$ gleich formuliert sind!

Beispiel

Die folgenden Funktionen sind gleich:

1. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}$
2. $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto +{\sqrt {x^{4}}}$

Bild und Urbild

Zwei wesentliche Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen ist der Begriff des Bildes und der Begriff des Urbilds:

Definition (Bild)

Sei $f:A\rightarrow B$ eine Funktion und $C\subset A$ eine Teilmenge. Das Bild $f(C)$ ist die Menge aller Funktionswerte $f(x)$ mit $x\in C$:

$f(C):=\{f(x)\in B\,|\,x\in C\}=\{y\in B\,|\,\exists x\in C:y=f(x)\}$

Notation: Es ist üblich, sowohl für den Funktionswert $f(x)$ eines Elementes $x\in D$, als auch für das Bild $f(A)$ einer Teilmenge $A\subseteq D$ die gleiche Schreibweise zu verwenden, nämlich $f(\dotsc )$ mit runden Klammern. Aus dem Zusammenhang muss dann klar werden, was jeweils gemeint ist. Einige Autor*innen verwenden daher für das Bild einer Teilmenge $A\subseteq D$ eckige Klammern: $f[A]$.

Bild und Urbild

Beispiel (Bild)

Sei $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}$. Es ist

• $f(\{1,2\})=\{1,4\}$
• $f(\{-3,-6,2\})=\{9,36,4\}$
• $f(\{-5,5\})=\{25\}$

Definition (Urbild)

Das Urbild $f^{-1}(D)$ einer Abbildung $f:A\to B$ und einer Menge $D\subseteq B$ ist die Menge aller Argumente $x\in A$, die durch $f$ in die Menge $D$ abgebildet werden:

$f^{-1}(D):=\{x\in A\,|\,f(x)\in D\}$

Beachte, dass $B$ auch Elemente enthalten kann, die durch $f$ nicht getroffen werden. Betrachte dazu die Abbildung auf der rechten Skizze. Die Zahl $3$ wird nicht getroffen und die Zahl $4$ besitzt als Funktionswert nur das Argument $6$. Dementsprechend gilt für das Urbild $f^{-1}(\{3,4\})=\{6\}$.

Beispiel (Urbild)

Sei $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}$. Es ist

• $f^{-1}(\{1,2,\,-4,\,-36\})=\{1,\,-1,\,{\sqrt {2}},\,-{\sqrt {2}}\}$
• $f^{-1}(\{0,\,-1\})=\{0\}$
• $f^{-1}(\{25\})=\{5,\,-5\}$

Warnung

Es besteht Verwechslungsgefahr zwischen dem Urbild $f^{-1}(B)$, der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und dem multiplikativen Inversen $f(x)^{-1}={\tfrac {1}{f(x)}}$.

Aufgabe

Sei

• $f:\mathbb {R} \setminus \{2\}\rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}$
• $g:\{-1,\,0,\,1\}\rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto |x|$
• $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto |x|$

Bestimme folgende Bilder und Urbilder (beachte die unterschiedlichen Definitions- und Zielmengen der Abbildungen!):

1. $f\left(\mathbb {R} \setminus \{2\}\right)$
2. $g\left(\{-1,\,1\}\right)$
3. $h\left(\mathbb {Z} \right)$
4. $f\left(\emptyset \right)$
5. $f^{-1}\left(\{4,\,6\}\right)$
6. $g^{-1}\left([0,5]\right)$
7. $h^{-1}\left([0,5]\right)$
8. $f^{-1}(\emptyset )$

Lösung

1. Da $\mathbb {R} \setminus \{2\}$ der gesamte Definitionsbereich von $f$ ist, müssen hier alle Funktionswerte bestimmt werden, die durch $f$ getroffen werden. Generell ist das Ergebnis der (reellwertigen) Quadratfunktion stets nicht negativ. Also ist das Bild eine Teilmenge von $\mathbb {R} _{0}^{+}$.

   Nun kann man auch zeigen, dass alle nicht-negativen Zahlen durch $f$ getroffen werden.

   Sei hierfür $y\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ eine nicht negative Zahl. Es ist dann stets $x=-{\sqrt {y}}$ im Definitionsbereich $\mathbb {R} \setminus \{2\}$ von $f$ enthalten. Da $f(x)=\left(-{\sqrt {y}}\right)^{2}=y$ ist, gibt es ein Argument, welches von $f$ auf $y$ abgebildet wird. Also gilt $f\left(\mathbb {R} \setminus \{2\}\right)=\mathbb {R} _{0}^{+}$.

2. Wir müssen nur die Funktionswerte von $1$ und $-1$ überprüfen. Es ist $g(1)=|1|=1$ und $g(-1)=|-1|=1$.

   Damit wird nur $1$ getroffen und es gilt $g\left(\{-1,\,1\}\right)=\{1\}$.

3. Wenn wir alle Beträge der ganzen Zahlen bilden, erhalten wir die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der Null, deshalb gilt: $h\left(\mathbb {Z} \right)=\mathbb {N} _{0}$

4. Wir nutzen die Definition des Bildes $f\left(\emptyset \right)=\{y\in \mathbb {R} \setminus \{2\}\,|\,\exists x\in \emptyset :y=f(x)\}$. Da die Aussage $\exists x\in \emptyset :y=f(x)$ immer falsch ist, folgt $f(\emptyset )=\emptyset$.

5. Bei der Quadratfunktion wird sowohl ${\sqrt {6}}$ als auch $-{\sqrt {6}}$ auf $6$ abgebildet. Es ist nämlich sowohl $f\left({\sqrt {6}}\right)=\left({\sqrt {6}}\right)^{2}=6$ sowie $f\left(-{\sqrt {6}}\right)=\left(-{\sqrt {6}}\right)^{2}=6$. Da beide Zahlen ${\sqrt {6}}$ und $-{\sqrt {6}}$ im Defintionsbereich von $f$ sind, sind beide Zahlen im Urbild enthalten.

   Nun suchen wir alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{2\}$ mit $f(x)=4$, also $x^{2}=4$. Da $x$ nicht $2$ sein darf, bleibt nur die Möglichkeit $x=-2$ übrig.

   Damit ist $f^{-1}\left(\{4,\,6\}\right)=\{-2,\,{\sqrt {6}},\,-{\sqrt {6}}\}$ das gesuchte Urbild.

6. Der Definitionsbereich von $g$ besteht nur aus der Menge $\{-1,\,0,\,1\}$. Diese Zahlen werden durch den Betrag auf die Menge $\{0,1\}$ abgebildet. Da die Menge $\{0,1\}$ in $[0,5]$ enthalten, ist der komplette Definitionsbereich das gesuchte Urbild, also $g^{-1}\left([0,5]\right)=\{-1,\,0,\,1\}$

7. Bei der Betragsfunktion wird für ein beliebiges nicht-negatives $x\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ sowohl $x$ als auch $-x$ auf $x$ abgebildet. Damit ist das Urbild von $h^{-1}\left([0,5]\right)=[-5,5]$.

8. Wir benutzen die Definition des Urbilds: $f^{-1}\left(\emptyset \right)=\{x\in \mathbb {R} \setminus \{2\}\,|\,f(x)\in \emptyset \}$. Die Aussage $f(x)\in \emptyset$ ist für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{2\}$ falsch. Somit folgt $f^{-1}(\emptyset )=\emptyset$.

Eigenschaften von Abbildungen

$f$ sei eine Funktion von der Menge $X$ in die Menge $Y$. Es gelte also: $f:X\rightarrow Y$.

Injektiv

Beispiel Injektivität

Erklärung von Injektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Bildung der Umkehrfunktion

Wenn eine Funktion verschiedene Argumente stets auf verschiedene Funktionswerte abbildet, wird sie injektiv genannt. Im Pfeildiagramm injektiver Funktionen treffen niemals zwei Pfeilspitzen auf denselben Funktionswert.

Definition (Injektiv)

Eine Funktion ist injektiv, wenn sie verschiedene Argumente auf verschiedene Werte abbildet:

$f{\text{ ist injektiv }}:\iff \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Zum Nachweis der Injektivität wird häufig die Kontraposition verwendet: $\forall x_{1},x_{2}\in X:f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.

Beispiel (Injektiv)

• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ;x\mapsto x^{2}$ ist nicht injektiv, denn alle Werte bis auf $0$ werden zweimal getroffen. Es gilt ja beispielsweise $2^{2}=(-2)^{2}$.
• $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ;x\mapsto x^{3}$ ist injektiv, denn aus $x^{3}=y^{3}$ folgt $x=y$.

Surjektiv

Beispiel Surjektivität

Eine Funktion $f$ ist surjektiv, wenn alle Elemente von $Y$ von der Funktion getroffen werden. Anders ausgedrückt: zu jedem Element $y\in Y$ gibt es ein Argument $x\in X$, mit $f(x)=y$.

Definition (Surjektiv)

Eine Funktion ist surjektiv, wenn alle Elemente von $Y$ getroffen werden:

$f{\text{ ist surjektiv}}:\iff \forall y\in Y\,\exists x\in X:y=f(x)$

Erklärung von Surjektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Beispiel (Surjektiv)

• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+};x\mapsto x^{2}$ ist surjektiv, denn für ein beliebiges $y\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ ist $f({\sqrt {y}})=y$.
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ;x\mapsto x^{2}$ ist nicht surjektiv, denn die Quadratfunktion auf $\mathbb {R}$ wird niemals negativ.

Verständnisaufgabe: Ist $f\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} _{0}^{+};x\mapsto x^{2}$ surjektiv?

Nein, da weder ${\sqrt {2}}$ noch $-{\sqrt {2}}$ in $\mathbb {Q}$ liegen. Das heißt $2$ liegt nicht im Bild von $f$.

Satz (Surjektivität)

$f{\text{ ist surjektiv }}\iff Y={\mathsf {Wb}}(f)$.

Beweis (Surjektivität)

Die Behauptung folgt mit der Definition des Wertebereichs: der umfasst alle Werte, die getroffen werden.

Bijektiv

Beispiel Bijektivität

Eine Funktion $f\colon X\to Y$ kann sowohl injektiv als auch surjektiv sein. Man nennt diese Eigenschaft bijektiv. Im Pfeildiagramm ist dann jedes Element von $X$ mit genau einem Element von $Y$ verbunden. Mit Hilfe von bijektiven Funktionen können Mengen hinsichtlich ihre Größe verglichen werden: gibt es eine Bijektion von $X$ auf $Y$, so haben die beiden Mengen $X$ und $Y$ gleichviele Elemente. Wir werden den Größenvergleich zwischen Mengen im Kapitel Mächtigkeit von Mengen ausführlich behandeln.

Definition (Bijektiv)

Eine Funktion ist bijektiv von $X$ auf $Y$, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Das heißt, jedem Element von $X$ wird genau ein Element von $Y$ zugeordnet:

$f\colon X\to Y{\text{ ist bijektiv }}:\iff \forall y\in Y\,\exists !x\in X:f(x)=y$

Erklärung von Bijektivität bei Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Beispiel (Bijektiv)

1. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;x\mapsto 2x+1$ ist bijektiv.
2. $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;x\mapsto x^{3}$ ist bijektiv.
3. $h:\mathbb {R} \to [-1,1];x\mapsto \sin(x)$ ist nicht bijektiv.

• 
  f : Gerade
• 
  g : Parabel 3. Grades
• 
  h : Sinuskurve

Beweis

1. Im Koordinatenkreuz ist diese Funktion eine Gerade mit Steigung $2$ und um eine Einheit nach oben verschoben. Wir zeigen die Injektivität: aus $2x+1=2y+1$ folgt $2x=2y$ und daraus $x=y$. Für die Surjektivität sei eine beliebige reelle Zahl $y$ gegeben. Dann definieren wir das Argument $x:={\frac {y}{2}}-{\frac {1}{2}}$ und rechnen nach: $f(x)=2x+1=2\left({\frac {y}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)+1=y$. Also werden alle reellen Zahlen getroffen.
2. In gleicher Weise zeigt man die Bijektivität von $g$, das ist eine Parabel 3. Grades.
3. Der Graph von $h$ ist die Sinuskurve. Die nimmt bekanntlich alle Werte zwischen $-1$ und $1$ an. Also ist $h$ surjektiv auf dem Intervall $[-1,1]$. $h$ ist aber nicht injektiv, denn $h$ ist periodisch, das heißt, diese Werte werden immer wieder angenommen.

Funktionskomposition

Die Funktionskomposition

Seien zwei Abbildungen $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ gegeben. Dann können wir die beiden Funktionen nacheinander ausführen. Wir bilden zunächst ein $x\in A$ mit $f$ ab und erhalten $f(x)=y\in B$. Dann können wir darauf $g$ anwenden und erhalten $g(y)=z\in C$. Insgesamt ergibt sich $g(f(x))=z$. Das führt zum Begriff der Komposition von Funktionen

Definition (Komposition von Abbildungen)

Die Komposition zweier Abbildungen $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ ist die Abbildung $g\circ f\colon A\to C;x\mapsto g(f(x))$.

Gelesen wird $g\circ f$ so: erst $f$, dann $g$ oder auch: $g$ nach $f$.

Hinweis

Beachte, dass in der Schreibweise für die Funktionskomposition $g\circ f$ diejenige Funktion, die zuerst angewandt wird, rechts steht (Hier musst du also „von rechts nach links“ lesen). Die Schreibweise $(g\circ f)(x)$ meint also, dass auf $x$ erst $f$ und danach $g$ angewandt wird. Es ist also $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Verständnisfrage: Sei $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto |x|$ und $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x-2$. Berechne

1. $(f\circ g)(3)=?$
2. $(g\circ f)(3)=?$
3. $(f\circ g)(-3)=?$
4. $(g\circ f)(-3)=?$

Antwort:

1. $(f\circ g)(3)=|3-2|=1$
2. $(g\circ f)(3)=|3|-2=1$
3. $(f\circ g)(-3)=|-3-2|=5$
4. $(g\circ f)(-3)=|-3|-2=1$

Verständnisfrage: Seien $f$ und $g$ zwei Abbildungen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Gilt dann $f\circ g=g\circ f$? Wieso?

Nein, dies ist nicht der Fall. Sei zum Beispiel $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}$ und $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto x+1$. Dann ist nämlich

$f\circ g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto (x+1)^{2}$

und

$g\circ f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}+1$

Hier sieht man, dass $f\circ g\neq g\circ f$ ist. Beispielsweise ist $(f\circ g)(1)=(1+1)^{2}=4\neq 2=1^{2}+1=(g\circ f)(1)$.

Satz (Existenz der Umkehrfunktion)

Ist $f\colon A\to B$ bijektiv, so gibt es eine eindeutige Funktion $g\colon B\to A$ mit $g(f(x))=x$ für alle $x\in A$ und $f(g(y))=y$ für alle $y\in B$.

Beweis (Existenz der Umkehrfunktion)

Beweisschritt: Existenz

Wir definieren $g(y)=x$ für das eindeutige $x\in A$ mit $f(x)=y$. Die gewünschten Identitäten folgen unmittelbar.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Sind $g_{1},g_{2}\colon B\to A$ zwei solche Funktionen, so $g_{1}(y)=g_{1}(f(g_{2}(y)))=g_{2}(y)$.

Definition (Umkehrfunktion)

Für eine bijektive Funktion $f\colon A\to B$ bezeichnen wir mit $f^{-1}$ die eindeutige Funktion $g$ aus obigem Satz. Diese Funktion nennen wir die Umkehrfunktion von $f$.

Aufgaben

Aufgabe (Komposition surjektiver Abbildungen)

Seien $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ zwei Abbildungen. Seien $f$ und $g$ surjektiv. Zeige, dass $g\circ f$ surjektiv ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Komposition surjektiver Abbildungen)

Da $f:A\to B$ und $g:B\to C$ sind, dann ist $g\circ f:A\to C$ mit $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ für alle $a\in A$ (Nach Definition von Funktionskomposition).

Wir müssen überprüfen, dass alle Elemente $c\in C$ durch $g\circ f$ getroffen werden:

Wir suchen für alle $c\in C$ ein Element $a\in A$ mit $c=(g\circ f)(a)$.

Da $g$ surjektiv ist, gibt es für alle $c\in C$ ein Element $b\in B$ mit $c=g(b)$.

Da $f$ surjektiv ist, gibt es für alle $b\in B$ ein Element $a\in A$ mit $f(a)=b$.

Nun kann man zeigen, dass für alle $c\in C$ gilt: $c=g(b)=g(f(a))=(g\circ f)(a)$

Also ist die Funktion $g\circ f$ surjektiv.

Lösung (Komposition surjektiver Abbildungen)

$f:A\to B$ ist surjektiv $\iff (\forall b\in B\exists a\in A;f(a)=b)...(*)$

$g:B\to C$ ist surjektiv $\iff (\forall c\in C\exists b\in B;g(b)=c)...(**)$

Aus(*) und (**) gilt: $\forall c\in C:c=g(b)=g(f(a))=(g\circ f)(a);g\circ f:A\to C;a\mapsto g(f(a))$

Dann für alle $c\in C$ gibt es $a\in A$ mit $(g\circ f)(a)=c$ .Also ist $g\circ f$ surjektiv.

Aufgabe (Komposition injektiver Abbildungen)

Seien $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ zwei Abbildungen. Seien $f$ und $g$ injektiv. Zeige, dass $g\circ f$ injektiv ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Komposition injektiver Abbildungen)

Da $f:A\to B$ und $g:B\to C$ sind, dann ist $g\circ f:A\to C$ mit $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ für alle $a\in A$ (Nach Definition von Funktionskomposition).

Wir müssen überprüfen, dass für alle zwei Elemente $a_{1},a_{2}\in A$ mit $(g\circ f)(a_{1})=(g\circ f)(a_{2})$ gilt $a_{1}=a_{2}$:

$g$ ist injektiv, dann für alle zwei Elemente $b_{1},b_{2}\in B$ mit $g(b_{1})=g(b_{2})$ gilt $b_{1}=b_{2}$.

$f$ ist injektiv, dann für alle zwei Elemente $a_{1},a_{2}\in A$ mit $f(a_{1})=f(a_{2})$ gilt $a_{1}=a_{2}$.

Nun kann man zeigen, dass für alle zwei Elemente $a_{1},a_{2}\in A$ gilt: $(g\circ f)(a_{1})=(g\circ f)(a_{2})\implies g(f(a_{1}))=g(f(a_{2}))\implies f(a_{1})=f(a_{2})\implies a_{1}=a_{2}$

Also ist die Funktion $g\circ f$ injektiv.

Lösung (Komposition injektiver Abbildungen)

$f:A\to B$ ist injektiv $\iff (\forall a_{1},a_{2}\in A:f(a_{1})=f(a_{2})\implies a_{1}=a_{2}$) ...(*)

$g:B\to C$ ist injektiv $\iff (\forall b_{1},b_{2}\in B:g(b_{1})=g(b_{2})\implies b_{1}=b_{2}$) ...(**)

Aus(*) und (**) gilt: $\forall a_{1},a_{2}\in A:(g\circ f)(a_{1})=(g\circ f)(a_{2})\implies g(f(a_{1}))=g(f(a_{2}))\implies f(a_{1})=f(a_{2})\implies a_{1}=a_{2}$.

Dann für alle $a_{1},a_{2}\in A$ gilt: $((g\circ f)(a_{1})=(g\circ f)(a_{2})\implies a_{1}=a_{2})$.

Also ist die Funktion $g\circ f$ injektiv.

Aufgabe

Seien $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ zwei Abbildungen. Wenn $g$ und $g\circ f$ surjektiv sind, folgt daraus, dass $f$ surjektiv ist? Begründe deine Antwort.

Lösung

Wenn wir zeigen wollen, dass eine Funktion nicht surjektiv ist, reicht es ein einziges Gegenbeispiel zu finden. Seien die drei Mengen $A:=\{a\},B:=\{b,c\},C:=\{d\}$ mit $f(a)=b,g(b)=d,g(c)=d$. Die formale Definition für Funktionskomposition $g\circ f$ lautet $g\circ f\colon A\to C$ mit $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ für alle $x\in A$. dann in unserem Gegenbeispiel haben wir $(g\circ f)(a)=d$. Beachte, dass die Funktionen $g$ und $g\circ f$ surjektiv sind, weil alle Elemente von $C$ durch $g$ und $g\circ f$ getroffen werden. Aber die Funktion $f$ ist nicht surjektiv, denn es gibt eine Element $c\in B$, die nicht Funktionswert durch $f$ ist. Es gilt, dass $f$ nicht unbedingt surjektiv ist.

Aufgabe

Seien $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ zwei Abbildungen. Wenn $g\circ f$ injektiv ist, folgt daraus, dass $f$ injektiv ist? Begründe deine Antwort.

Lösung

Die Antwort ist ja, was wir im Folgenden beweisen werden. Seien $x_{1},x_{2}\in A$, wobei $f(x_{1})=f(x_{2})$. Wir zeigen, dass $x_{1}=x_{2}$. Weil $f(x_{1})=f(x_{2})$, gilt

$(g\circ f)(x_{1})=g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))=(g\circ f)(x_{2}).$

Da $g\circ f$ injektiv ist, folgt aus der Definition, dass $x_{1}=x_{2}$. Somit ist $f$ injektiv.