Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Disjunkte MengenBearbeiten

Erklärung und BeispieleBearbeiten

Disjunkte Mengen – Erklärung und Definition (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Zwei Mengen   und  , die keine gemeinsamen Elemente besitzen, nennt man disjunkt. Für disjunkte Mengen gibt es auch die Bezeichnungen elementfremd oder durchschnittsfremd. Das Wort „disjunkt“ leitet sich dabei vom lateinischen Wort „disiunctum“ ab, was soviel wie „getrennt“ bedeutet. Nehme als Beispiel die folgenden zwei Mengen

 

Diese beiden Mengen sind nicht disjunkt, weil sie das „Klavier“ als gemeinsames Objekt besitzen. Demgegenüber sind aber die folgenden beiden Mengen disjunkt, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

 

Weitere Beispiele:

DefinitionBearbeiten

Der Schnitt   ist die Menge aller gemeinsamen Elemente von   und  . Zwei Mengen sind also genau dann disjunkt, wenn die Menge   kein Element besitzt. Eine solche Menge ohne Elemente nennt man „leere Menge“, welche als   notiert wird. Es ist also:

Definition (disjunkte Menge)

Zwei Mengen nennt man disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

 

VerständnisfragenBearbeiten

Verständnisfrage: Welche der folgenden Paare von Mengen sind disjunkt?

  1.   und  
  2.   und  
  3.   und  
  4.   und  
  5.   und  

Antwort:

  1.   und   sind nicht disjunkt, weil sie beide   als Element besitzen.
  2.   und   sind disjunkt, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.
  3.   und   sind nicht disjunkt, weil sie zum Beispiel die Zahl   als gemeinsames Element besitzen.
  4.   und   sind disjunkt, weil   ist.
  5.   und   sind nicht disjunkt, weil sie   als gemeinsames Element besitzen.

Folgende Fragen setzen voraus, dass du den Begriff der Schnittmenge und der leeren Menge schon kennst (siehe die nächsten Kapitel). Du kannst diese Fragen also gerne überspringen, wenn du diese Begriffe noch nicht kennen solltest.

Verständnisfrage: Mit welchen Mengen   ist   disjunkt?

  ist mit jeder Menge   disjunkt, weil   ist.

Verständnisfrage: Wann ist eine Menge   zu sich selbst disjunkt?

Eine Menge   ist genau dann zu sich selbst disjunkt, wenn   ist. Wegen   ist dies genau dann der Fall, wenn   ist:

 

Verständnisfrage: Nehme die zwei Mengen   und  . Unter welchen Umständen sind diese beiden Mengen disjunkt?

Diese beiden Mengen sind genau dann disjunkt, wenn   ist.

Paarweise disjunkte MengensystemeBearbeiten

Paarweise disjunkte Mengensysteme (Video vom Podcast The Wicked Mu)
 
Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems mit drei Mengen

Ein Mengensystem  , also eine Menge von Mengen, nennt man paarweise disjunkt, wenn jeweils zwei verschiedene Mengen   disjunkt sind. Egal welche zwei unterschiedlichen Mengen   und   aus   ausgewählt werden, diese beiden Mengen besitzen keine gemeinsamen Elemente. Zum Beispiel ist folgendes Mengensystem paarweise disjunkt:

Demgegenüber ist das folgende Mengensystem nicht paarweise disjunkt, weil sich die Mengen   und   überschneiden:

Wir fassen zusammen:

Definition (paarweise disjunktes Mengensystem)

Ein Mengensystem   ist paarweise disjunkt, wenn alle verschiedenen Mengen   disjunkt sind. Es gilt also:

 

Verständnisfrage: Sei   ein Mengensystem besteht aus nur einer Menge  . Ist   paarweise disjunkt?

Ja, jedes Mengensystem bestehend aus nur einem Element ist paarweise disjunkt. Es gibt keine zwei verschiedenen Mengen   und damit muss für keine Mengenpaare geprüft werden, ob sie disjunkt sind, oder nicht.

Verständnisfrage: Sei   das leere Mengensystem. Ist   paarweise disjunkt?

Ja, auch das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt. Die zu prüfende Aussage   ist eine All-Aussage über die leere Menge und damit wahr.

Verständnisfrage: Sei   ein paarweise disjunktes Mengensystem. Ist dann immer  ?

Nein. Wir haben eben erfahren, dass jedes einelementige Mengensystem paarweise disjunkt ist. Es ist also   für jede Menge   paarweise disjunkt. Sei nun   eine nicht leere Menge und  . Es ist

 

Es gibt also paarweise disjunkte Mengensysteme, deren Schnitt nicht leer ist.