Teilmenge und echte Teilmenge – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Beziehungen zwischen Mengen

Stelle dir zwei Mengen $A$ und $B$ in einem Mengendiagramm vor. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie diese beiden Mengen zueinander liegen können. $A$ und $B$ könnten sich überlappen, $A$ könnte komplett in $B$ liegen oder es gibt eine andere Lage zueinander. Einige dieser Zusammenhänge treten so häufig in der Mathematik auf, dass sie eigene Bezeichnungen bekommen haben. Diese sind:

Mengendiagramm	Bezeichnung
	$A$ ist eine Teilmenge von $B$
	$A$ und $B$ sind disjunkte Mengen.

Teilmenge

Definition und Beispiele

Teilmenge: Definition und Beispiele (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Die regulären Polygone bilden eine Teilmenge der Polygone.

Mengendiagramm für $A\subseteq B$

Erklärungen zur Ober- und Untermenge (Youtube-Video der Khan Academy Deutsch)

Wenn alle Elemente einer Menge $A$ auch Elemente einer Menge $B$ sind, so wird $A$ eine Teilmenge der Menge $B$ genannt. Hierfür schreibt man $A\subseteq B$. Es ist also $A$ genau dann eine Teilmenge von $B$, wenn sie einen Teil der Menge von $B$ umfasst. Betrachte hierzu die folgenden zwei Mengen:

${\begin{aligned}A&=\{x\,|\,x{\text{ ist ein Streichinstrument}}\}\\&=\{{\text{Geige, Viola, Cello}},\ldots \}\\[0.2em]B&=\{x\,|\,x{\text{ ist ein Instrument}}\}\\&=\{{\text{Trommel, Geige, Viola, Gitarre, Cello, Klavier}},\ldots \}\end{aligned}}$

Da alle Streichinstrumente auch Instrumente sind, sind alle Elemente von $A$ auch Elemente von $B$. Damit ist $A$ eine Teilmenge von $B$. Weitere Sprechweisen für $A\subseteq B$ sind:

$A$ ist eine Untermenge von $B$

und

$B$ ist eine Obermenge von $A$

Erläutern wir diese Sprechweise noch einmal an dem Beispiel von gerade eben. Zweifellos wird man erkennen, dass die Menge der Instrumente $B$ alle Streichinstrumente aus $A$ umfasst und darüber hinaus noch weitere Elemente enthält. Ordnen wir die Mengen $A$ und $B$ nun nach der Allgemeinheit ihrer Bezeichnung an (absteigend von allgemein nach spezifisch):

1. Menge $B$: Instrumente
2. Menge $A$: Streichinstrumente

„Instrument“ ist ein Oberbegriff für „Streichinstrumente“. Dementsprechend muss $B$ eine Obermenge von $A$ sein. Analog ist „Streichinstrumente“ ein Unterbegriff von „Instrumente“, weswegen $A$ auch eine Untermenge von $B$ ist. Du kannst es dir auch räumlich vorstellen: die Menge $B$ steht über $A$ und ist daher eine Obermenge von $A$, während $A$ als Untermenge unter $B$ steht. Bei unterschiedlichen Mengen umfasst also die größere Obermenge die kleinere Untermenge.

Auch die gegenteilige Beziehung von zwei Mengen ist mathematisch darstellbar. Möchtest du etwa betonen, dass $A$ keine Teilmenge der Menge $B$ ist, so kannst du $A\nsubseteq B$ schreiben. Beispiel:

$\{{\text{Geige, Viola, Cello, Klavier}}\}\nsubseteq \{{\text{Viola, Cello, Klavier}}\}$

Fassen wir das bereits Gesagte in einer Definition zusammen:

Definition (Teilmenge)

Die Menge $A$ ist eine Teilmenge der Menge $B$ genau dann, wenn alle Elemente der Menge $A$ auch Elemente der Menge $B$ sind. Man schreibt $A\subseteq B$, wenn $A$ eine Teilmenge von $B$ ist.

Es ist also:

$A\subseteq B\iff \forall x:(x\in A\Rightarrow x\in B)$

Mit Erklärung:

${\begin{array}{c}\underbrace {A\subseteq B} _{A{\text{ ist Teilmenge von }}B}\\[2em]\underbrace {\iff } _{\text{ genau dann, wenn }}\\[2em]\underbrace {\forall x:(x\in A\Rightarrow x\in B)} _{{\text{Für alle }}x{\text{ gilt: Wenn }}x{\text{ ein Element von }}A{\text{ ist, dann ist es auch ein Element von }}B}\end{array}}$

Einige Beispiele:

Beispiel (Teilmenge)

1. $\{5,\,\pi \}\subseteq \{4,\,\pi ,\,-1,\,5\}$
2. $\{5,\,\pi \}\nsubseteq \{4,\,\pi ,\,-1\}$
3. $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z}$
4. $\{5,\,-1\}\nsubseteq \{z\in \mathbb {Z} \,|\,z<0\}$
5. $\{\pi ,\,3,\,0\}\subseteq \{\pi ,\,3,\,0\}$

Anmerkungen zu den Beispielen:

Beispiel 3: $\mathbb {N}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen und $\mathbb {Z}$ die Menge der ganzen Zahlen. Da jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist, ist $\mathbb {N}$ eine Teilmenge von $\mathbb {Z}$.

Beispiel 4: $\{z\in \mathbb {Z} \,|\,z<0\}$ ist die Menge aller negativen, ganzen Zahlen. Da $5$ nicht negativ ist, ist $5\notin \{z\in \mathbb {Z} \,|\,z<0\}$ und damit $\{5,\,-1\}$ keine Teilmenge von $\{z\in \mathbb {Z} \,|\,z<0\}$.

Beispiel 5: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst (siehe spätere Verständnisfrage).

Das fünfte Beispiel zeigt exemplarisch, dass jede Menge Teilmenge von sich selbst ist. Es ist also $M\subseteq M$ für alle Mengen $M$. Folglich:

$\{x\,|\,x{\text{ ist ein Instrument}}\}\subseteq \{x\,|\,x{\text{ ist ein Instrument}}\}$

Instrumente sind somit eine Teilmenge von Instrumente. Im ersten Moment mag dies ungewohnt klingen. Für die Mathematik hat sich diese Konvention aber als sinnvoll erwiesen, weil so unnötige Fallunterscheidungen, ob zwei Mengen gleich sind oder nicht, vermieden werden. Mit dem Begriff der echten Teilmenge (siehe unten) gibt es einen Begriff, der die Gleichheit der beiden Mengen ausschließt.

Verständnisfrage: Warum ist jede Menge Teilmenge von sich selbst?

Damit $M\subseteq M$ ist, muss nach Definition gelten:

Jedes Element aus $M$ ist auch Element aus $M$

Dies ist aber für alle Mengen $M$ erfüllt.

Identität von Mengen zeigen

Um die Identität zweier Mengen $A$ und $B$ zu zeigen, geht man häufig in zwei Schritten vor. Man zeigt zunächst, dass $A$ eine Teilmenge von $B$ ist, und später im zweiten Schritt, dass $B$ eine Teilmenge von $A$ ist. Für zwei Mengen $A$ und $B$ gilt nämlich folgende Äquivalenz:

$A=B\ \Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A$

Satz (Identität von Mengen)

Zwei Mengen $A$ und $B$ sind genau dann identisch, wenn $A$ eine Teilmenge von $B$ und $B$ eine Teilmenge von $A$ ist.

Verdeutlichen wir uns diese Tatsache erneut an einem Beispiel. Nehme hierzu die beiden Mengen:

${\begin{aligned}A&=\{{\text{Geige, Viola, Cello, Klavier}}\}\\B&=\{{\text{Viola, Klavier, Cello, Geige, Klavier}}\}\end{aligned}}$

Damit $A$ eine Teilmenge von $B$ ist, müssen alle Instrumente aus der ersten Menge auch in der zweiten enthalten sein. Analog müssen alle Instrumente der zweiten Menge auch in der ersten Menge enthalten sein, damit die zweite Menge eine Teilmenge der ersten Menge ist. Dies ist genau dann und nur dann möglich, wenn beide Mengen identisch sind.

Beweis (Identität von Mengen)

Nach dem Extensionalitätsprinzip für Mengen gilt:

${\begin{aligned}A=B&\Leftrightarrow \forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B)\\&\quad {\color {Gray}\left\downarrow \ X\Leftrightarrow Y{\text{ ist nach Definition }}X\Rightarrow Y\land Y\Rightarrow X\right.}\\&\Leftrightarrow \forall x((x\in A\Rightarrow x\in B)\land (x\in B\Rightarrow x\in A))\\&\quad {\color {Gray}\left\downarrow \ \forall x(C(x)\land D(x)){\text{ ist äquivalent zu }}\forall x:C(X)\land \forall x:D(x)\right.}\\&\Leftrightarrow \forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\land \forall x(x\in B\Rightarrow x\in A)\\&\quad {\color {Gray}\left\downarrow \ \forall x(x\in X\Rightarrow x\in Y){\text{ bedeutet }}X\subseteq Y\right.}\\&\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A\end{aligned}}$

Transitivität der Teilmengenbeziehung

Transitivität der Teilmengenbeziehung (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Wenn A eine Teilmenge von B und B eine Teilmenge von C ist, ist A auch eine Teilmenge von C

Es ist auch möglich, mehrere Teilmengenbeziehungen hintereinander aufzuführen:

$\{{\text{Geige, Viola}}\}\subseteq \{{\text{Geige, Viola, Cello}}\}\subseteq \{{\text{Geige, Viola, Cello, Klavier}}\}$

Diese Schreibweise ergibt Sinn, weil aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ folgt, dass $A\subseteq C$ ist. Obige Teilmengenkette impliziert also:

$\{{\text{Geige, Viola}}\}\subseteq \{{\text{Geige, Viola, Cello, Klavier}}\}$

Dieser Zusammenhang ist in allgemeiner Form auch im Bild rechts dargestellt. Die beschriebene Eigenschaft nennt man „Transitivität der Teilmengenbeziehung“:

Satz (Transitivität der Teilmengenbeziehung)

Die Teilmengenbeziehung ist transitiv. Das bedeutet, dass wenn $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ ist, auch $A\subseteq C$ ist.

Beweis (Transitivität der Teilmengenbeziehung)

Sei $x\in A$ beliebig. Wegen $A\subseteq B$ ist $x\in B$. Wegen $B\subseteq C$ ist $x\in C$. Damit ist jedes Element aus $A$ auch Element aus $C$, was zu beweisen war.

Echte Teilmenge

Definition und Erklärung

Erklärungen und Beispiele zur echten Teilmenge (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Die Menge {Trommel, Spielkarte} ist eine echte Teilmenge der Menge {Gitarre, Spielkarte, Digitalkamera, Trommel}

Ist eine Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $B$ und $A\neq B$, so nennt man $A$ eine echte Teilmenge der Menge $B$. Um deutlich zu machen, dass $A$ eine echte Teilmenge von $B$ ist, schreibt man $A\subsetneq B$.

Definition (Echte Teilmenge)

Die Menge $A$ ist eine echte Teilmenge der Menge $B$ genau dann, wenn $A$ eine Teilmenge der Menge $B$ und $A$ nicht identisch mit $B$ ist. Die Schreibweise ist hierfür $A\subsetneq B$.

Oben haben wir bereits gesehen, dass jede Menge Teilmenge von sich selbst ist. Beispielsweise ist:

$\{{\text{Geige, Viola, Cello, Klavier}}\}\subseteq \{{\text{Geige, Viola, Cello, Klavier}}\}$

Beide Mengen sind identisch, da die darin enthaltenen Elemente exakt übereinstimmen. Umgangssprachlich sollte aber ein „Teil“ nicht identisch mit dem Ganzen sein. Um bei Teilmengen die Gleichheit beider Mengen auszuschließen, gibt es den Begriff der echten Teilmenge. Im obigen Beispiel liegt demnach keine echte Teilmenge vor. Anders ist es dagegen im folgenden Beispiel:

$\{{\text{Geige, Viola, Cello}}\}\subsetneq \{{\text{Geige, Viola, Cello, Klavier}}\}$

Der Unterschied wird anhand der Schreibweise deutlich:

Schreibweise	Bedeutung	Bemerkung
$A\subseteq B$	$A$ ist eine Teilmenge von $B$	der Fall $A=B$ ist hier möglich
$A\subsetneq B$	$A$ ist eine echte Teilmenge von $B$	hier ist garantiert $A\neq B$, es gibt also ein Element $b\in B$ mit $b\notin A$

Hinweis

In mathematischer Literatur findet man auch die Schreibweise $A\subset B$. Jedoch wird diese Schreibweise nicht in einer einheitlichen Definition gebraucht. So verwenden einige Autoren diese Schreibweise in der Bedeutung „$A$ ist eine Teilmenge von $B$“ und andere in der Bedeutung „$A$ ist eine echte Teilmenge von $B$“. Wegen dieser Uneindeutigkeit werden wir in diesem Buch auf diese Schreibweise verzichten.

Satz (echte Teilmengenbeziehung)

Ist $A$ eine echte Teilmenge von $B$, so hat $B$ wenigstens ein zusätzliches Element, formalisiert:

$A\subsetneq B\implies \exists x\in B:x\notin A$

Beweis (echte Teilmengenbeziehung)

Sei $A$ eine echte Teilmenge von $B$. Dann ist insbesondere $A\subseteq B$. Wäre $\forall x\in B:x\in A$, gälte $B\subseteq A$ und somit $A=B$, da bereits $A\subseteq B$ ist. Also gilt $\neg \forall x\in B:x\in A$, und nach den Umformungsregeln zum Negieren folgt daraus: $\exists x\in B:x\notin A$.

Beispiele

Betrachte zunächst folgende Beispiele:

Beispiel (echte Teilmenge)

1. $\{5,\,\pi \}\subsetneq \{4,\,\pi ,\,-1,\,5\}$
2. $\{5,\,\pi \}$ ist keine echte Teilmenge der Menge $\{4,\,\pi ,\,-1\}$
3. $\mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C}$
4. $\{\pi ,\,3,\,0\}$ ist keine echte Teilmenge der Menge $\{\pi ,\,3,\,0\}$

Anmerkungen zu den Beispielen:

Beispiel 3: Der hier dargestellte Zusammenhang wird auch oben bei dem Abschnitt zu Venn-Diagrammen schön illustriert.

Beispiel 4: Entspricht dem eingangs erwähnten Instrumentenbeispiel, lediglich werden hier Zahlen statt Instrumente gebraucht.

Um den Unterschied der Begriffe „Teilmenge“ und „echte Teilmenge“ deutlich zu machen, kannst du folgende Mengen betrachten:

${\begin{aligned}A&=\{1,\,11,\,9\}\\B&=\{1,\,11,\,9,\,4,\,8\}\\C&=\{1,\,11,\,9,\,4,\,8\}\end{aligned}}$

$A$ ist eine Teilmenge von $B$ und weil $B$ zusätzliche Elemente besitzt, ist $A$ auch eine echte Teilmenge von $B$. Außerdem ist $C$ auch eine Teilmenge von $B$. Weil aber $B$ und $C$ identisch sind, ist $C$ keine echte Teilmenge von $B$:

• 
  A ist eine echte Teilmenge von B
• 
  C ist keine echte Teilmenge von B

Verständnisfragen zur Teilmenge

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1. $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Q}$
2. $\mathbb {R} \subseteq \mathbb {Q}$
3. $\{1,\,-2\}\subseteq \mathbb {Q} ^{+}$
4. $\{1,\,-2\}\subseteq \mathbb {Q} ^{-}$

Antwort:

1. wahr
2. falsch
3. falsch
4. falsch

Verständnisfrage: Es ist $\forall x\left(A(x)\Rightarrow B(x)\right)$. Ist dann $\{x\,|\,A(x)\}\subseteq \{x\,|\,B(x)\}$ oder $\{x\,|\,B(x)\}\subseteq \{x\,|\,A(x)\}$?

Aus $\forall x\left(A(x)\Rightarrow B(x)\right)$ folgt, dass jedes Objekt $x$, welches die Eigenschaft $A(x)$ erfüllt, auch die Eigenschaft $B(x)$ erfüllt. Damit ist $\{x\,|\,A(x)\}\subseteq \{x\,|\,B(x)\}$ die richtige Antwort.

Wenn du also mal zeigen möchtest, dass für zwei Mengen $\{x\,|\,A(x)\}$ und $\{x\,|\,B(x)\}$ die Beziehung $\{x\,|\,A(x)\}\subseteq \{x\,|\,B(x)\}$ erfüllt ist, so kannst du $\forall x\left(A(x)\Rightarrow B(x)\right)$ zeigen.

Verständnisfrage: Es seien $x$ und $y$ verschiedene Objekte. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

1. $\{x,y\}\in \{x,y\}$
2. $\{x,y\}\subseteq \{x,y\}$
3. $\{x,y\}\subsetneq \{x,y\}$
4. $\{x,y\}\in \{x,y,\{x,y\}\}$
5. $\{x,y\}\subseteq \{x,y,\{x,y\}\}$
6. $\{x,y\}\subsetneq \{x,y,\{x,y\}\}$

Zunächst sollte man sich vergegenwärtigen, was die einzelnen Mengen bedeuten:

• $\{x,y\}$ – die Menge, die die Objekte $x$ und $y$ als Elemente besitzt.
• $\{x,y,\{x,y\}\}$ – die Menge, die die Objekte $x$ und $y$ sowie die Menge $\{x,y\}$ als Elemente besitzt.

Nun kann der Wahrheitswert der einzelnen Aussagen bestimmt werden:

1. $\{x,y\}\in \{x,y\}$ – falsch, da die Menge $\{x,y\}$ kein Element von $\{x,y\}$ ist.
2. $\{x,y\}\subseteq \{x,y\}$ – wahr, weil alle Elemente von $\{x,y\}$ auch Elemente von $\{x,y\}$ sind.
3. $\{x,y\}\subsetneq \{x,y\}$ – falsch, weil $\{x,y\}$ gleich $\{x,y\}$ ist und damit ist $\{x,y\}$ keine echte Teilmenge von $\{x,y\}$.
4. $\{x,y\}\in \{x,y,\{x,y\}\}$ – wahr, weil $\{x,y\}$ ein Element von $\{x,y,\{x,y\}\}$ ist.
5. $\{x,y\}\subseteq \{x,y,\{x,y\}\}$ – wahr, weil alle Elemente von $\{x,y\}$, nämlich die Objekte $x$ und $y$, auch Elemente von $\{x,y,\{x,y\}\}$ sind.
6. $\{x,y\}\subsetneq \{x,y,\{x,y\}\}$ – wahr, weil alle Elemente von $\{x,y\}$, nämlich die Objekte $x$ und $y$, auch Elemente von $\{x,y,\{x,y\}\}$ sind und weil $\{x,y\}$ ungleich $\{x,y,\{x,y\}\}$ ist.

Verständnisfrage: Lässt sich ein Beispiel für zwei Mengen $A$ und $B$ finden, für welche $A\in B$ und $A\subseteq B$ gilt?

Ja. Es ist $A\in B$ und $A\subseteq B$ für $A=\emptyset$ und $B=\left\{\emptyset \right\}$.

Verständnisfrage: Gegeben sei die Menge $A=\{42\}$. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

1. $\{42\}\subseteq A$
2. $\{42\}\subsetneq A$
3. $\emptyset \subseteq A$
4. $\emptyset \subsetneq A$

Antworten:

1. wahre Aussage: $42$ ist in $A$ enthalten und damit ist $\{42\}$ eine Teilmenge von $A$. Alternativ kann man auch argumentieren, dass jede Menge eine Teilmenge von sich selbst ist.
2. falsche Aussage: Die Menge $\{42\}$ ist identisch zu $A$ und damit keine echte Teilmenge von $A$.
3. wahre Aussage: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
4. wahre Aussage: Die leere Menge ist Teilmenge von $A$, aber nicht identisch mit $A$. Damit ist die leere Menge eine echte Teilmenge von $A$.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

1. $\emptyset \subseteq \emptyset$
2. $\emptyset \subsetneq \emptyset$

Antworten:

1. wahre Aussage: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und damit auch eine Teilmenge der leeren Menge.
2. falsche Aussage: Keine Menge ist eine echte Teilmenge von sich selbst. Dies gilt auch für die leere Menge.

Verständnisfrage: Ist die echte Teilmengenbeziehung transitiv?

Ja, wenn $A\subsetneq B$ und $B\subsetneq C$ gilt, dann auch $A\subsetneq C$. Beweis: aus $A\subsetneq B$ folgt $A\subseteq B$ und aus $B\subsetneq C$ folgt $B\subseteq C$. Mit der Transitivität von $\subseteq$ ergibt sich $A\subseteq C$. Wegen $B\subsetneq C$ gibt es ein $c\in C$ mit $c\notin B$. Da aber alle Elemente von $A$ in $B$ liegen, liegt $c\notin A$. Also gilt: $A\subsetneq C$.