Polarform bzw. Polardarstellung komplexer Zahlen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

MotivationBearbeiten

Das Rechnen mit komplexen Zahlen der Form   ist uns bereits bekannt. Die Multiplikation komplexer Zahlen kann jedoch zeitaufwändig sein, da zunächst Klammern aufgelöst werden müssen. So ergibt sich folgender Rechenweg, um das Produkt   zu bestimmen:

 

Es ist nicht direkt ersichtlich, was das Produkt zweier komplexer Zahlen der Form   ist. Man muss zuerst die Klammern auflösen und dann die Produkte zusammenfassen. Damit eng verknüpft ist auch die Wurzelbestimmung   schwierig. Da dieser Ausdruck eine Wurzel einer Summe ist, kann er nicht vereinfacht werden.

Mit der Polardarstellung gibt es eine andere Form, mit der komplexe Zahlen aufgeschrieben werden können. In dieser Darstellung können komplexe Zahlen schneller multipliziert werden und es kann leichter eine Wurzel gezogen werden. Dass durch die Änderung der Darstellung Berechnungen leichter durchgeführt werden können, sieht man am Beispiel der Primfaktorzerlegung. Während man beispielsweise bei den Zahlen   und   nicht direkt sieht, was ihr größter gemeinsamer Teiler ist, ist dies in der Primfaktorzerlegung beider Zahlen einfacher. Mit   und   ist der größte gemeinsame Teiler gleich  , da   und   die gemeinsamen Teiler sind. Ähnlich vereinfacht die Polardarstellung die Multiplikation und das Wurzelziehen komplexer Zahlen.

Was macht die Multiplikation?Bearbeiten

To-Do:
  • e-Darstellung motivieren
  • (Um die Multiplikation komplexer Zahlen besser zu verstehen, kann man sich einige Beispiele anschauen.)
  • Bild zeichnen mit fester Zahl   und den Multiplikationen (farbig):
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To-Do:

Abschnitt überarbeiten und formatieren

Wie wir bereits oben gesehen haben, ist nicht direkt ersichtlich, was das Ergebnis ist, wenn wir zwei komplexe Zahlen multiplizieren. Nehmen wir als Beispiel die Zahlen 1+i und 2+i. Das Ergebnis der Multiplikation ist 1+3i. Doch wie kommt man darauf und hat dies für eine Bedeutung? In diesem Abschnitt wollen wir dir anschaulich zeigen, was die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist und wie dies mathematisch begründet werden kann.

Nehmen wir eine beliebige reelle Zahl, zum Beispiel 2. Wir haben bereits im Artikel Komplexe Zahlen: Einleitung und Motivation gesehen wie wir diese Zahl auf der Gausschen Zahlenebene darstellen können (siehe Bildergallerie unten). Nun multiplizieren wir diese Zahl mit i. Das Ergebnis ist   und kann ebenfalls auf der Gausschen Zahlenebene dargestellt werden. Auffällig dabei ist, dass es zu einer 90°-Drehung im mathematisch positiven Drehsinn kommt. Multipliziert man das Ergebnis der ersten Rechnung erneut mit  , also  , so erhält man eine reelle Zahl, da  . Ein Blick auf die Darstellung in der Gausschen Zahlenebene verrät: Es hat erneut eine Drehung um 90° stattgefunden. Dieses Spiel kann beliebig fortgeführt werden,  ,  , und so weiter.

Doch was passiert, wenn eine komplexe Zahl mit i multipliziert wird? Nehmen wir uns eine beliebige komplexe Zahl   mit  , beispielsweise  , und multiplizieren diese mit  . Wir erhalten:  . Stellt man diese Multiplikation in der Gausschen Zahlenebene dar, so wird schnell ersichtlich, dass auch hier eine 90°-Drehung stattgefunden hat.

 
Die Zahl 3+i wird mit i multipliziert, was einer Drehung um 90° entspricht und -1+3i als Ergebnis hat.

Multipliziert man eine komplexe Zahl mit einer reellen Zahl, so kommt es zu einer Streckung/Stauchung der komplexen Zahl um den jeweiligen Multiplikationsfaktor (die reelle Zahl, mir der multipliziert wird). Beispiel:  .

To-Do:

Bild einfügen: Streckung/Stauchung einer komplexen Zahl in der Zahlenebene durch Multiplikation mit einer reellen Zahl

Was geschieht nun, wenn wir diese beiden Vorgänge miteinander kombinieren, also zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizieren?

Betrachten wir allgemein die Multiplikation einer komplexen Zahl   mit einer anderen Zahl  . Das Ergebnis können folgendermaßen als Summe zweier komplexer Zahlen darstellen und so auf die schon betrachteten Fälle zurückführen:  .

Hier wird   um den Faktor   gestreckt sowie um 90 Grad gedreht und um den Faktor   gestreckt. Die Summe der beiden entstehenden Vektoren ist das Ergebnis  , wie in der Abbildung zu sehen.

To-Do:

Bild einfügen: Multiplikation zweier kompl. Zahlen als Drehstreckung; insbesondere die einzelnen Schritte der Streckung und Drehung zeigen; Drehstreckung und Winkeladdition auszeigen für w=3+2i und z=4+i die Vektoren 3*z und 2i*z zeichnen, den resultierenden Vektor w*z darstellen und das zur Addition der beiden einzelnen Vektoren gehörende Rechteck andeuten;  ,   und   einzeichnen


Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir für den Betrag des Ergebnisses  :

 . Also ist der Betrag des Produktes zweier komplexer Zahlen das Produkt der Beträge.

Wie aus obenstehender Abbildung ersichtlich ist, setzt sich der Winkel   des aus der Multiplikation resultierenden Vektors aus zwei Winkeln   und   zusammen:  . Der Winkel   ist offensichtlich einfach der zur ursprünglichen Zahl   gehörende Winkel, also  . Für den Winkel   gilt aufgrund der im rechtwinkligen Dreieck geltenden Beziehung  :

 

Das ist doch aber genau der Tangens des Winkels von  ! Also gilt offenbar  , und somit auch  . Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen addieren sich also die Winkel.

To-Do:

Evtl. mit Grafik verdeutlichen: Bei Rotation um den Ursprung (Multiplikation versch. komplexer Zahlen) ändern sich die Beziehungen nicht, das Rechteck zwischen den Vektoren bleibt erhalten

Insgesamt haben wir so herausgefunden: Die Multplikation einer komplexen Zahl   mit einer komplexen Zahl   ist eine Drehstreckung, genauer eine Streckung um   und eine Drehung um  . Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden also die Beträge multipliziert und die Winkel addiert.

Wir haben bereits festgestellt, dass die Darstellung   nicht besonders geeignet ist, um komplexe Zahlen zu multiplizieren: Es muss das Distributivgesetz bemüht werden, und vor allem bei wiederholten Multiplikationen oder Potenzen von komplexen Zahlen ist das umständlich. Anschaulich ist klar, dass eine komplexe Zahl bereits mithilfe ihres Betrags und ihres Winkels in der Zahlenebene lokalisiert werden kann. Daher würden uns diese beiden Informationen schon genügen, um das Ergebnis einer komplexen Multiplikation zu bestimmen. Es stellt sich also die Frage, ob wir eine geeignetere Darstellung von komplexen Zahlen finden können, die es ermöglicht, die gefundenen Beziehungen für den Betrag und den Winkel für die Berechnung zu nutzen. Das wollen wir im nächsten Abschnitt untersuchen.

Trigonometrische PolardarstellungBearbeiten

Was ist die trigonometrische Polardarstellung?Bearbeiten

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist eine Drehstreckung in der komplexen Ebene. Für   wird   um   gestreckt und um den Winkel, den   und die  -Achse einschließen, gedreht. Für die Multiplikation wäre es hilfreich, wenn wir   mithilfe seines Betrags   und seines Winkels   darstellen können. Wir kennen bisher nur die Darstellung  , wobei   der Realteil und   der Imaginärteil ist. Wir werden nun diese Darstellung umformen, sodass wir   in Abhängigkeit vom Winkel und Betrag schreiben können. Dafür können wir   und   durch   und   ausdrücken. Wir schauen uns   in der komplexen Ebene an.

To-Do:

Bild der komplexen Ebene mit   mit eingezeichnetem Winkel  , Betrag   und   und   (in einem Dreieck) einfügen

Wir können   und den Betrag   so einzeichnen, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel   zwischen den Seiten der Länge   und  . Wir wissen schon, dass   die Hypotenuse dieses Dreiecks ist. Da dies ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir einfach   mit   und   in Beziehung setzen. Wir wissen:

 

Also folgt   sowie  . Für   ergibt sich dann

 .

Definition (trigonometrische Polardarstellung)

Sei  . Wir nennen   für   und   die trigonometrische Polardarstellung.

Das   einen Winkel angibt, können wir ihn sogar in   wählen.

Ist diese Darstellung eine gute Alternative zu  ? Dafür müssen wir zeigen, dass jede komplexe Zahl eine trigonometrische Polardarstellung hat. Also für jede komplexe Zahl   gibt es   und  , so dass  . Dann können wir in Beweisen und Rechenaufgaben über komplexe Zahlen die Polardarstellung nutzen. Aber das reicht noch nicht, damit es eine gute Alternative ist. Wir wollen auch Zahlen, die in trigonometrischer Polardarstellung gegeben sind, in unsere alte Darstellung umrechnen können. Dafür müssen wir beweisen, dass es für alle   und   reelle Zahlen   und   gibt mit  . Wenn wir das gezeigt haben können wir die trigonometrische Polardarstellung komplexer Zahlen   genauso wie die kartesische Darstellung   verwenden. Diese Umrechnungen wollen wir nun beweisen.

Berechnung der trigonometrischen Polardarstellung aus der kartesischen DarstellungBearbeiten

Satz (Umformung zur Polardarstellung)

Jede komplexe Zahl   kann in der trigonometrischen Polardarstellung   umgeformt werden. Dabei kann   eine nicht negative Zahl und   eine Zahl mit   werden. Für   ist   und   eindeutig.

Beweis (Umformung zur Polardarstellung)

Wir müssen Existenz der Darstellung für alle   und Eindeutigkeit im Fall   zeigen.

Beweisschritt: Existenz der trigonometrischen Darstellung

Sei  . Um die trigonometrische Polardarstellung von   zu berechnen, bestimmen wir zunächst den Betrag   der komplexen Zahl:

 

Die Berechnung des Betrags ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Nach diesem ist nämlich  :

Im Spezialfall   ist  . Hier kann   beliebig gewählt werden, denn es ist   für alle  . Gehen wir nun davon aus, dass   und damit   ist. Der Winkel   kann aus folgenden Beziehungen bestimmt werden:

 

Zur Berechnung von   benutzen wir die erste Gleichung und  . Bei der Umstellung nach   muss man darauf achten, in welchen Quadranten die komplexe Zahlen liegt. Der Wertebereich von   ist  . Unser gesuchtes   liegt in  , wenn die komplexe Zahl oberhalb der  -Achse liegt bzw. wenn  , ist  . Für   kann der Winkel über   bestimmt werden. Denn dann gilt

 

Außerdem gilt auch  . So wie wir das wollen. Insgesamt ergibt sich für den Winkel:

 

Alternativ kann der Winkel auch über   berechnet werden. Es ist

 

Mit den so berechneten Werten ergibt sich

 

Beweisschritt: Eindeutigkeit für  

Nun wollen wir noch die Eindeutigkeit von   und   im Fall von   zeigen. Sei   mit  . Dann gilt   ist eindeutig bestimmt. Seien   und   mit  . Dann   und  . Wegen   folgt auch   sowie  . Nun multiplizieren wir die beiden Gleichungen:

 

Also gibt es ein   mit  . Wegen   folgt  . Folglich muss   und damit  . Damit haben wir die Eindeutigkeit von   bewiesen.

Kartesische Darstellung aus der trigonometrischen PolardarstellungBearbeiten

Satz (Umformung in kartesische Darstellung)

Sei   der Betrag einer komplexen Zahl   und   der Winkel zwischen der  -Achse und der komplexen Zahl. Der Realteil von   ist dann   und der Imaginärteil gleich  . Insgesamt erhalten wir  .

Beispiel (Umformung in kartesische Darstellung)

Mit   und   erhalten wir

 

Beweis (Umformung in kartesische Darstellung)

Zum einen ergibt sich diese Zusammenhang direkt aus der folgenden Schreibweise für die trigonometrische Polardarstellung:

 

Diesen Zusammenhang können wir auch direkt aus dem Diagramm für die Polardarstellung herleiten:

Der Sinus und der Kosinus von   ergibt sich über:

 

Durch Umstellung beider Formeln erhalten wir

 

Damit können wir auch die kartesische Darstellung aus   und   herleiten:

 

Wirkung der komplexen MultiplikationBearbeiten

Wir wollen nun versuchen die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen mithilfe dieser neuen Darstellung auszudrücken. Hierfür multiplizieren wir zwei komplexe Zahlen   und   mit   und  :

 

Die bekannten Additionstheoreme für Sinus und Cosinus lauten

 

Setzen wir das in die obige Rechnung ein, erhalten wir

 

Wir sehen also, dass die Radien von   und   multipliziert und die Winkel addiert wurden. Durch die Multiplikation mit   wurde die komplexe Zahl   also um den Winkel von   gedreht und um den Radius von   gestreckt.

Exponentielle PolardarstellungBearbeiten

Potenzdarstellung auf dem EinheitskreisBearbeiten

Wir kennen nun die Polardarstellung   einer komplexen Zahl  . Außerdem haben wir die Multiplikation mit einer komplexen Zahl   als Drehstreckung kennengelernt (Streckung um  , Drehung um  ). Die Abbildung

 

bewirkt also die Drehung einer gegebenen komplexen Zahl   um den Winkel   gegen den Uhrzeigersinn. Eine Streckung wird nicht bewirkt, da gilt:

 

Die Abbildung   dreht also die komplexe Zahl   um den Winkel  :

To-Do:

Abbildung: Bei der Multiplikation   wird   um den Winkel   entgegen des Uhrzeigerzinns gedreht

Wählen wir   fest und variieren wir den Winkel  , so erhalten wir Punkte, die auf dem Einheitskreis mit Radius   liegen. Wir können so die Drehung von   um den Ursprung als Funktion des Winkels   auffassen:

 

Diese Funktion wird komplexe Funktion genannt.

Was geschieht, wenn wir nacheinander um den Winkel   und anschließend um den Winkel   drehen? Nach den vorherigen Überlegungen wird die Drehung durch Multiplikation mit   bzw.   bewirkt. Somit sind zwei aufeinanderfolgende Drehungen um   bzw.   gleichbedeutend mit der Multiplikation mit  . Anschaulich ist außerdem klar, dass die Hintereinanderausführung zweier Drehungen um   und   das gleiche Ergebnis liefern muss wie eine einzelne Drehung um  . Aus dieser Überlegung folgt die Gleichheit

 

Wir sehen, dass   die charakteristische Gleichung   einer Potenz erfüllt. Es sollte also ein geeignetes   existieren, sodass die Gleichung

 

erfüllt ist. Wie können wir   bestimmen? Leiten wir   ab, so erhalten wir:

 

Die Funktion   entspricht also ihrer eigenen Ableitung, multipliziert mit dem Faktor  . Mit der Produktregel der Ableitung und der Eigenschaft der Exponentialfunktion   folgt  . Wir erhalten so:

 

Diese Gleichung heißt eulersche Formel. Mit   folgt daraus die sogenannte eulersche Identität:

 

Definition der exponentiellen PolarformBearbeiten

  • ausgehend vom Einheitskreis nun die Darstellung der komplexen Zahlen entwickeln: Multiplikation mit Betrag/Radius r ergibt den richtigen Punkt auf der Zahlenebene (wurde schon am Anfang des Artikels erklärt, deshalb reicht es kurz)
  • Definition der exponentiellen Polarform

Ausblick: Formaler Beweis der eulerschen FormelBearbeiten

  • Warum ist die Herleitung oben kein Formaler Beweis?
  • Wie kann man die Formel   formal beweisen?
  • Wie sind die Begriffe überhaupt definiert
  • Man kann sinus und kosinus über die e funktion definieren. Aber dann drehen wir uns im Kreis bzw. die Formel gilt per definition
  • Oft Definition über (Potenz-)Reihe. Potenzreihe ist eine unendliche verallgemeinerung von Polynomen. (Potenzreihen von sin, cos, e evtl angeben) Dann kann man durch Rechnen die Gleichung herleiten (muss hier nicht gemacht werden)


Herleitung über AbleitungBearbeiten

To-Do:

Inhalte in die Herleitung des Zusammenhangs   im Abschnitt Potenzdarstellung auf dem Einheitskreis platzieren (wurden dort schon zur Herleitung benutzt)

  hat die beiden charakteristischen Eigenschaften:

  •  
  •  

Die momentane Änderung von   ist also nichts anderes als die Streckung von   mit dem Wert  . Damit kann auch die Formel   hergeleitet werden

Nachprüfung der Eigenschaften

Eigenschaften der exponentiellen PolarformBearbeiten

  • Die komplexe e-Funktion   ist periodisch. Das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die ebenfalls periodisch sind.
    • Die komplexe e-Funktion ist periodisch, das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die (bei reellen Argumenten) ebenfalls periodisch sind.  
 
 

Das Bild veranschaulicht die Funktion  . Da   periodisch verläuft, muss der Graph von   auch periodisch sein. Durch die Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass   genau alle komplexen Zahlen mit Betrag   durchläuft. Also zeigt das Bild, wie der Einheitskreis gezeichnet wird. (Kopiert von Darstellung von komplexen Funktionen)