Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Ähnlich wie bei den Körperaxiomen beweisen wir nun erste kleinere Sätze, die direkt auf den Anordnungsaxiomen aufbauen. Insbesondere werden wir die charakteristischen Eigenschaften der Kleiner-Relation beweisen, die wir bereits im Abschnitt „Herleitung der Anordnungsaxiome“ erwähnt haben.

Übersicht zu den Folgen der AnordnungsaxiomeBearbeiten

In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass folgende Aussageformen allgemeingültig in   sind:

  • Eigenschaften der Kleiner-Relation:
    • Trichotomie:  
    • Transitivität:  
    • Translationsinvarianz:  
  • Addition / Negatives und Kleiner-Relation:
    •  
    •  
  • Multiplikation und Kleiner-Relation:
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
  • Inverses und Kleiner-Relation:
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
  • Bernoulli-Ungleichung:
    •  

Die Bernoulli-Ungleichung   werden wir im Kapitel zur „Bernoulli-Ungleichung“ beweisen.

Eigenschaften der Kleiner-RelationBearbeiten

TrichotomieBearbeiten

Satz (Trichotomie der Kleiner-Relation)

Für alle reellen Zahlen   und   ist entweder  ,   oder  . Es gilt also:

 

Beweis (Trichotomie der Kleiner-Relation)

Mit Hilfe der Äquivalenz   können wir die zu beweisende Aussage

 

umformen zu

 

Für gegebene   und   müssen wir also beweisen, dass  . Durch das Setzen von   erhalten wir die zu beweisende Aussage

 

Dies ist aber gerade die Trichotomie der Positivität, welche wir in den Anordnungsaxiomen gegeben haben und damit wahr ist. Insgesamt haben wir so den Satz bewiesen.

TransitivitätBearbeiten

Satz (Transitivität der Kleiner-Relation)

Für alle  ,   und   gilt

 

Die Transitivitätseigenschaft der Kleiner-Relation rechtfertigt es, Ungleichungsketten wie

 

zu schreiben. Wegen der Transitivität folgt dann nämlich auch  .

Beweis (Transitivität der Kleiner-Relation)

Sei   und  . Nach Definition der Kleiner-Relation gilt damit   und  . Wegen der Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich der Addition ist damit auch

 

Damit ist aber auch   nach Definition der Kleiner Relation.

TranslationsinvarianzBearbeiten

 
Translationsinvarianz der Kleiner-Relation.

Satz (Translationsinvarianz der Kleiner-Relation)

Für alle reellen Zahlen  ,   und   ist

 

Beweis (Translationsinvarianz der Kleiner-Relation)

Es ist

 

Addition / Negatives und Kleiner-RelationBearbeiten

Monotonie der AdditionBearbeiten

Satz (Monotonie der Addition)

Aus   und   folgt  .

Beweis (Monotonie der Addition)

Aus   folgt wegen der Translationsinvarianz der Kleiner-Relation  . Aus   folgt analog  . Es ist also  . Aus der Transitivität folgt nun  .

Alternativer Beweis (Monotonie der Addition)

Aus   und   folgt aus der Definition der Kleiner-Relation   und  . Nun sind nach den Anordnungsaxiomen die positiven Zahlen abgeschlossen bezüglich der Addition. Aus   und   folgt damit  . Nun wenden wir nochmals (allerdings in umgekehrter Richtung) die Definition der Kleiner-Relation an, so dass aus   die Ungleichung   folgt. Damit ist der Satz bewiesen.

Spiegelung bei Bildung des NegativenBearbeiten

Satz (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Es ist genau dann  , wenn   ist.

Beweis (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

 

Alternativer Beweis (Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Sei  . Es ist

 

Multiplikation und Kleiner-RelationBearbeiten

Multiplikation mit positiver ZahlBearbeiten

Satz (Multiplikation mit positiver Zahl)

Ist   und  , dann ist auch  .

Die Multiplikation mit einer positiven Zahl erhält also die Ungleichungsrelation.

Beweis (Multiplikation mit positiver Zahl)

Aus der Definition der Kleiner-Relation folgt aus   die Ungleichung  . Weil die Mulitplikation bezüglich der Positivität abgeschlossen und   ist, ist auch  . Also  . Daraus folgt nach der Definition der Kleiner-Relation  .

Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen ZahlenBearbeiten

Satz (Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen)

Aus   und   folgt  .

Beweis (Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen)

Fall 1:   oder  

In diesem Fall ist  . Es muss also bewiesen werden, dass   ist. Jedoch ist nach Voraussetzung   und  .   folgt nun aus der Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich der Multiplikation, welche in den Anordnungsaxiomen definiert wurde.

Fall 2:   und  

Wegen   und   ist nach dem vergangenem Satz  . Gleichzeitig folgt aus   und   analog  . Ingesamt haben wir   und damit insgesamt  .

Multiplikation mit negativer ZahlBearbeiten

Satz (Multiplikation mit negativer Zahl)

Aus   und   folgt  .

Beweis (Multiplikation mit negativer Zahl)

Nach dem Satz über die Spiegelung folgt aus  , dass   ist. Nach dem Satz zur Multiplikation mit positiven Zahlen ist dann  . Nun können wir wieder den Satz zur Spiegelung anwenden und erhalten   und damit  , weil   ist.

Produkte mit negativen Faktoren sind positivBearbeiten

Satz (Produkte mit negativen Faktoren sind positiv)

Aus   und   folgt  .

Beweis (Produkte mit negativen Faktoren sind positiv)

Nach dem Satz „Multiplikation mit negativer Zahl“ folgt aus   und  , dass   ist. Es ist also  .

Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positivBearbeiten

Satz (Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv)

Alle Quadrate   für Zahlen   sind positiv.

Zusammen mit   folgt aus dem obigen Satz direkt, dass Quadratzahlen nicht negativ sind. Da wir im Kapitel „Folgerungen aus den Körperaxiomen“ bewiesen haben, dass ein Produkt von reellen Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, gilt zusätzlich die Äquivalenz  . Damit und aus dem obigen Satz folgt die Äquivalenz  .

Außerdem kann mit diesem Satz bewiesen werden, dass   eine positive Zahl ist. Es ist nämlich   und damit ist   eine Quadratzahl. Nach den Körperaxiomen ist   und damit folgt aus obigem Satz, dass   eine positive Zahl sein muss.

Beweis (Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv)

Fall 1:  

Aus dem Satz zur Multiplikation mit positiven Zahlen folgt aus  , dass  , also   ist.

Fall 2:  

Mit   folgt aus dem Satz zur Multiplikation mit negativen Zahlen, dass   ist und damit  .

Inverses und Kleiner-RelationBearbeiten

Inverse haben gleiches VorzeichenBearbeiten

Satz (Inverse positiver Zahlen sind positiv)

Es ist genau dann  , wenn  .

Beweis (Inverse positiver Zahlen sind positiv)

Fall 1:  

Wegen   ist   und damit   positiv, weil wir bereits gezeigt haben, dass Quadrate von Zahlen ungleich 0 positiv sind. Es folgt damit nach dem Satz zur Multiplikation mit positiver Zahlen, dass   ist. Nun ist   und   und damit  .

Fall 2:  

Aus dem ersten Fall folgt aus  , dass   ist. Wegen   ist somit  .

Satz (Inverse negativer Zahlen sind negativ)

Es ist genau dann  , wenn   ist.

Beweis (Inverse negativer Zahlen sind negativ)

Sei   eine negative Zahl, also  . Aus der eben bewiesenen Äquivalenz   wissen wir, dass   nicht positiv sein kann (sonst müsste ja   auch positiv sein).   ist aber auch nicht 0, weil sonst   wäre. Also muss   negativ sein aufgrund der Trichotomie der Kleiner-Relation. Analog kann man von der Negativität von   auf die Negativität von   schließen.

Kleiner-Relation und InversenbildungBearbeiten

Satz (Kleiner-Relation und Inversenbildung)

Für alle   gilt:

  •  .
  •  .
  •  .

Beweis (Kleiner-Relation und Inversenbildung)

Beweisschritt 1:  

Wegen   gilt sowohl   als auch   (Transitivität der Kleiner-Relation). Da sowohl   als auch   positiv sind, ist auch ihr Produkt positiv (Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich Multiplikation). Es gilt also:  . Somit gilt aber auch:  (Inverse haben gleiches Vorzeichen). Aus dem Satz zur Multiplikation mit einer positiven Zahl folgt nun:  . Wegen   und   ist deshalb  . Da außerdem Inverse stets dieselben Vorzeichen haben (Siehe Beweis zum Satz  ), ist  .

Beweisschritt 2:  

Sei  . Nach dem ersten Beweisschritt ist damit  . Da   und   ist, ist damit  .

Beweisschritt 3:  

Sei  . Aus der Transitivität der Kleiner-Relation folgt, dass sowohl   als auch   ist. Aus dem Satz „Produkte mit negativen Faktoren sind positiv“ folgt, dass ihr Produkt positiv ist. Es gilt also:  . Somit ist auch:   (Inverse haben gleiches Vorzeichen).

Aus dem Satz zur Multiplikation mit einer positiven Zahl folgt nun aus   und  , dass  . Wegen   und   ist deshalb  . Da   und   negativ sind (Inverse haben gleiches Vorzeichen), ist damit  .

Beweisschritt 4:  

Sei  . Aus dem dritten Beweisschritt folgt  . Mit   und   folgt  .

Beweisschritt 5:  

In diesem Fall findet hingegen keine Umkehrung der Kleiner-Relation. Der Grund dafür ist, dass   und   ungleiches Vorzeichen haben.   wird nämlich als negativ vorausgesetzt und   als positiv. Da Inverse, wie bereits bewiesen, ihr Vorzeichen beibehalten, gilt   und  . Aus der Transitivität der Kleiner-Relation folgt somit, dass   ist. Insgesamt folgt also:  

Beweisschritt 6:  

Dies folgt aus dem fünften Beweisschritt. Nach diesem gilt  . Mit   und   folgt die zu zeigende Aussage.