Potenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus der Schule kennst du Potenzen wie als Abkürzungen für Produkte mit immer demselben Faktor. So ist die abkürzende Schreibweise für . Um die Theorie der Analysis sauber aufzubauen, dürfen wir keine bekannten Sachverhalte der Schule übernehmen und müssen so auch den Begriff der Potenz neu (und sauber) einführen. Hier werden wir das Hilfsmittel der Rekursion kennen lernen, welches dir noch oft im Studium der Mathematik begegnen wird.

Intuitive Definition der PotenzBearbeiten

 
Die Funktion  .
 
Die Funktion  .

Intuitiv können wir die Potenz mit natürlichem Exponenten folgendermaßen definieren:

Definition (intuitive Definition der Potenz)

Die Potenz   ist definiert über

 

Dies entspricht der Vorstellung der Potenz, welche wir aus der Schule haben. Doch diese Definition birgt folgende Nachteile:

  • Wir wissen nicht, was   sein soll. Generell überträgt sich obige Gleichung nicht auf solche  , für die   keine natürliche Zahl ist. So sind die Ausdrücke   oder   nicht sinnvoll.
  • Der Ausdruck   ist zwar intuitiv verständlich, er ist aber nicht mathematisch definiert. Wenn man also die Theorie der Analysis exakt aufbauen möchte, dann kann man die obige Definition nicht verwenden.

Formale Definition der Potenz mit natürlichem ExponentenBearbeiten

 
Die Elemente der Potenzschreibweise:  

Mathematisch exakt wird die Potenz rekursiv definiert:

Definition (rekursive Definition der Potenz mit natürlichem Koeffizienten)

Die Potenz ist rekursiv über die folgenden beiden Formeln für alle   und   definiert:

 

Insbesondere definieren wir  .

Hier werden zwei Eigenschaften der Potenz angegeben, die zusammen bereits den Wert jeder Potenz eindeutig festlegen. Die Formel

 

wird Rekursionsschritt genannt. Durch sie lässt sich jede Potenz auf eine Potenz mit einem um eins verringerten Exponenten zurückführen. So ist nach dem Rekursionsschritt

 

Wenn wir   ausgerechnet haben, können wir   nach obiger Gleichung ausrechnen.   selbst kann durch weitere Anwendung des Rekursionsschritts aus   berechnet werden und so weiter. Irgendwann landet man so bei der Potenz  , die man wegen der Formel

 

gleich eins setzen kann. Die Formel   wird Rekursionsanfang genannt und beendet die Rekursion. Insgesamt erhält man so

 

Man sieht hier exemplarisch, wie durch Angabe von zwei Eigenschaften der Wert jeder Potenz eindeutig festgelegt ist. Diese Vorgehensweise hat folgende Vorteile:

  • Wir wissen, was   ist.
  • Wir haben sowohl in der Angabe des Rekursionsschritts als auch bei der Angabe des Rekursionsanfangs keine Ausdrücke verwendet, die wir nicht vorher schon definiert haben.
  • Die beiden Eigenschaften der Rekursion sind auch dann gültig, wenn   keine natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaften sind also insofern charakteristisch für die Potenz, als dass sie auch für den verallgemeinerten Potenzbegriff mit beliebigen Exponenten gelten.
  • Die rekursive Definition zeigt einen Weg, wie Sätze über Potenzen mit Hilfe von vollständiger Induktion bewiesen werden können.

Warum ist definiert?Bearbeiten

Diese Frage ist berechtigt. Schließlich hätten wir ja auch   als Rekursionsanfang definieren können. Zwar wäre dann   undefiniert gewesen, aber die Gleichung   lässt sich mit der Intuition der Potenz als k-fache Multiplikation leicht erklären. Auch die Potenz   könnten wir ohne Probleme mit dem Rekursionsanfang   berechnen.

Der Grund liegt darin, dass für die allgemeine Potenz die Gleichung

 

erfüllt sein soll. Obige Gleichung soll für alle   und insbesondere auch für   erfüllt sein. Es soll also gelten:

 

Gleichzeitig ist   und deswegen

 

Damit diese Gleichung für alle   und   gelten kann, muss   sein. Die Tatsache   folgt also aus der Gleichung

 

welche man als die charakteristische Gleichung der Potenz ansehen kann. Auch der Rekursionsschritt folgt aus obiger Gleichung. Damit hat die rekursive Definition den Vorteil, dass sie auf der charakteristischen Gleichung der allgemeinen Potenz beruht und mit ihr begründet werden kann.

Hinweis

Es gibt in der Literatur keine eindeutige Definition für  . In Analysis-Lehrbüchern wird normalerweise (wie bei uns)   gesetzt. Dadurch bleiben so wichtige Ergebnisse wie der binomische Lehrsatz und die Geometrische Summenformel für den jeweiligen Spezialfall gültig. Manche Autoren setzen hingegen  , da   für alle   ist. Manchmal wird dieser Ausdruck in der Literatur auch je nach Kontext anders definiert, und gelegentlich bleibt   auch undefiniert. Genauere Erklärungen findet man im Abschnitt „Null hoch Null“ des Wikipedia-Artikels zur Potenz.

Das Prinzip der RekursionBearbeiten

Im obigen Abschnitt hast du das Definitionsschema der Rekursion kennen gelernt. Hierfür ist die Angabe des Rekursionsanfangs und des Rekursionsschritts notwendig:

  • Rekursionsschritt: Durch den Rekursionsschritt kann ein Ausdruck auf einen Ausdruck „mit geringerer Ordnung“ reduziert werden. Dieser Schritt wird so lange angewandt, bis man den Rekursionsanfang verwenden kann.
  • Rekursionsanfang: Beendet die Rekursion, indem definiert wird, was der Ausdruck mit der „geringsten Ordnung“ sein soll.

Durch diese beiden Angaben wird eine Art Algorithmus definiert, wie Ausdrücke ausgerechnet werden können (siehe obiges Beispiel mit der Potenz). Solltest du programmieren können, wirst du dieses Prinzip vielleicht schon von deinen Programmiertätigkeiten her kennen.

Verständnisfrage: Definiere das Produkt   mit   und   rekursiv.

Folgende zwei Formeln definieren das Produkt   rekursiv:

 

Rechenregeln für PotenzenBearbeiten

ÜbersichtBearbeiten

Um uns zu überlegen, warum unsere formale Definition der Potenz Sinn ergibt, haben wir auf folgende Rechenregel für   und   zurückgegriffen:

 

Diese war aber nur eine Motivation für uns, wie wir die Potenz definieren wollen. Dass unsere formale Definition einer Potenz tatsächlich diese Rechenregel erfüllt, müssen wir erst noch beweisen. Dies werden wir im Folgenden nachholen. Auch werden wir folgende Rechenregeln beweisen, die aus der Schule bekannt sind:

  •   für alle   und  
  •   für alle   und  

Produkt von Potenzen mit gleicher BasisBearbeiten

Satz (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei   und seien  . Dann gilt

 

Wir betrachten das Produkt   zweier Potenzen   und   zur selben Basis   mit irgendwelchen Exponenten  . Anschaulich ist

 

und

 

Also ist

 

Wir multiplizieren das Produkt von   vielen   mit dem Produkt von   vielen  . Das können wir zusammenfassen zu einem Produkt von insgesamt   vielen  :

 

Das Produkt von   vielen   ist genau die Potenz  :

 

So haben wir einen anschauliche Argumentation dafür gefunden, dass folgende zu zeigende Rechenregel gilt.

 

Jedoch haben wir die unsaubere Notation mit   verwendet. Es ist auch nicht klar, was in diesem „Beweis“ passiert, wenn   oder   ist. Wie können wir diese Regel sauber mithilfe unserer rekursiven Definition der Potenz beweisen?

Zusammenfassung des Beweises (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Um die rekursive Definition der Potenz verwenden zu können, bietet sich ein Beweis mittels Vollständiger Induktion an. Allerdings kommen in der zu zeigenden Aussage zwei Variablen   vor, über die eine vollständige Induktion gemacht werden kann. Wir suchen uns einfach eine davon aus, sagen wir  , und lassen die andere Variable, also  , fest.

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei   fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über  :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für   bewiesen werden soll:

 

1. Induktionsanfang:

 

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

 

2b. Induktionsbehauptung:

 

2c. Beweis des Induktionsschritts:

 

Zusammenfassen von mehrmaligem PotenzierenBearbeiten

Satz (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei   und seien  . Dann gilt

 

Beweis (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei   fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über  :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für   bewiesen werden soll:

 

1. Induktionsanfang:

 

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

 

2b. Induktionsbehauptung:

 

2c. Beweis des Induktionsschritts:

 

Produkt von Potenzen mit gleichem ExponentenBearbeiten

Satz (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Seien   und sei  . Dann gilt

 

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über  :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für   bewiesen werden soll:

 

1. Induktionsanfang:

 

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

 

2b. Induktionsbehauptung:

 

2c. Beweis des Induktionsschritts:

 

Potenzen mit negativen ExponentenBearbeiten

Für eine reelle Zahl   wollen wir die Definition der Potenz   auf ganzzahlige Exponenten   erweitern. Die Potenz soll also auch für negative Exponenten   definiert werden. Dies wird sich nämlich als praktisch erweisen.

Auf den ersten Blick macht es nicht so viel Sinn. Nach unserer intuitiven Vorstellung wäre zum Beispiel   das Produkt von „  vielen“  en. Was soll das bitteschön sein? Vielleicht  ? Wenn wir so tun, als ob alle Rechenregeln für Potenzen weiterhin gelten, wäre aber  . Es macht also keinen Sinn,  zu definieren. Wir sollten uns erst einmal überlegen, wie eine sinnvolle Definition aussehen könnte. Im Wesentlichen gibt es zwei Anforderungen:

  • Die Definition sollte anschaulich erklärbar sein.
  • Alle bisherigen Rechenregeln für Potenzen sollten weiterhin gelten.
To-Do:

Weiterschreiben

Definition (Potenz mit ganzzahligem Exponenten)

Sei   und  . Für   ist   bereits definiert. Für   legen wir fest:

 

Beachte, dass in dieser Definition   bereits definiert ist, da   für   gilt. Und wegen   ist auch  . Wir teilen also nicht durch  .

Übertragung der Rechenregeln auf den ganzen ZahlenBearbeiten

Produkt von Potenzen mit gleicher BasisBearbeiten

Satz (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Sei   und seien  . Dann gilt

 

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleicher Basis)

Unsere Definition von  ,   und   hängt davon ab, ob die Exponenten  ,   und   negativ sind oder nicht. Wir führen also eine Fallunterscheidung durch. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

Fall 1:   und  

Für   wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

Fall 2:  ,   und  

Sei   und   mit  . Somit ist  . Nach Definition ist  . Für   haben wir bereits gezeigt, dass

 

gilt. Es folgt

 

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit  , so erhalten wir die Behauptung.

Fall 3:  ,   und  

Sei   und   mit  . Somit ist  . Nach Definition ist   und  . Für   haben wir bereits gezeigt, dass

 

gilt. Es folgt

 

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit  , so erhalten wir die Behauptung.

Fall 4:  ,   und  

Da Addition in   und Multiplikation in   kommutativ sind, gilt   sowie  . Indem wir die Variablen   und   vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 2 zurückführen.

Fall 5:  ,   und  

Da Addition in   und Multiplikation in   kommutativ sind, gilt   sowie  . Indem wir die Variablen   und   vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 3 zurückführen.

Fall 6:   und  

Sei   und   mit  . Somit ist  . Nach Definition ist  ,   und  . Für   haben wir bereits gezeigt, dass

 

gilt. Es folgt

 

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit  , so erhalten wir die Behauptung.

Zusammenfassen von mehrmaligem PotenzierenBearbeiten

Satz (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Sei   und seien  . Dann gilt

 

Beweis (Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren)

Wir führen eine Fallunterscheidung durch, ob   und   jeweils negativ sind oder nicht. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

Fall 1:   und  

Für   wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

Fall 2:   und  

Sei   mit  . Nach Definition ist   und  . Wir wissen bereits, dass   gilt. Somit folgt

 

Also gilt wie gewünscht  .

Fall 3:   und  

Sei   mit  . Nach Definition ist   und  . Wir wissen bereits, dass   gilt. Somit folgt wie gewünscht

 

Fall 4:   und  

Seien   und   mit  . Nach Definition ist   und  . Wir wissen bereits, dass   gilt. Somit folgt

 

Also gilt wie gewünscht  .

Produkt von Potenzen mit gleichem ExponentenBearbeiten

Satz (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Seien   und sei  . Dann gilt

 

Beweis (Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten)

Unsere Definition der  -ten Potenz hängt davon ab, ob   negativ ist oder nicht. Für   wurde der Beweis der Gleichung   bereits durchgeführt. Damit fehlt nur noch der Beweis für  .

Sei also   mit  . Nach Definition ist   sowie   und  . Für   haben wir bereits gezeigt, dass gilt:

 

Es folgt

 

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit  , so erhalten wir die Behauptung.