Potenzmenge – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

DefinitionBearbeiten

Erklärung und Beispiele zur Potenzmenge (Video vom Podcast The Wicked Mu)
 
Die Potenzmenge der Menge  

Die Potenzmenge   einer Menge   ist die Menge aller Teilmengen der Menge  . Es ist also  . Neben   sind noch die Schreibweisen   und   gebräuchlich.

Einfach ausgedrückt: Die Potenzmenge ist die Menge aller möglichen Kombinationen der einzelnen Elemente einer Menge. Im vorherigen Kapitel wurde bereits die Teilmenge erläutert. Die Potenzmenge umfasst alle möglichen Teilmengen, die sich aus den Elementen von   bilden lassen. Dazu zählt auch die leere Menge  .

 

Definition (Potenzmenge)

Die Potenzmenge   einer Menge   ist die Menge aller Teilmengen dieser Menge:

 

Hinweis

Es ist  , was man nicht mit der leeren Menge   verwechseln darf.   ist die einelementige Menge, die die leere Menge als einziges Element enthält.

BeispieleBearbeiten

Wenden wir die Definition nun in einem Beispiel an. Gegeben sei die Menge   folgender Instrumente:

 

  besitzt zwei Elemente. Damit kommen als Teilmengen von   nur solche Mengen infrage, die entweder null, eins oder zwei Elemente enthalten. Insgesamt wirst du für   folgende vier Teilmengen finden:

  1. Die leere Menge ist die einzige Teilmenge von   ohne Elemente:  .
  2. Die zwei einelementigen Teilmengen von   sind   und  :
    1.  
    2.  
  3. Als einzige zweielementige Teilmenge von   kommt die Menge selbst infrage:  

Alle vier Teilmengen können wir nun in die Potenzmenge   zusammenfassen:

 

Weitere Beispiele sind:

Beispiel (Potenzmenge)

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In der folgenden Animation ist die Erstellung der Potenzmenge   dargestellt:

 

Eigenschaften und VerständnisfragenBearbeiten

Wenn du dir die obigen Beispiele anschaust, dann ist die Anzahl der Elemente der bisherigen Potenzmengen stets eine Potenz von  . Dies ist nicht verwunderlich, denn es gilt allgemein:

Satz (Größe der Potenzmenge einer endlichen Menge)

Sei   eine beliebige endliche Menge mit   Elementen. Dann hat die Potenzmenge   genau   Elemente.

Beweis (Größe der Potenzmenge einer endlichen Menge)

Um eine Teilmenge   zu bilden, ist für jedes der   Elemente von   zu entscheiden, ob es zur Teilmenge   gehört oder nicht. Daher gibt es dafür genau   Möglichkeiten.

Bei dem obigen Instrumentenbeispiel ist beispielsweise  . Damit muss die Potenzmenge   Elemente besitzen. Die Beispielmenge   hat drei Elemente und acht Teilmengen (x, y und z seien alle verschieden).

Verständnisfrage: Wie sehen folgende Potenzmengen aus? Wie viele Elemente besitzen die Potenzmengen?

  1.  
  2.  
  3.  

Antwort:

  1.  , die Potenzmenge besitzt zwei Elemente.
  2.  , die Potenzmenge besitzt vier Elemente.
  3.  , die Potenzmenge besitzt ein Element.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussageformen sind für alle Mengen   erfüllt?

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Antworten:

  1. Allgemeingültige Aussageform
  2. Nicht allgemeingültige Aussageform
  3. Nicht allgemeingültige Aussageform
  4. Allgemeingültige Aussageform
  5. Allgemeingültige Aussageform
  6. Allgemeingültige Aussageform

Begründungen für die Antworten:

  1. Für jede Menge   ist  . Jede Menge   ist also eine Teilmenge von sich selbst. Damit ist nach Definition auch stets  .
  2. Nimm als Gegenbeispiel  . Es ist   die zweielementige Menge  . Nun ist genau dann  , wenn   ein Element von   ist. Es ist zwar   aber  . Die Potenzmenge   besteht nämlich nur aus den beiden Mengen   und  , die beide ungleich   sind (beachte  . Also kann   keine Teilmenge von   sein. Zwar ist jede Menge Teilmenge von sich selbst, aber nicht jede Menge ist Teilmenge seiner Potenzmenge.
  3. Nimm als Gegenbeispiel  . Es ist  . Die leere Menge   ist also das einzige Element von  . Damit ist aber   (die Menge der leeren Menge) kein Element von  .
  4. Es ist genau dann  , wenn   ist. Wir haben bereits gesehen, dass   stets Element von seiner Potenzmenge   ist. Damit ist die Aussageform allgemeingültig.
  5. Es ist   für jede Menge  . Demnach ist auch   für alle Mengen  .
  6. Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge. Da auch   eine Menge ist, ist auch  .

Verständnisfrage: Wie sieht die Menge   aus?

Die leere Menge ist die einzige Teilmenge der leeren Menge und deswegen ist  . Die einelementige Menge   hat die zwei Teilmengen   und  . Also ist  .

Verständnisfrage: Wie viele Elemente besitzt die Menge  ?

Um die Anzahl der Elemente zu bestehen, können wir schrittweise vorgehen:

  1.   besitzt null Elemente. Damit besitzt   Element.
  2.   besitzt dann   Elemente.
  3.   besitzt dann   Elemente.

Die Menge besitzt also vier Elemente.