Binomialkoeffizient: Rechenregeln – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel stelle ich dir die wichtigsten Eigenschaften des Binomialkoeffizienten vor.

Rechenregeln in der ÜbersichtBearbeiten

Es sei im Folgendem   und   eine natürliche Zahl, wobei   und   hier auch Null sein dürfen. Außerdem sei  . Es gelten nun folgende Regeln:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   für  

Einige der obigen Gleichungen können gut aus der Anschauung des Binomialkoeffizienten erklärt werden, dass   der Anzahl der  -elementigen Teilmengen einer  -elementigen Menge entspricht:

  •   weil eine  -elementige Menge   nur eine  -elementige Teilmenge enthält (nämlich die Menge  ).
  •  . Zu jeder Teilmenge von   mit   Elementen existiert deren Komplement, welches   Elemente enthält. Somit ist die Anzahl der unterschiedlichen Teilmengen gleich.
  •  . Stellen wir uns Mengen   vor, wobei   und   ein zuvor nicht in   enthaltenes Element ist. Dann ist der erste Summand die Anzahl der  -elementigen Teilmengen von   - fügt man aber jeder dieser Mengen das neue Element   hinzu, sind diese nun  -elementige Teilmengen von  . Zusammen mit den  -elementigen Teilmengen ohne   (der zweite Summand), erhalten wir das Ergebnis.

Andere Rechenregeln sind aber nicht so offensichtlich. Hier kann im Beweis auf die Fakultätsdefinition   des Binomialkoeffizienten zurückgegriffen werden.

Pascalsches DreieckBearbeiten

 
Originale Version von Blaise Pascal
 
Der Mathematiker Blaise Pascal

Das pascalsche Dreieck ist eine grafische Anordnung der Binomialkoeffizienten in einem Dreieck:

 

Wenn man die Binomialkoeffizienten ausrechnet, dann ergibt sich folgendes Dreieck:

 

Die Regel   ermöglicht es, den Binomialkoeffizienten als Summe der beiden direkt oberhalb liegenden Binomialkoeffizienten zu berechnen:

Das Besondere am pascalschen Dreieck ist, dass man an ihm direkt die Binomalkoeffizienten und damit die Vorfaktoren beim Ausklammern von Potenzen der Form   ablesen kann. Beispielsweise lautet die Zeile für  :

 

Dies ist die vierte Zeile, weil die erste Zeile im Dreieck zu   gehört. Damit wissen wir ohne Nachrechnen:

 

Der Sinn des pascalschen Dreiecks ist es also, die Vorfaktoren beim Ausklammern von Potenzen der Form   einfach ablesen zu können. Das Dreieck wurde im Übrigen nach Blaise Pascal benannt, der es 1655 in einem seiner Bücher veröffentlichte. Es wurde aber bereits früher von anderen Mathematikern eingesetzt[1].

Beweise zu den RechenregelnBearbeiten

Regel 1 und 2 Bearbeiten

Satz

Es gelten die beiden Formeln   und  .

Beweis

Die obigen Gleichungen ergeben sich durch Ausnutzung der Fakultätsdefinition   des Binomialkoeffizienten:

 

und

 

Regel 3Bearbeiten

Satz

Es ist  .

Wie kommt man auf den Beweis?

Um die notwendigen Termumformungen zu finden, beginnen wir am besten mit dem Term   (weil dieser komplizierter ist als   und deswegen die Umformung von   zu   wahrscheinlich einfacher ist als umgekehrt):

 

Der Term   kann nun vereinfacht werden:

 

Der Term   unterscheidet sich kaum von  . Im Nenner müssen nur noch die beiden Faktoren vertauscht werden:

 

Damit haben wir alle notwendigen Termumformungen für den Beweis gefunden  .

Beweis

Die Formel kann folgendermaßen bewiesen werden:

 

Regel 4Bearbeiten

Satz

Es ist  .

Wie kommt man auf den Beweis?

Zunächst können wir beide Binomialkoeffizienten ausschreiben:

 

Beide erhaltene Terme können soweit wie möglich vereinfacht werden:

 

Die vereinfachten Terme stimmen überein, also müssen auch   und   identisch sein. Im Beweis müssen wir nun die verwendeten Termumformungen aufschreiben, mit denen   in   umgeformt werden kann.

Beweis

Es ist

 

Regel 5Bearbeiten

Satz

Sei   mit  . Es ist dann  .

Wie kommt man auf den Beweis?

Zum Beweis der Gleichung   gehen wir schrittweise vor:

Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem man auf beiden Seiten die Definition   eingesetzt hat?

 

Aufgabe: Versuche durch Termumformungen die gerade gefundene Gleichung zu beweisen.

 

Beweis

Es ist