Binomischer Lehrsatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Der binomische LehrsatzBearbeiten

Sicherlich sind dir die binomischen Formeln noch aus der Schule bekannt. Ich kann mir gut vorstellen, dass dein Mathe-Lehrer sie in seinen Unterrichtsstunden hoch und runter gebetet hat. Nicht ohne Grund! Denn immer wieder helfen sie dir die binomischen Formeln geschickt umzuformen und Beweise einfach zu führen. Hier zur Wiederholung die drei binomischen Formeln, welche für alle   gelten:

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Denk immer an diese Formeln. Wenn du zum Beispiel auf Terme wie   triffst, kannst du sie auch als   schreiben. Manchmal kannst du so schwierige Terme vereinfachen oder zusammenfassen. Doch nun zum Thema dieses Kapitels: Wie lauten die binomischen Formeln für größere Potenzen als der 2?. Wir wollen also eine allgemeine Lösungsformel für den Term   für   finden.

Hinweis

Denk daran, wenn wir wissen, was   ist, wissen wir auch, was   ist. Denn wir können   als   schreiben und für   können wir die gefundene Formel anwenden. Dies gilt insbesondere auch für die obigen binomischen Formeln. So folgt wegen   die zweite binomische Formel direkt aus der ersten.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Wir wollen wissen, was   ist. Hierzu müssen wir den Term   ausmultiplizieren, wie es in der folgenden Animation gezeigt wird:

 

Wir erhalten so den Term  . Es fällt auf, dass für jeden Summanden der Gesamtsumme die Summe der Exponenten von   und   gleich 3 ist. Dies leuchtet ein. Wir nehmen nämlich, wenn wir das Produkt   ausmultiplizieren, aus jedem der Terme   entweder ein   oder ein   (in jeden Summanden kommen insgesamt 3 Faktoren   oder   vor). Die Summe der Exponenten beider Variablen muss also gleich 3 sein. Es müssen so nur noch die Koeffizienten der einzelnen Summanden bestimmt werden.

Wir sind nun bereit für den allgemeinen Fall. Wir wollen wissen:

 

Wir wissen, dass das Ergebnis eine Summe von Potenzen in   und   ist. Die Summe der Exponenten in jedem Summanden ist gleich  . Alle Potenzen besitzen also die Form  , wobei   eine natürliche Zahl ist (die 0 ist mit eingeschlossen). Wir müssen noch die Koeffizienten dieser Potenzen bestimmen. Betrachten wir einige Beispiele. Der Koeffizient von   muss 1 sein. Denn wenn wir diese Potenz erhalten wollen, müssen wir aus allen Termen   die Variable   wählen:

 

Analog ist auch der Koeffizient für   1. Doch wie lautet allgemein der Koeffizient für den Term  ? Dazu müssen wir aus den   Termen    -mal die Variable   und  -mal die Variable   wählen. Doch wie viele Möglichkeiten gibt es aus   Termen  -mal eine Variable auszuwählen? Fällt dir etwas auf? Genau, dies ist der im vorherigen Abschnitt diskutierte Binomialkoeffizient  ! Dementsprechend ist der Koeffizient von   gleich   (Deshalb auch der Name: Binomialkoeffizient!). Wir erhalten:

Satz (Der binomische Lehrsatz)

Für alle reellen Zahlen   und   und für alle natürlichen Zahlen   gilt:

 

Folgerungen aus dem binomischen LehrsatzBearbeiten

Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes kannst du nun weitere Antworten auf Fragen der Kombinatorik finden. Stell dir vor, du hast eine beliebige, endliche Menge   gegeben. Wie viele Teilmengen kannst du aus dieser Menge bilden? Wir wissen bereits, dass die Anzahl der  -elementigen Teilmengen von   dem Binomialkoeffizienten   entspricht (  ist die Anzahl der Elemente der Menge  ). Um die Gesamtzahl aller Teilmengen der Menge   zu finden, müssen wir die Summe über die Anzahl aller  -elementigen Teilmengen von   mit   bilden. Wir erhalten (Anmerkung:   ist Potenzmenge von  , also die Menge aller Teilmengen von  . Dementsprechend ist   die Anzahl aller Teilmengen von  .):

 

Frage: Was ist das Ergebnis der obigen Summe? Vergleiche dazu die obige Summe mit dem binomischen Lehrsatz!

Die obige Summe entsteht aus dem binomischen Lehrsatz für   und  . Dementsprechend ist  .

Satz (Größe der Potenzmenge einer endlichen Menge)

Sei   eine beliebige endliche Menge. Dann ist  .

Und wie sieht es mit der folgenden Summe aus?

 

Frage: Wie lautet das Ergebnis der obigen Summe?

Die obige Summe entsteht aus dem binomischen Lehrsatz für   und  . Das Ergebnis der Summe lautet dementsprechend: