Folgerungen aus den Körperaxiomen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel untersuchen wir die Eigenschaften, die direkt aus den Körperaxiomen hergeleitet werden können.

Vorbetrachtung

Folgerungen aus den Körperaxiomen, die ich dir in diesem Kapitel zeigen werde, sind dir bereits aus der Schulzeit bekannt. Vielen Studienanfängern bereitet aber gerade dies Schwierigkeiten, da ihnen diese Sätze selbstverständlich erscheinen (Wozu soll man etwas beweisen, was einem schon aus der Grundschule bekannt ist?!).

Um diesen Schwierigkeiten aus dem Weg zu gehen, kannst du dir einmal vorstellen, dass du nichts über die reellen Zahlen weißt. Stell dir vor, du hättest noch nie in deinem Leben gerechnet und wüsstest auch nicht, was Zahlen sind. Nun kommt jemand und möchte dir die „reellen Zahlen“ erklären. Dabei beginnt er seine Erklärung mit den Körperaxiomen. Was weißt du nun über die reellen Zahlen?

Nun, du weißt, dass es (mindestens) zwei Arten gibt, wie du reelle Zahlen miteinander verknüpfen kannst. Sprich: Mit der Addition und der Multiplikation gibt es (mindestens) zwei Operationen für die reellen Zahlen. Jedoch wird dir in den Körperaxiomen nicht erklärt, wie du die beiden Operationen konkret ausführen kannst. Du weißt zwar, dass man $2+4$ oder $2\cdot 4$ rechnen kann, du weißt aber (noch) nicht, dass $2+4=6$ und $2\cdot 4=8$ ist. Auch ist dir noch unbekannt, dass das Produkt von 0 mit irgendeiner anderen reellen Zahl immer 0 ist.

Jedoch ist es möglich, diese und andere dir bereits aus der Schule bekannte Tatsachen über Addition und Multiplikation allein aus den Körperaxiomen herzuleiten. Unsere Aufgabe in diesem Kapitel besteht vor allem darin, solche Tatsachen zu beweisen. Dabei dürfen zum Beweis nur Körperaxiome und bereits bewiesene Sätze verwendet werden. Du kannst zwar in der Beweisfindung auf dein Schulwissen zurückgreifen, im eigentlichen Beweis darfst du dieses aber nicht als Argument heranziehen.

Die Beweise dieses Kapitels sind auch deswegen wichtig für dich, weil dir die dahinter stehenden Beweisideen noch häufig im Mathematikunterricht begegnen werden (zum Beispiel in der Algebra). Da die Körperaxiome zur Addition und zur Multiplikation analog sind, sind auch die daraus herleitbaren Eigenschaften mit ihren Beweisen analog. Deswegen werde ich diese analogen Eigenschaften von Addition und Multiplikation zusammen behandeln.

Überblick über Folgerungen aus den Körperaxiomen

Wenn man sich die Körperaxiome anschaut, dann fällt auf, dass nur die Existenz des neutralen Elements sowie des Inversen einer Operation gefordert wurde. Nun kann man sich die Fragen stellen: Kann es mehr als ein neutrales Element der Addition oder der Multiplikation geben? Gibt es Zahlen, die mehr als ein additives oder multiplikatives Inverse besitzen? Die Antwort lautet: Nein. Im Einzelnen:

• Aus den Körperaxiomen folgt, dass es maximal ein neutrales Element der Addition und der Multiplikation gibt. Die in den Körperaxiomen genannten Zahlen $0$ und $1$ sind also eindeutig definiert.
• Jede Zahl $x$ besitzt maximal eine zu ihr negative Zahl $-x$. Das in den Körperaxiomen genannte Negative $-x$ ist also eindeutig.
• Jede Zahl $x$ ungleich null besitzt maximal eine zu ihr inverse Zahl $x^{-1}$. Das in den Körperaxiomen genannte Inverse $x^{-1}$ ist also eindeutig.

Außerdem können aus den Körperaxiomen folgende Eigenschaften bewiesen werden:

• Das Negative der Null ist Null: $-0=0$.
• Das Inverse der Eins ist Eins: $1^{-1}=1$.
• Das Negative vom Negativen von $x$ ist also wieder $x$: $-(-x)=x$.
• Für $x\neq 0$ ist das Inverse des Inversen von $x$ wieder $x$: $(x^{-1})^{-1}=x$.
• Das Negative von $x+y$ ist $-x-y$: $-(x+y)=-x-y$.
• Das Inverse von $x\cdot y$ für $y$ und $x$ ungleich null ist $x^{-1}\cdot y^{-1}$: $(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$.
• Die Gleichung $a+x=b$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung $x=b-a$.
• Die Gleichung $a\cdot x=b$ mit $a\neq 0$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung $x={\tfrac {b}{a}}$.
• Neben $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ gilt für alle $x,y,z\in \mathbb {R}$ auch die Gleichung $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$.
• Für alle reellen Zahlen $x$ ist $0\cdot x=0$.
• $x\cdot y$ ist genau dann Null, wenn $x=0$ oder $y=0$.
• Das Negative von $x$ entspricht also der Multiplikation von $x$ mit dem Negativen von $1$: $-x=(-1)\cdot x$.
• Es gilt $(-x)\cdot (-y)=x\cdot y$.

Eindeutigkeit der Null / Eins

Beweis zur Eindeutigkeit der Null

Satz (Eindeutigkeit der Null/Eins)

Die Null und die Eins sind durch ihre Eigenschaften (für alle $x\in \mathbb {R}$ ist $x+0=x$ bzw. für alle $x\in \mathbb {R}$ ist $x\cdot 1=x$) eindeutig bestimmt.

Zunächst werden wir die Eindeutigkeit der Null beweisen. Die Beweisidee ist dabei folgende: Wir zeigen, dass zwei reelle Zahlen $0_{1}$ und $0_{2}$ mit der Nulleigenschaft gleich sind.

Beweis (Eindeutigkeit der Null)

Nehmen wir an, wir haben zwei reelle Zahlen $0_{1}$ und $0_{2}$ mit der Nulleigenschaft. $0_{1}$ und $0_{2}$ erfüllen also für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichung $x+0_{1}=x$ beziehungsweise die Gleichung $x+0_{2}=x$. Beachte dabei, dass $0_{1}$ nicht zwangsläufig ungleich $0_{2}$ sein muss, es könnte sich auch um dieselbe reelle Zahl handeln.

Setzen wir in der ersten Gleichung $x+0_{1}=x$ für $x$ die konkrete Zahl $0_{2}$ und in der zweiten Gleichung $x+0_{2}=x$ für $x$ die Zahl $0_{1}$ ein, so erhalten wir $0_{2}+0_{1}=0_{2}$ und $0_{1}+0_{2}=0_{1}$.

Wegen des Kommutativgesetzes der Addition ist $0_{1}+0_{2}=0_{2}+0_{1}$ und dementsprechend ist:

$0_{1}=0_{1}+0_{2}=0_{2}+0_{1}=0_{2}$

Damit ist $0_{1}=0_{2}$. Wir haben also insgesamt gezeigt, dass zwei reelle Zahlen mit der Nulleigenschaft gleich sein müssen.

Beweis (Eindeutigkeit der Eins)

Nehmen wir an, wir hätten zwei reelle Zahlen $1_{1}$ und $1_{2}$ mit der Einseigenschaft. Es gilt also für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichung $x\cdot 1_{1}=x$ und die Gleichung $x\cdot 1_{2}=x$.

Setzen wir in der ersten Gleichung $x=1_{2}$ und in der zweiten Gleichung $x=1_{1}$ so erhalten wir $1_{2}\cdot 1_{1}=1_{2}$ beziehungsweise $1_{1}\cdot 1_{2}=1_{1}$. Wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation ist $1_{1}\cdot 1_{2}=1_{2}\cdot 1_{1}$ und damit:

$1_{1}=1_{1}\cdot 1_{2}=1_{2}\cdot 1_{1}=1_{2}$

Damit sind zwei reelle Zahlen mit der Einseigenschaft gleich.

Eindeutigkeit des Negativen / Inversen

Beweis zur Eindeutigkeit des Negativen

Satz (Eindeutigkeit des Negativen/Inversen)

Für jede reelle Zahl $x$ gibt es genau ein Negatives $y=-x$ mit $x+y=x+(-x)=0$.

Für jede reelle Zahl $x\neq 0$ gibt es genau ein Inverses $z=x^{-1}$ mit $x\cdot z=x\cdot x^{-1}=1$.

Die Beweisidee für diesen Satz ist dieselbe wie für den Eindeutigkeitsbeweis der Null/Eins. Nach den Körperaxiomen wissen wir bereits, dass es für alle $x\in \mathbb {R}$ mindestens ein Negatives und für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $x\neq 0$ mindestens ein Inverses gibt. Es muss nur noch gezeigt werden, dass zwei Negative einer Zahl gleich sind und analog, dass zwei Inverse einer Zahl ungleich 0 auch gleich sind.

Beweis (Eindeutigkeit des Negativen)

Sei $x$ eine beliebige reelle Zahl. Wir müssen zeigen, dass $x$ höchstens ein Negatives besitzt. Seien also $y_{1}$ und $y_{2}$ zwei Negative von $x$. Es gilt also $x+y_{1}=0$ und $x+y_{2}=0$. Nun ist:

${\begin{aligned}&y_{1}\\[0.3em]&\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Eigenschaft der Null, also }}y_{1}=y_{1}+0\right.\\[0.3em]=\,&y_{1}+0\\[0.3em]&\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {x+y_{2}=0}\right.\\[0.3em]=\,&y_{1}+(x+y_{2})\\[0.3em]&\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz der Addition}}\right.\\[0.3em]=\,&(y_{1}+x)+y_{2}\\[0.3em]&\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz der Addition}}\right.\\[0.3em]=\,&(x+y_{1})+y_{2}\\[0.3em]&\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {x+y_{1}=0}\right.\\[0.3em]=\,&0+y_{2}\\[0.3em]&\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {0+y_{2}=y_{2}+0=y_{2}}\right.\\[0.3em]=\,&y_{2}\\\end{aligned}}$

Damit ist $y_{1}=y_{2}$ und somit gibt es für $x$ höchstens ein Negatives. Beachte, dass wir in jedem Umformungsschritt nur Eigenschaften der Addition verwendet haben, die in den Körperaxiomen definiert wurden.

Beweis (Eindeutigkeit des Inversen)

Sei $x$ eine beliebige reelle Zahl ungleich 0. Sei außerdem $y_{1}$ und $y_{2}$ zwei Inverse von $x$. Es gilt also $x\cdot y_{1}=1$ und $x\cdot y_{2}=1$. Wir können folgern:

${\begin{aligned}&y_{1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {{\text{Eigenschaft der Eins, also }}y_{1}=y_{1}\cdot 1}\right.}\\[0.3em]=&y_{1}\cdot 1\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {x\cdot y_{2}=1}\right.}\\[0.3em]=&y_{1}\cdot (x\cdot y_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz der Multiplikation}}\right.}\\[0.3em]=&(y_{1}\cdot x)\cdot y_{2}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz der Multiplikation}}\right.}\\[0.3em]=&(x\cdot y_{1})\cdot y_{2}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {x\cdot y_{1}=1}\right.}\\[0.3em]=&1\cdot y_{2}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {1\cdot y_{2}=y_{2}\cdot 1=y_{2}}\right.}\\[0.3em]=&y_{2}\end{aligned}}$

Damit ist $y_{1}=y_{2}$ und somit gibt es für $x$ höchstens ein Inverses.

Das Negative der Null ist Null / Das Inverse der Eins ist Eins

Beweis, dass das Negative der Null gleich die Null ist

Satz (Null ist sein eigenes Negatives)

Es gilt $-0=0$. Dies bedeutet: Null ist das eindeutig bestimmte Negative zur Zahl Null.

Beweis (Null ist sein eigenes Negatives)

Zum Beweis dieses Satzes verwenden wir den gerade bewiesenen Satz zu Eindeutigkeit des Negativen/Inversen: $0$ erfüllt die Nulleigenschaft: Es gilt für alle $x\in \mathbb {R}$, dass $0+x=x$ ist. Setzen wir in diese Gleichung für $x=0$, so erhalten wir die Gleichung

$0+0=0$

Diese Gleichung kann man so interpretieren: Die Zahl $0$ ist ein Negatives von $0$. Zur Erinnerung: Eine Zahl $b$ ist genau dann ein Negatives der Zahl $a$, wenn $a+b=0$ ist. Wenn man $a=0$ setzt, so sieht man, dass nach obiger Gleichung $0+0=0$ die Zahl $b=0$ ein Negatives der Zahl $a=0$ ist.

Nun ist nach dem obigen Satz das Negative einer reellen Zahl eindeutig bestimmt (es kann nur genau ein Negatives einer Zahl geben). Da $0$ ein Negatives von $0$ ist, muss es damit das eindeutig bestimmte Negative von $0$ sein. In Formeln ausgedrückt: $-0=0$.

Satz (Eins ist sein eigenes Inverses)

Es ist $1^{-1}=1$. Eins also ist das eindeutig bestimmte Inverse zur Zahl Eins.

Beweis (Eins ist sein eigenes Inverses)

$1$ erfüllt die Einseigenschaft: Es gilt für alle $x\in \mathbb {R}$, dass $1\cdot x=x$ ist. Setzen wir in diese Gleichung für $x=1$ ein, so erhalten wir die Gleichung

$1\cdot 1=1$

Nach obiger Gleichung ist $1$ ein Inverses von $1$. Da das Inverse einer reellen Zahl ungleich $0$ eindeutig bestimmt ist, muss $1$ das eindeutig bestimmte Inverse $1^{-1}$ der Zahl $1$ sein. Es gilt also $1^{-1}=1$.

Weitere Eigenschaften für Negatives / Inverses

Satz

Es ist $-(-x)=x$. Das Negative vom Negativen von $x$ ist also wieder $x$.

Für $x\neq 0$ ist $(x^{-1})^{-1}=x$. Das Inverse des Inversen von $x$ für $x\neq 0$ ist wieder $x$.

Der Beweis zu diesem Satz ähnelt stark dem Beweis des obigen Satzes. Wenn du willst, kannst du versuchen, diesen Beweis selber zu finden:

Beweis

Beweisschritt: Beweise, dass $-(-x)=x$ ist.

$-(-x)$ ist nach Definition das Negative der Zahl $-x$, also diejenige reelle Zahl $a$ mit $(-x)+a=0$.

Nun ist $x$ eine solche Zahl, da $(-x)+x=x+(-x)=0$ ist. Also ist $x$ ein Negatives der Zahl $(-x)$. Da das Negative eindeutig bestimmt ist, ist $x$ das einzige Negative von $(-x)$ und somit $-(-x)=x$.

Beweisschritt: Beweise, dass $(x^{-1})^{-1}=x$ ist.

$(x^{-1})^{-1}$ ist nach Definition das Inverse der Zahl $x^{-1}$, also diejenige reelle Zahl $a$ mit $x^{-1}\cdot a=1$.

Nun ist $x$ eine solche Zahl, da $x^{-1}\cdot x=x\cdot x^{-1}=1$ ist. Also ist $x$ ein Inverses der Zahl $x^{-1}$. Da das Inverse einer Zahl ungleich 0 eindeutig bestimmt ist, ist $x$ das einzige Inverse von $x^{-1}$ und somit $(x^{-1})^{-1}=x$.

Satz

Das Negative von $x+y$ ist $-x-y$ (in einer Formel: $-(x+y)=-x-y$) und das Inverse von $x\cdot y$ für $y$ und $x$ ungleich Null ist $x^{-1}\cdot y^{-1}$ (in einer Formel: $(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$).

Beweis

Beweisschritt: $-(x+y)=-x-y$

$-x-y$ ist ein Negatives der Zahl $x+y$, denn es gilt:

${\begin{aligned}&(x+y)+(-x-y)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ -x-y=(-x)+(-y)\right.}\\[0.3em]=\ &(x+y)+((-x)+(-y))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz}}\right.}\\[0.3em]=\ &(x+y)+((-y)+(-x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz}}\right.}\\[0.3em]=\ &x+((y+(-y))+(-x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ y+(-y)=0\right.}\\[0.3em]=\ &x+(0+(-x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0+(-x)=(-x)\right.}\\[0.3em]=\ &x+(-x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ x+(-x)=0\right.}\\[0.3em]=\ &0\end{aligned}}$

Da das Negative von $x+y$ eindeutig bestimmt ist, ist $-(x+y)=-x-y$.

Beweisschritt: $(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$

$x^{-1}\cdot y^{-1}$ ist ein Inverses der Zahl $x\cdot y$, denn es gilt:

${\begin{aligned}&(x\cdot y)\cdot (x^{-1}\cdot y^{-1})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz}}\right.}\\[0.3em]=\ &(x\cdot y)\cdot (y^{-1}\cdot x^{-1})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz}}\right.}\\[0.3em]=\ &x\cdot ((y\cdot y^{-1})\cdot x^{-1})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ y\cdot y^{-1}=1\right.}\\[0.3em]=\ &x\cdot (1\cdot x^{-1})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 1\cdot x^{-1}=x^{-1}\right.}\\[0.3em]=\ &x\cdot x^{-1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ x\cdot x^{-1}=1\right.}\\[0.3em]=\ &1\end{aligned}}$

Da das Inverse von $x\cdot y$ eindeutig bestimmt ist, ist $(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$.

Umformungen von Gleichungen

Beweis, dass die Gleichung $a+x=b$ die eindeutig bestimmte Lösung $x=b-a$ besitzt

Wir interessieren uns nun für die Umformung von Gleichungen der Form $a+x=b$, wobei $a$ und $b$ zwei beliebige, reelle Zahlen sind. Aus der Schule wissen wir, dass diese Gleichung die eindeutig bestimmte Lösung $x=b-a$ besitzt. Doch können wir dies auch aus den Körperaxiomen und den bisher bewiesenen Sätzen herleiten?

Satz (Umformung einer Summe)

Die Gleichung $a+x=b$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung $x=b-a$.

Beweis (Umformung einer Summe)

Wir müssen zwei Dinge zeigen (Beachte, dass beide Schritte notwendig sind):

1. $x=b-a$ ist eine Lösung von $a+x=b$. Dieser Schritt beweist nur die Existenz, aber nicht die Eindeutigkeit einer Lösung für alle Fälle von $a$ und $b$.
2. Wenn $a+x=b$ ist, so ist $x=b-a$. Dieser Schritt beweist nur die Eindeutigkeit, aber nicht die Existenz einer Lösung für alle Fälle von $a$ und $b$.

Beweisschritt: $x=b-a$ ist eine Lösung von $a+x=b$

Um zu zeigen, dass $x=b-a$ eine Lösung von $a+x=b$ ist, müssen wir für $x$ den Term $b-a$ einsetzen und schauen, ob die resultierende Gleichung $a+(b-a)=b$ stimmt:

${\begin{aligned}&a+x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Setze }}x=b-a\right.}\\[0.3em]=&a+(b-a)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ b-a=b+(-a){\text{ nach Definition }}\right.}\\[0.3em]=&a+(b+(-a))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz}}\right.}\\[0.3em]=&a+((-a)+b)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz}}\right.}\\[0.3em]=&(a+(-a))+b\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ a+(-a)=0\right.}\\[0.3em]=&0+b\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0+b=b\right.}\\[0.3em]=&b\end{aligned}}$

Beweisschritt: Aus $a+x=b$ folgt $x=b-a$

Hier müssen wir zeigen, dass, wenn $a+x=b$ ist, dann auch $x=b-a$ ist. Sei nun $a+x=b$. Wenn wir beide Seiten von rechts mit $(-a)$ addieren, so erhalten wir $(a+x)+(-a)=b+(-a)$. Wegen dem Kommutativgesetz ist es egal, von welcher Seite wir $(-a)$ addieren. Du wirst aber noch Strukturen kennen lernen, die nicht kommutativ sind, wo es also relevant ist, von welcher Seite du etwas verknüpft. Für die linke Seite der Gleichung erhalten wir

$(a+x)+(-a)=(x+a)+(-a)=x+(a+(-a))=x$

und für die rechte Seite der Gleichung erhalten wir $b+(-a)=b-a$. Also ist $x=b-a$.

Man kann diesen Beweisschritt auch so aufschreiben:

${\begin{aligned}&a+x=b\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ +(-a)\right.}\\&(a+x)+(-a)=b+(-a)\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ b+(-a)=b-a\right.}\\&(a+x)+(-a)=b-a\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz}}\right.}\\&(x+a)+(-a)=b-a\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz}}\right.}\\&x+(a+(-a))=b-a\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ a+(-a)=0\right.}\\&x+0=b-a\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ x+0=x\right.}\\&x=b-a\end{aligned}}$

Satz (Umformung eines Produkts)

Die Gleichung $a\cdot x=b$ mit $a\neq 0$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung $x={\tfrac {b}{a}}$.

Beweis (Umformung eines Produkts)

Hier sind folgende zwei Schritte zu beweisen:

1. $x={\tfrac {b}{a}}$ mit $a\neq 0$ ist eine Lösung von $a\cdot x=b$.
2. Wenn $a\cdot x=b$ mit $a\neq 0$ ist, so ist $x={\tfrac {b}{a}}$.

Beweisschritt: $x={\tfrac {b}{a}}$ mit $a\neq 0$ ist eine Lösung von $a\cdot x=b$

Es ist

${\begin{aligned}&a\cdot x\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Setze }}x={\tfrac {b}{a}}\right.}\\=&a\cdot {\tfrac {b}{a}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tfrac {b}{a}}=b\cdot a^{-1}\right.}\\=&a\cdot (b\cdot a^{-1})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz}}\right.}\\=&a\cdot (a^{-1}\cdot b)\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz}}\right.}\\=&(a\cdot a^{-1})\cdot b\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ a\cdot a^{-1}=1\right.}\\=&1\cdot b\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 1\cdot b=b\right.}\\=&b\end{aligned}}$

Beweisschritt: Aus $a\cdot x=b$ mit $a\neq 0$ folgt $x={\tfrac {b}{a}}$

${\begin{aligned}&a\cdot x=b\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \cdot \,a^{-1}\right.}\\&(a\cdot x)\cdot a^{-1}=b\cdot a^{-1}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ b\cdot a^{-1}={\tfrac {b}{a}}\right.}\\&(a\cdot x)\cdot a^{-1}={\tfrac {b}{a}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz}}\right.}\\&(x\cdot a)\cdot a^{-1}={\tfrac {b}{a}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz}}\right.}\\&x\cdot (a\cdot a^{-1})={\tfrac {b}{a}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ a\cdot a^{-1}=1\right.}\\&x\cdot 1={\tfrac {b}{a}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ x\cdot 1=x\right.}\\&x={\tfrac {b}{a}}\end{aligned}}$

Allgemeines Distributivgesetz

Beweis des allgemeinen Distributivgesetzes

In den Körperaxiomen wurde nur definiert, dass $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$. Die dir aus der Schule auch bekannte Tatsache $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ muss erst noch bewiesen werden:

Satz (Allgemeines Distributivgesetz)

Neben $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ gilt für alle $x,y,z\in \mathbb {R}$ auch die Gleichung $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$.

Beweis (Allgemeines Distributivgesetz)

Obiger Satz folgt aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation und dem Distributivgesetz, $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rll}&(x+y)\cdot z&\left|\ {\color {Orange}{\text{Kommutativgesetz der Multiplikation}}}\right.\\=&z\cdot (x+y)&\left|\ {\color {Orange}{\text{Distributivgesetz}}}\right.\\=&z\cdot x+z\cdot y&\left|\ {\color {Orange}{\text{Kommutativgesetz: }}z\cdot x=x\cdot z}\right.\\=&x\cdot z+z\cdot y&\left|\ {\color {Orange}{\text{Kommutativgesetz: }}z\cdot y=y\cdot z}\right.\\=&x\cdot z+y\cdot z\end{array}}\end{aligned}}$

Ein Produkt mit Faktor Null ist stets Null

Beweis: Ein Produkt mit Faktor Null ist stets Null

Satz (Ein Produkt mit Faktor Null ist stets Null)

Für alle reellen Zahlen $x$ ist $0\cdot x=0$.

Dieser Satz ist wichtig, denn er begründet, warum man in den reellen Zahlen (beziehungsweise in einem beliebigen Körper) nicht durch $0$ teilen kann: Nach Definition ist ${\tfrac {x}{0}}$ gleich $x\cdot 0^{-1}$. Um also durch Null teilen zu können, müsste die Null ein Inverses haben, es müsste also eine reelle Zahl $y$ mit $0\cdot y=1$ geben. Da aber nach obigen Satz ein Produkt $0\cdot y$ stets Null ist, kann die Null kein Inverses besitzen und damit kann auch nicht durch Null geteilt werden. Schauen wir uns nun den Beweis des Satzes an:

Beweis (Ein Produkt mit Faktor Null ist stets Null)

Es ist

${\begin{aligned}{\begin{array}{rll}&0\cdot x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0=0+0\right.}\\[0.3em]=&(0+0)\cdot x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\right.}\\[0.3em]=&0\cdot x+0\cdot x\end{array}}\end{aligned}}$

Es ist also $0\cdot x=0\cdot x+0\cdot x$. Da $0\cdot x$ eine reelle Zahl ist, besitzt sie ein Negatives $-(0\cdot x)$ und wir können beide Seiten mit diesem Negativem addieren:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrcll}&0\cdot x+0\cdot x&=&0\cdot x&\ \left|\ {\color {Orange}+(-(0\cdot x))}\right.\\\implies &(0\cdot x+0\cdot x)+(-(0\cdot x))&=&0\cdot x+(-(0\cdot x))&\ \left|\ {\color {Orange}{\text{Assoziativgesetz}}}\right.\\\implies &0\cdot x+(0\cdot x+(-(0\cdot x)))&=&0\cdot x+(-(0\cdot x))&\ \left|\ {\color {Orange}0\cdot x+(-(0\cdot x))=0}\right.\\\implies &0\cdot x+0&=&0&\ \left|\ {\color {Orange}0\cdot x+0=0\cdot x}\right.\\\implies &0\cdot x&=&0\end{array}}\end{aligned}}$

Aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation folgt direkt $x\cdot 0=0$ für alle $x\in \mathbb {R}$.

Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen

Satz (Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen)

$x\cdot y$ ist genau dann Null, wenn $x=0$ oder $y=0$.

Hier haben wir also folgende Äquivalenz zu beweisen

${\begin{aligned}\forall x,y\in \mathbb {R} {\Big (}x\cdot y=0\iff x=0\lor y=0{\Big )}\end{aligned}}$

Im vorherigem Abschnitt „Das Produkt mit Null ist stets Null“ haben wir bereits bewiesen, dass

${\begin{aligned}\forall x,y\in \mathbb {R} {\Big (}x=0\lor y=0\implies x\cdot y=0{\Big )}\end{aligned}}$

ist. Dementsprechend bleibt nur noch zu zeigen, dass

${\begin{aligned}\forall x,y\in \mathbb {R} {\Big (}x\cdot y=0\implies x=0\lor y=0{\Big )}\end{aligned}}$

In der Algebra nennt man eine Struktur mit einer solchen Eigenschaft „nullteilerfrei“. Ein Nullteiler ist in der Algebra nämlich eine Zahl $a$ für die es eine Zahl $b\neq 0$ mit $a\cdot b=0$ gibt. $a$ wäre damit ein „Teiler“ der Null. In den reellen Zahlen gibt es aber keine Nullteiler.

Beweis (Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen)

Sei $x\cdot y=0$. Wir müssen jetzt zeigen, dass dann entweder $x=0$ oder $y=0$ ist. Wir machen eine Fallunterscheidung in $y=0$ und $y\neq 0$: Ist $y=0$, so haben wir nichts zu zeigen. Ist $y\neq 0$, dann gibt es das Inverse $y^{-1}$ und es gilt

${\begin{aligned}x\cdot y&=0\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \cdot y^{-1}\right.}\\[0.3em](x\cdot y)\cdot y^{-1}&=0\cdot y^{-1}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz}}\right.}\\[0.3em]x\cdot (y\cdot y^{-1})&=0\cdot y^{-1}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ y\cdot y^{-1}=1\right.}\\[0.3em]x\cdot 1&=0\cdot y^{-1}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ x\cdot 1=x\right.}\\[0.3em]x&=0\cdot y^{-1}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0\cdot y^{-1}=0\right.}\\[0.3em]x&=0\end{aligned}}$

Im Fall $y\neq 0$ ist also zwangsweise $x=0$. Ingesamt folgt so der zu beweisende Satz zur Nullteilerfreiheit.

Multiplikation mit -1 entspricht dem Negativen

Satz

Es gilt $-x=(-1)\cdot x$. Das Negative von $x$ entspricht also der Multiplikation von $x$ mit dem Negativen von $1$.

Beweis

Wir wollen zeigen, dass $(-1)\cdot x$ das Negative von $x$, also $-x$, ist. Nun ist $-x$ dadurch eindeutig bestimmt, dass $x+(-x)=0$ ist. Wenn wir also zeigen können, dass $x+(-1)\cdot x=0$ ist, dann haben wir $(-1)\cdot x=-x$ bewiesen. Es ist

${\begin{aligned}&x+(-1)\cdot x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ x=1\cdot x\right.}\\[0.3em]=\ &1\cdot x+(-1)\cdot x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz}}\right.}\\[0.3em]=\ &(1+(-1))\cdot x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 1+(-1)=0\right.}\\[0.3em]=\ &0\cdot x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0\cdot x=0\right.}\\[0.3em]=\ &0\end{aligned}}$

$(-1)\cdot x$ ist damit ein Negatives von $x$. Aus der Eindeutigkeit des Negativen folgt $-x=(-1)\cdot x$.

Alternativer Beweis

Wir gehen nun alternativ von $-x$ aus:

${\begin{aligned}&-x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ -x+0=-x\right.}\\[0.3em]=\ &-x+0\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0\cdot x=0\right.}\\[0.3em]=\ &-x+0\cdot x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 1+(-1)=0\right.}\\[0.3em]=\ &-x+[1+(-1)]\cdot x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz}}\right.}\\[0.3em]=\ &-x+[1\cdot x+(-1)\cdot x]\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 1\cdot x=x\right.}\\[0.3em]=\ &-x+[x+(-1)\cdot x]\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz}}\right.}\\[0.3em]=\ &(-x+x)+(-1)\cdot x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ -x+x=0\right.}\\[0.3em]=\ &0+(-1)\cdot x\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0+(-1)\cdot x=(-1)\cdot x\right.}\\[0.3em]=\ &(-1)\cdot x\end{aligned}}$

Minus mal Minus ergibt Plus

Satz

Es gilt $(-x)\cdot (-y)=x\cdot y$.

Beweis

Es ist

${\begin{aligned}{\begin{array}{rll}&(-x)\cdot (-y)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ -y=(-1)\cdot y{\text{ (bereits bewiesen)}}\right.}\\[0.3em]=&(-x)\cdot ((-1)\cdot y)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativ- und Kommutativgesetz}}\right.}\\[0.3em]=&((-1)\cdot (-x))\cdot y\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (-1)\cdot (-x)=-(-x){\text{ (bereits bewiesen)}}\right.}\\[0.3em]=&(-(-x))\cdot y\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ -(-x)=x{\text{ (bereits bewiesen)}}\right.}\\[0.3em]=&x\cdot y\end{array}}\end{aligned}}$