Reelle Zahlen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation der unterschiedlichen Zahlen Mengen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Reelle Zahlen bilden die Grundlage für dieses Lehrbuch. Schließlich wollen wir uns mit Folgen reeller Zahlen oder mit reellwertigen Funktionen beschäftigen. Bevor wir mit dem Studium der Analysis beginnen, sollten wir uns zunächst fragen: Was sind reelle Zahlen?

Das ist gar keine einfache Frage. Schauen wir uns zunächst auf der Meta-Ebene die Möglichkeiten an, diese zu definieren.

Die Beschreibungsmöglichkeiten reeller Zahlen

Jeder von uns hat bereits eine intuitive Vorstellung, was reelle Zahlen sind, auch wenn nicht alle diese Idee in Worte fassen können. Beispielsweise kann man sich die reellen Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden vorstellen:

Vorstellung der reellen Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden

Unsere Aufgabe besteht darin, diese intuitive Idee in die exakte Sprache der Mathematik zu übersetzen. Dazu haben wir zwei Möglichkeiten: die axiomatische und die konstruktive Beschreibung.

Die axiomatische Beschreibung

In der axiomatischen Beschreibung der Analysis legen wir mit den Axiomen das Fundament, auf dem wir schrittweise die Theoreme der Analysis herleiten.

Bei der axiomatischen Beschreibung wird nicht direkt gesagt, was reelle Zahlen sind, es wird vielmehr nur erklärt, welche Eigenschaften sie haben. Bei dieser Herangehensweise sagen wir: „Die reellen Zahlen sind eine Menge von Objekten, die folgende charakteristische Eigenschaften besitzen: <Aufzählung der Eigenschaften reeller Zahlen>“. Die grundlegenden Eigenschaften werden dabei über Axiome festgelegt. Zur Erinnerung: Ein Axiom ist eine Aussage, die ohne Beweis als wahr angenommen wird. Jedes mathematische Modell, das alle genannten Eigenschaften/Axiome erfüllt, wird als Modell der reellen Zahlen angesehen. Aussagen, die auf Grundlage der Axiome bewiesen werden, werden Theoreme genannt.

Bei der Wahl der Axiome müssen wir darauf achten, dass sie widerspruchsfrei sind. Es muss also mindestens ein Modell geben, das alle Axiome erfüllt. Beispielsweise können wir nicht sagen, dass gleichzeitig $1<0$ als auch $1\geq 0$ gelten soll. Eine solche Struktur kann es nämlich nicht geben. Außerdem sollten die Axiome nachvollziehbar sein, also wirklich Eigenschaften bezeichnen, die wir auch intuitiv den reellen Zahlen zuschreiben.

Des Weiteren müssen ausreichend viele Axiome zur Charakterisierung der reellen Zahlen definiert sein. Bei zu wenigen Axiomen könnten auch Strukturen diese erfüllen, die wir intuitiv nicht als Modell reeller Zahlen ansehen. So ist es beispielsweise nicht ausreichend zu sagen, dass es für die reellen Zahlen eine Addition $+$ mit $x+y=y+x$ für alle $x$ und $y$ gibt. Allein dieses Axiom ist zu wenig, denn die natürlichen Zahlen erfüllen diese Eigenschaft auch. Sie sind für uns aber kein Modell reeller Zahlen.

Außerdem soll eine gewisse Sparsamkeit beachtet werden: Es sollten keine Axiome unnötig definiert werden. Dies bedeutet, dass keine Eigenschaften als Axiome benannt werden, die sich bereits aus anderen Axiomen herleiten lassen. Wenn also aus den Axiomen $A_{1}$ und $A_{2}$ bereits folgt, dass auch die Eigenschaft $E$ erfüllt sein muss, dann wird $E$ nicht extra als Axiom definiert.

Die konstruktive Beschreibung

Bei der konstruktiven Beschreibung werden die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruiert. Das bedeutet, dass durch ein gewisses Verfahren aus rationalen Zahlen neue Objekte geschaffen werden, welche man danach als reelle Zahlen definiert.

Anders als bei der axiomatischen Beschreibung, welche die reellen Zahlen nur durch ihre Eigenschaften beschreibt, kann man beim konstruktiven Verfahren genau sagen, was die reellen Zahlen sind. Es sind genau die Objekte, die durch das Konstruktionsverfahren entstanden sind. Die Eigenschaften der reellen Zahlen müssen bei dieser Beschreibung auch nicht durch Axiome definiert werden, sondern ergeben sich aus den Eigenschaften der konstruierten Objekte.

Es gibt mehrere Konstruktionsverfahren der reellen Zahlen. Die dabei entstandenen Strukturen sind jedoch äquivalent in dem Sinne, dass sie dieselben Eigenschaften haben (man nennt solche Strukturen „isomorph“).

Der Zusammenhang beider Beschreibungen

Beide Vorgehensweisen liefern am Ende dieselben Ergebnisse. Wenn man für ein konstruiertes Modell alle diejenigen Eigenschaften nachweisen kann, die man als Axiome in der axiomatischen Beschreibung definiert hat, dann besitzt das Modell auch die Eigenschaften, die man aus den Axiomen hergeleitet hat. Wenn man umgekehrt in der konstruierten Beschreibung nur diejenigen Eigenschaften des Modells für spätere Argumentationen heranzieht, die man in der axiomatischen Beschreibung als Axiome definieren würde, dann kann man auch alle mit dem Modell bewiesenen Sätze in der axiomatischen Beschreibung beweisen.

Es ist also egal, welchen Weg wir wählen. Zu Beginn gehen wir den Weg der axiomatischen Beschreibung, weil er leichter zu verstehen ist (für die konstruktive Beschreibung brauchen wir Konzepte, die Studienanfänger in der Regel noch nicht oder nicht ausreichend kennen).

Zusammenfassung: Weg zur axiomatischen Beschreibung reeller Zahlen

Um die Axiome der reellen Zahlen zu finden, kann man folgendermaßen vorgehen:

1. Intuitive Idee entwickeln: Zunächst brauchen wir eine intuitive Idee der reellen Zahlen. Hierzu können wir beispielsweise auf die intuitive Idee zurückgreifen, dass reelle Zahlen Punkte auf der Zahlengeraden sind.
2. Axiome definieren: Nun müssen alle Axiome definiert werden. Dazu müssen wir folgende Punkte beachten:
   • Nachvollziehbarkeit: Die Axiome sollten sinnvoll sein. Das bedeutet, dass jedes Axiom intuitiv nachvollziehbar ist.
   • Widerspruchsfreiheit: Die Axiome müssen in sich widerspruchsfrei sein. Das kann implizit dadurch gezeigt werden, dass ein konkretes Modell der reellen Zahlen konstruiert werden kann. Damit es ein Modell der reellen Zahlen geben kann, müssen die Axiome nämlich in sich widerspruchsfrei sein.
   • Vollständigkeit: Sobald ein Modell alle Axiome erfüllt, sollte es unserer intuitiven Vorstellung von reellen Zahlen entsprechen. Alle Theoreme über reelle Zahlen müssen wir aus den Axiomen herleiten können.
   • Sparsamkeit: Kein Axiom kann aus den anderen hergeleitet werden.
3. Begriffe definieren und Theoreme beweisen: Aufbauend auf den Axiomen werden wir Grundbegriffe der Analysis einführen und die Theoreme der Analysis beweisen.

In der Analysis werden alle Theoreme mit Hilfe der Axiome reeller Zahlen bewiesen. Dabei wird es zwangsweise vorkommen, dass wir Konzepte einführen oder Sätze beweisen, die schon aus der Schule bekannt sind – wie die Gleichung $1\cdot 0=0$. Bei diesen Beweisen ist es wichtig, dass wir nur solche Eigenschaften reeller Zahlen heranziehen, die entweder in den Axiomen definiert wurden oder die wir bereits bewiesen haben. Bekannte Tatsachen aus der Schule dürfen nicht ohne weiteres verwendet werden!

Die Axiome der reellen Zahlen können in drei Gruppen aufgeteilt werden: Die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom.

Die Körperaxiome

Mit den Körperaxiomen wird die Addition und Multiplikation, also die arithmetische Struktur der reellen Zahlen, definiert. Die reellen Zahlen sind Objekte, die addiert und multipliziert werden können, wobei die grundlegenden Eigenschaften der Additionen und Multiplikationen genannt werden. Die Subtraktion und die Division werden auf die Addition beziehungsweise die Multiplikation zurückgeführt. Diese Axiomengruppe beschreibt, wie man mit reellen Zahlen rechnen kann.

Definition (Körperaxiome)

Auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind zwei Operationen $+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ und $\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definiert. Diese erfüllen folgende Eigenschaften:

• Eigenschaften der Addition:
  • Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x+(y+z)=(x+y)+z$.
  • Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x+y=y+x$.
  • Existenz der Null: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $0\in \mathbb {R}$, für die $0+x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
  • Existenz des Negativen: Für jede reelle Zahl $x$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $-x$ mit $x+(-x)=0$.
• Eigenschaften der Multiplikation:
  • Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$.
  • Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x\cdot y=y\cdot x$.
  • Existenz der Eins: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $1\in \mathbb {R}$ mit $1\neq 0$, für die $1\cdot x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
  • Existenz des Inversen: Für jede reelle Zahl $x\neq 0$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $x^{-1}$ mit $x\cdot x^{-1}=1$.
• Distributivgesetz: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.

Die Anordnungsaxiome

Die Anordnungsaxiome beschreiben die lineare Ordnung der reellen Zahlen. Die reellen Zahlen sind also Objekte, die man miteinander vergleichen kann, wobei für zwei verschiedene reelle Zahlen entweder die eine Zahl größer ist als die andere oder umgekehrt. Dadurch ergibt sich ein wesentlicher Zusammenhang der Struktur der reellen Zahlen mit der einer Geraden, da auch die Punkte einer Geraden in natürlicher Art und Weise geordnet sind. Diese Axiomengruppe ist also wesentlich für die Vorstellung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden. In dieser Axiomengruppe wird auch definiert, wie die Operationen der Addition und Multiplikation mit der Ordnungsstruktur in Verbindung stehen.

Die Ordnung der reellen Zahlen kann dadurch beschrieben werden, dass wir alle positiven Zahlen kennen. Wenn $x$ eine positive Zahl ist, schreiben wir $0<x$. Die Positivität der reellen Zahlen wird dabei über die Anordnungsaxiome definiert:

Definition (Anordnungsaxiome)

Die Anordnungsaxiome lauten

• Trichotomie der Positivität: Für alle reellen Zahlen $x$ gilt entweder $0<x$ oder $x=0$ oder $0<-x$. Mit den Abkürzungen "$\forall$" für "für alle" und "${\dot {\lor }}$" für "entweder oder" können wir dies schreiben als
  $\forall x\in \mathbb {R} :0<x\ {\dot {\lor }}\ 0=x\ {\dot {\lor }}\ 0<-x$
• Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Für alle reellen Zahlen $a$ und $b$ gilt: Wenn $0<a$ und $0<b$ ist, dann ist auch $0<a+b$. In Zeichen:
  $\forall a,b\in \mathbb {R} :0<a\land 0<b\implies 0<a+b$
• Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $a$ und $b$ gilt: Wenn $0<a$ und $0<b$ ist, dann ist auch $0<ab$. In Zeichen:
  $\forall a,b\in \mathbb {R} :0<a\land 0<b\implies 0<ab$

Mit Hilfe der Positivitätseigenschaft $0<x$ können wir die Kleiner-Relation definieren:

Definition (Kleiner-Relation)

Die Kleiner-Relation $x<y$ ist durch folgende Äquivalenz definiert:

$x<y:\iff 0<y-x$

Es ist also genau dann $x$ kleiner als $y$, wenn die Differenz $y-x$ positiv ist. Über die Kleiner-Relation können wir alle weiteren Ordnungsrelationen definieren:

Definition (Weitere Ordnungsrelationen auf Grundlage der Kleiner-Relation)

Für die reellen Zahlen sind außerdem die Relationen $\geq$, $\leq$ und $>$ über folgende Äquivalenzen definiert:

• $x\leq y:\iff x<y\lor x=y$
• $x\geq y:\iff y<x\lor x=y$
• $x>y:\iff y<x$

Das Vollständigkeitsaxiom

Das Vollständigkeitsaxiom beschreibt den Übergang beziehungsweise den markanten Unterschied zwischen den rationalen und den reellen Zahlen. Während die obigen beiden Axiomengruppen noch durch die Menge der rationalen Zahlen erfüllt werden, gilt dies nicht mehr für das Vollständigkeitsaxiom. Der Grund dafür ist, dass es im Zahlenbereich der rationalen Zahlen „Lücken“ wie ${\sqrt {2}}$ gibt. Diese Lücken können zwar beliebig durch rationale Zahlen approximiert werden, sind aber selbst keine rationalen Zahlen mehr. Bei den reellen Zahlen gibt es solche Lücken nicht, weil das Vollständigkeitsaxiom die Existenz von Lücken ausschließt. Wenn man irgendetwas beliebig durch reelle Zahlen annähern kann, so existiert dieses „irgendetwas“ und ist wieder eine reelle Zahl.

Eine Approximation einer Zahl kann durch eine Intervallschachtelung realisiert werden. Diese ist eine Folge von Intervallen, die ineinander liegen und deren Länge gegen Null streben:

Eine Intervallschachtelung

Eine Intervallschachtelung dient als Approximation einer reellen Zahl. Jedes Intervall schränkt den Bereich ein, in dem die zu approximierende Zahl liegt und im Laufe der Intervallschachtelung wird dieser Bereich immer kleiner. Das Intervallschachtelungsprinzip garantiert, dass durch jede Intervallschachtelung mindestens eine Zahl approximiert wird:

Definition (Allgemeines Intervallschachtelungsprinzip)

Zu jeder allgemeinen Intervallschachtelung $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$... existiert eine reelle Zahl, die in allen Intervallen liegt und damit von allen Intervallen approximiert wird.

Dieses Vollständigkeitsaxiom beschreibt, dass die Menge der reellen Zahlen keine „Lücken“ besitzt. Um zu beschreiben, dass die reellen Zahlen die kleinstmögliche Erweiterung sind, um die Lücken der rationalen Zahlen zu füllen, müssen wir das Intervallschachtelungsprinzip um ein weiteres Axiom ergänzen. Hierzu müssen wir ausschließen, dass es unendlich kleine bzw. unendlich großen Zahlen gibt. Eine positive Zahl $y$ wäre im Vergleich zu einer positiven Zahl $x$ unendlich groß, wenn $y$ größer als alle Vielfachen von $x$ wäre, wenn also keine der Vielfachen $x,2x,3x,4x,\ldots$ jemals über $y$ hinauswächst. Für alle natürlichen Zahlen $n$ wäre also $nx<y$. Dies wollen wir nun ausschließen. Für je zwei positive Zahlen $x$ und $y$ soll es also mindestens eine natürliche Zahl $n$ mit $nx\geq y$ geben. Genau diese Eigenschaft beschreibt das archimedische Axiom:

Definition (Das Archimedische Axiom)

Für alle reellen Zahlen $x,y>0$ gibt es eine natürliche Zahl $n$, so dass $nx\geq y$ ist. Mit den Abkürzungen "$\forall$" für "für alle" und "$\exists$" für "es gibt" liest sich dies als

$\forall x>0,y>0\,\exists n\in \mathbb {N} :nx\geq y$

Mit Hilfe des Vollständigkeitsaxioms kann man zeigen, dass reelle Zahlen beliebig durch rationale Zahlen angenähert werden können. Diese Eigenschaft ist wesentlich, denn sie ermöglicht das Rechnen mit rationalen Zahlen anstelle von reellen Zahlen. Beispielsweise werden Computerberechnungen in der Regel nur mit rationalen Zahlen durchgeführt. Solche Rechnungen sind zwar fehleranfällig, ihre Fehler können aber in der Regel beliebig klein gemacht werden.