Teilmenge und echte Teilmenge – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Beziehungen zwischen MengenBearbeiten

Stelle dir zwei Mengen   und   in einem Mengendiagramm vor. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie diese beiden Mengen zueinander liegen können.   und   könnten sich überlappen,   könnte komplett in   liegen oder es gibt eine andere Lage zueinander. Einige dieser Zusammenhänge treten so häufig in der Mathematik auf, dass sie eigene Bezeichnungen bekommen haben. Diese sind:

Mengendiagramm Bezeichnung
    ist eine Teilmenge von  
    und   sind disjunkte Mengen.

TeilmengeBearbeiten

Definition und BeispieleBearbeiten

Teilmenge: Definition und Beispiele (Video vom Podcast The Wicked Mu)
 
Die regulären Polygone bilden eine Teilmenge der Polygone.
 
Mengendiagramm für  
Erklärungen zur Ober- und Untermenge (Youtube-Video der Khan Academy Deutsch)

Wenn alle Elemente einer Menge   auch Elemente einer Menge   sind, so wird   eine Teilmenge der Menge   genannt. Hierfür schreibt man  . Es ist also   genau dann eine Teilmenge von  , wenn sie einen Teil der Menge von   umfasst. Betrachte hierzu die folgenden zwei Mengen:

 

Da alle Streichinstrumente auch Instrumente sind, sind alle Elemente von   auch Elemente von  . Damit ist   eine Teilmenge von  . Weitere Sprechweisen für   sind:

  ist eine Untermenge von  

und

  ist eine Obermenge von  

Erläutern wir diese Sprechweise noch einmal an dem Beispiel von gerade eben. Zweifellos wird man erkennen, dass die Menge der Instrumente   alle Streichinstrumente aus   umfasst und darüber hinaus noch weitere Elemente enthält. Ordnen wir die Mengen   und   nun nach der Allgemeinheit ihrer Bezeichnung an (absteigend von allgemein nach spezifisch):

  1. Menge  : Instrumente
  2. Menge  : Streichinstrumente

„Instrument“ ist ein Oberbegriff für „Streichinstrumente“. Dementsprechend muss   eine Obermenge von   sein. Analog ist „Streichinstrumente“ ein Unterbegriff von „Instrumente“, weswegen   auch eine Untermenge von   ist. Du kannst es dir auch räumlich vorstellen: die Menge   steht über   und ist daher eine Obermenge von  , während   als Untermenge unter   steht. Bei unterschiedlichen Mengen umfasst also die größere Obermenge die kleinere Untermenge.

Auch die gegenteilige Beziehung von zwei Mengen ist mathematisch darstellbar. Möchtest du etwa betonen, dass   keine Teilmenge der Menge   ist, so kannst du   schreiben. Beispiel:

 

Fassen wir das bereits Gesagte in einer Definition zusammen:

Definition (Teilmenge)

Die Menge   ist eine Teilmenge der Menge   genau dann, wenn alle Elemente der Menge   auch Elemente der Menge   sind. Man schreibt  , wenn   eine Teilmenge von   ist.

Es ist also:

 

Mit Erklärung:

 

Einige Beispiele:

Beispiel (Teilmenge)

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Anmerkungen zu den Beispielen:

Beispiel 3:   ist die Menge der natürlichen Zahlen und   die Menge der ganzen Zahlen. Da jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist, ist   eine Teilmenge von  .

Beispiel 4:   ist die Menge aller negativen, ganzen Zahlen. Da   nicht negativ ist, ist   und damit   keine Teilmenge von  .

Beispiel 5: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst (siehe spätere Verständnisfrage).

Das fünfte Beispiel zeigt exemplarisch, dass jede Menge Teilmenge von sich selbst ist. Es ist also   für alle Mengen  . Folglich:

 

Instrumente sind somit eine Teilmenge von Instrumente. Im ersten Moment mag dies ungewohnt klingen. Für die Mathematik hat sich diese Konvention aber als sinnvoll erwiesen, weil so unnötige Fallunterscheidungen, ob zwei Mengen gleich sind oder nicht, vermieden werden. Mit dem Begriff der echten Teilmenge (siehe unten) gibt es einen Begriff, der die Gleichheit der beiden Mengen ausschließt.

Verständnisfrage: Warum ist jede Menge Teilmenge von sich selbst?

Damit   ist, muss nach Definition gelten:

Jedes Element aus   ist auch Element aus  

Dies ist aber für alle Mengen   erfüllt.

Identität von Mengen zeigenBearbeiten

Um die Identität zweier Mengen   und   zu zeigen, geht man häufig in zwei Schritten vor. Man zeigt zunächst, dass   eine Teilmenge von   ist, und später im zweiten Schritt, dass   eine Teilmenge von   ist. Für zwei Mengen   und   gilt nämlich folgende Äquivalenz:

 

Satz (Identität von Mengen)

Zwei Mengen   und   sind genau dann identisch, wenn   eine Teilmenge von   und   eine Teilmenge von   ist.

Verdeutlichen wir uns diese Tatsache erneut an einem Beispiel. Nehme hierzu die beiden Mengen:

 

Damit   eine Teilmenge von   ist, müssen alle Instrumente aus der ersten Menge auch in der zweiten enthalten sein. Analog müssen alle Instrumente der zweiten Menge auch in der ersten Menge enthalten sein, damit die zweite Menge eine Teilmenge der ersten Menge ist. Dies ist genau dann und nur dann möglich, wenn beide Mengen identisch sind.

Beweis (Identität von Mengen)

Nach dem Extensionalitätsprinzip für Mengen gilt:

 

Transitivität der TeilmengenbeziehungBearbeiten

Transitivität der Teilmengenbeziehung (Video vom Podcast The Wicked Mu)
 
Wenn A eine Teilmenge von B und B eine Teilmenge von C ist, ist A auch eine Teilmenge von C

Es ist auch möglich, mehrere Teilmengenbeziehungen hintereinander aufzuführen:

 

Diese Schreibweise ergibt Sinn, weil aus   und   folgt, dass   ist. Obige Teilmengenkette impliziert also:

 

Dieser Zusammenhang ist in allgemeiner Form auch im Bild rechts dargestellt. Die beschriebene Eigenschaft nennt man „Transitivität der Teilmengenbeziehung“:

Satz (Transitivität der Teilmengenbeziehung)

Die Teilmengenbeziehung ist transitiv. Das bedeutet, dass wenn   und   ist, auch   ist.

Beweis (Transitivität der Teilmengenbeziehung)

Sei   beliebig. Wegen   ist  . Wegen   ist  . Damit ist jedes Element aus   auch Element aus  , was zu beweisen war.

Echte TeilmengeBearbeiten

Definition und ErklärungBearbeiten

Erklärungen und Beispiele zur echten Teilmenge (Video vom Podcast The Wicked Mu)
 
Die Menge {Trommel, Spielkarte} ist eine echte Teilmenge der Menge {Gitarre, Spielkarte, Digitalkamera, Trommel}

Ist eine Menge   eine Teilmenge der Menge   und  , so nennt man   eine echte Teilmenge der Menge  . Um deutlich zu machen, dass   eine echte Teilmenge von   ist, schreibt man  .

Definition (Echte Teilmenge)

Die Menge   ist eine echte Teilmenge der Menge   genau dann, wenn   eine Teilmenge der Menge   und   nicht identisch mit   ist. Die Schreibweise ist hierfür  .

Oben haben wir bereits gesehen, dass jede Menge Teilmenge von sich selbst ist. Beispielsweise ist:

 

Beide Mengen sind identisch, da die darin enthaltenen Elemente exakt übereinstimmen. Umgangssprachlich sollte aber ein „Teil“ nicht identisch mit dem Ganzen sein. Um bei Teilmengen die Gleichheit beider Mengen auszuschließen, gibt es den Begriff der echten Teilmenge. Im obigen Beispiel liegt demnach keine echte Teilmenge vor. Anders ist es dagegen im folgenden Beispiel:

 

Der Unterschied wird anhand der Schreibweise deutlich:

Schreibweise Bedeutung Bemerkung
    ist eine Teilmenge von   der Fall   ist hier möglich
    ist eine echte Teilmenge von   hier ist garantiert  , es gibt also ein Element   mit  

Hinweis

In mathematischer Literatur findet man auch die Schreibweise  . Jedoch wird diese Schreibweise nicht in einer einheitlichen Definition gebraucht. So verwenden einige Autoren diese Schreibweise in der Bedeutung „  ist eine Teilmenge von  “ und andere in der Bedeutung „  ist eine echte Teilmenge von  “. Wegen dieser Uneindeutigkeit werden wir in diesem Buch auf diese Schreibweise verzichten.

Satz (echte Teilmengenbeziehung)

Ist   eine echte Teilmenge von  , so hat   wenigstens ein zusätzliches Element, formalisiert:

 

Beweis (echte Teilmengenbeziehung)

Sei   eine echte Teilmenge von  . Dann ist insbesondere  . Wäre  , gälte   und somit  , da bereits   ist. Also gilt  , und nach den Umformungsregeln zum Negieren folgt daraus:  .

BeispieleBearbeiten

Betrachte zunächst folgende Beispiele:

Beispiel (echte Teilmenge)

  1.  
  2.   ist keine echte Teilmenge der Menge  
  3.  
  4.   ist keine echte Teilmenge der Menge  

Anmerkungen zu den Beispielen:

Beispiel 3: Der hier dargestellte Zusammenhang wird auch oben bei dem Abschnitt zu Venn-Diagrammen schön illustriert.

Beispiel 4: Entspricht dem eingangs erwähnten Instrumentenbeispiel, lediglich werden hier Zahlen statt Instrumente gebraucht.

Um den Unterschied der Begriffe „Teilmenge“ und „echte Teilmenge“ deutlich zu machen, kannst du folgende Mengen betrachten:

 

  ist eine Teilmenge von   und weil   zusätzliche Elemente besitzt, ist   auch eine echte Teilmenge von  . Außerdem ist   auch eine Teilmenge von  . Weil aber   und   identisch sind, ist   keine echte Teilmenge von  :

Verständnisfragen zur TeilmengeBearbeiten

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Antwort:

  1. wahr
  2. falsch
  3. falsch
  4. falsch

Verständnisfrage: Es ist  . Ist dann   oder  ?

Aus   folgt, dass jedes Objekt  , welches die Eigenschaft   erfüllt, auch die Eigenschaft   erfüllt. Damit ist   die richtige Antwort.

Wenn du also mal zeigen möchtest, dass für zwei Mengen   und   die Beziehung   erfüllt ist, so kannst du   zeigen.

Verständnisfrage: Es seien   und   verschiedene Objekte. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Zunächst sollte man sich vergegenwärtigen, was die einzelnen Mengen bedeuten:

  •   – die Menge, die die Objekte   und   als Elemente besitzt.
  •   – die Menge, die die Objekte   und   sowie die Menge   als Elemente besitzt.

Nun kann der Wahrheitswert der einzelnen Aussagen bestimmt werden:

  1.  falsch, da die Menge   kein Element von   ist.
  2.  wahr, weil alle Elemente von   auch Elemente von   sind.
  3.  falsch, weil   gleich   ist und damit ist   keine echte Teilmenge von  .
  4.  wahr, weil   ein Element von   ist.
  5.  wahr, weil alle Elemente von  , nämlich die Objekte   und  , auch Elemente von   sind.
  6.  wahr, weil alle Elemente von  , nämlich die Objekte   und  , auch Elemente von   sind und weil   ungleich   ist.

Verständnisfrage: Lässt sich ein Beispiel für zwei Mengen   und   finden, für welche   und   gilt?

Ja. Es ist   und   für   und  .

Verständnisfrage: Gegeben sei die Menge  . Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Antworten:

  1. wahre Aussage:   ist in   enthalten und damit ist   eine Teilmenge von  . Alternativ kann man auch argumentieren, dass jede Menge eine Teilmenge von sich selbst ist.
  2. falsche Aussage: Die Menge   ist identisch zu   und damit keine echte Teilmenge von  .
  3. wahre Aussage: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
  4. wahre Aussage: Die leere Menge ist Teilmenge von  , aber nicht identisch mit  . Damit ist die leere Menge eine echte Teilmenge von  .

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

  1.  
  2.  

Antworten:

  1. wahre Aussage: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und damit auch eine Teilmenge der leeren Menge.
  2. falsche Aussage: Keine Menge ist eine echte Teilmenge von sich selbst. Dies gilt auch für die leere Menge.

Verständnisfrage: Ist die echte Teilmengenbeziehung transitiv?

Ja, wenn   und   gilt, dann auch  . Beweis: aus   folgt   und aus   folgt  . Mit der Transitivität von   ergibt sich  . Wegen   gibt es ein   mit  . Da aber alle Elemente von   in   liegen, liegt  . Also gilt:  .