Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Disjunkte Mengen

Erklärung und Beispiele

Disjunkte Mengen – Erklärung und Definition (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Zwei Mengen $A$ und $B$, die keine gemeinsamen Elemente besitzen, nennt man disjunkt. Für disjunkte Mengen gibt es auch die Bezeichnungen elementfremd oder durchschnittsfremd. Das Wort „disjunkt“ leitet sich dabei vom lateinischen Wort „disiunctum“ ab, was soviel wie „getrennt“ bedeutet. Nehme als Beispiel die folgenden zwei Mengen

${\begin{aligned}A&=\{{\text{Cello, Klavier, Geige}}\}\\B&=\{{\text{Viola, Gitarre, Klavier}}\}\end{aligned}}$

Diese beiden Mengen sind nicht disjunkt, weil sie das „Klavier“ als gemeinsames Objekt besitzen. Demgegenüber sind aber die folgenden beiden Mengen disjunkt, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

${\begin{aligned}C&=\{{\text{Cello, Trommel, Geige}}\}\\D&=\{{\text{Viola, Gitarre, Klavier}}\}\end{aligned}}$

Weitere Beispiele:

• 
  Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.
• 
  Ein weiteres Beispiel für zwei disjunkte Mengen
• 
  Disjunkte Mengen im Mengendiagramm

Definition

Der Schnitt $A\cap B$ ist die Menge aller gemeinsamen Elemente von $A$ und $B$. Zwei Mengen sind also genau dann disjunkt, wenn die Menge $A\cap B$ kein Element besitzt. Eine solche Menge ohne Elemente nennt man „leere Menge“, welche als $\varnothing$ notiert wird. Es ist also:

Definition (disjunkte Menge)

Zwei Mengen nennt man disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

$A{\text{ ist disjunkt zu }}B\iff A\cap B=\varnothing$

Verständnisfragen

Verständnisfrage: Welche der folgenden Paare von Mengen sind disjunkt?

1. $\{1,\,\pi ,\,-1\}$ und $\{2,\,77,\,-1\}$
2. $\{1,\,\pi ,\,-1\}$ und $\{2,\,77\}$
3. $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$
4. $\varnothing$ und $\varnothing$
5. $\{\varnothing \}$ und $\{\varnothing \}$

Antwort:

1. $\{1,\,\pi ,\,-1\}$ und $\{2,\,77,\,-1\}$ sind nicht disjunkt, weil sie beide $-1$ als Element besitzen.
2. $\{1,\,\pi ,\,-1\}$ und $\{2,\,77\}$ sind disjunkt, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.
3. $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$ sind nicht disjunkt, weil sie zum Beispiel die Zahl $0$ als gemeinsames Element besitzen.
4. $\varnothing$ und $\varnothing$ sind disjunkt, weil $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing$ ist.
5. $\{\varnothing \}$ und $\{\varnothing \}$ sind nicht disjunkt, weil sie $\varnothing$ als gemeinsames Element besitzen.

Folgende Fragen setzen voraus, dass du den Begriff der Schnittmenge und der leeren Menge schon kennst (siehe die nächsten Kapitel). Du kannst diese Fragen also gerne überspringen, wenn du diese Begriffe noch nicht kennen solltest.

Verständnisfrage: Mit welchen Mengen $M$ ist $\varnothing$ disjunkt?

$\varnothing$ ist mit jeder Menge $M$ disjunkt, weil $\varnothing \cap M=\varnothing$ ist.

Verständnisfrage: Wann ist eine Menge $A$ zu sich selbst disjunkt?

Eine Menge $A$ ist genau dann zu sich selbst disjunkt, wenn $A\cap A=\varnothing$ ist. Wegen $A\cap A=A$ ist dies genau dann der Fall, wenn $A=\varnothing$ ist:

$A{\text{ ist zu sich selbst disjunkt}}\iff A=\varnothing$

Verständnisfrage: Nehme die zwei Mengen $\{a\}$ und $B$. Unter welchen Umständen sind diese beiden Mengen disjunkt?

Diese beiden Mengen sind genau dann disjunkt, wenn $a\notin B$ ist.

Paarweise disjunkte Mengensysteme

Paarweise disjunkte Mengensysteme (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems mit drei Mengen

Ein Mengensystem $M$, also eine Menge von Mengen, nennt man paarweise disjunkt, wenn jeweils zwei verschiedene Mengen $A,B\in M$ disjunkt sind. Egal welche zwei unterschiedlichen Mengen $A$ und $B$ aus $M$ ausgewählt werden, diese beiden Mengen besitzen keine gemeinsamen Elemente. Zum Beispiel ist folgendes Mengensystem paarweise disjunkt:

Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems

Demgegenüber ist das folgende Mengensystem nicht paarweise disjunkt, weil sich die Mengen $D$ und $E$ überschneiden:

Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems

Wir fassen zusammen:

Definition (paarweise disjunktes Mengensystem)

Ein Mengensystem $M$ ist paarweise disjunkt, wenn alle verschiedenen Mengen $A,B\in M$ disjunkt sind. Es gilt also:

$M{\text{ ist paarweise disjunkt}}\iff \forall A,B\in M:(A\neq B\implies A\cap B=\varnothing )$

Verständnisfrage: Sei $M=\{A\}$ ein Mengensystem besteht aus nur einer Menge $A$. Ist $M$ paarweise disjunkt?

Ja, jedes Mengensystem bestehend aus nur einem Element ist paarweise disjunkt. Es gibt keine zwei verschiedenen Mengen $A,B\in M$ und damit muss für keine Mengenpaare geprüft werden, ob sie disjunkt sind, oder nicht.

Verständnisfrage: Sei $M=\varnothing$ das leere Mengensystem. Ist $M$ paarweise disjunkt?

Ja, auch das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt. Die zu prüfende Aussage $\forall A,B\in \varnothing :(A\neq B\implies A\cap B=\varnothing )$ ist eine All-Aussage über die leere Menge und damit wahr.

Verständnisfrage: Sei $M$ ein paarweise disjunktes Mengensystem. Ist dann immer $\bigcap _{I\in M}I=\varnothing$?

Nein. Wir haben eben erfahren, dass jedes einelementige Mengensystem paarweise disjunkt ist. Es ist also $\{A\}$ für jede Menge $A$ paarweise disjunkt. Sei nun $A$ eine nicht leere Menge und $M=\{A\}$. Es ist

$\bigcap _{I\in M}I=A\neq \varnothing$

Es gibt also paarweise disjunkte Mengensysteme, deren Schnitt nicht leer ist.