Stetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

ÜbersichtBearbeiten

Es gibt mehrere Möglichkeiten die Stetigkeit einer Funktion zu beweisen:

  • Verkettungssätze: Wenn die Funktion als Verkettung stetiger Funktionen dargestellt werden kann, ist sie nach den Verkettungssätzen stetig.
  • Ausnutzung der lokalen Natur der Stetigkeit: Wenn eine Funktion in einer kleinen Umgebung um einen Punkt dieselbe Funktionsvorschrift wie die einer stetigen Funktion besitzt, dann muss sie an diesem Punkt auch stetig sein.
  • Betrachtung des links- und rechtsseitigen Grenzwerts: Wenn man zeigen kann, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert und gleich dem dortigen Funktionswert ist, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig.
  • Nachweis Folgenkriterium: Beim Folgenkriterium muss man zeigen, dass der Limes an der betrachteten Stelle in die Funktion gezogen werden kann. Für eine Folge   von Argumenten mit Grenzwert   muss also gelten  .
  • Nachweis Epsilon-Delta-Kriterium: Für jedes   muss man zeigen, dass es ein   gibt, so dass für alle Argumente   mit Abstand kleiner als   von der betrachteten Stelle   die Ungleichung   erfüllt ist.

Verkettung stetiger FunktionenBearbeiten

Hauptartikel: Komposition stetiger Funktionen

Allgemeine BeweisskizzeBearbeiten

Nach den Verkettungssätzen ist jede Komposition von stetigen Funktion wiederum eine stetige Funktion. Wenn also eine Funktion   als Verkettung stetiger Funktionen dargestellt werden kann, dann ist damit die Stetigkeit von   bewiesen. Ein Beweis dazu könnte folgende Form aufweisen:

Sei   mit  . Die Funktion   ist eine Verkettung der folgenden Funktionen:

...Aufzählung der stetigen Funktionen, aus denen   zusammengesetzt ist...

Wegen   (Ausdruck mit den aufgezählten Funktionen) ist   eine Verkettung stetiger Funktionen und damit selbst wieder eine stetige Funktion.

Ein solcher Beweis sollte aber nur dann geführt werden, wenn die Verkettungssätze in der Vorlesung bereits bewiesen wurden.

BeispielaufgabeBearbeiten

Aufgabe (Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Zeige, dass folgende Funktion stetig ist:

 

Wie kommt man auf den Beweis? (Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Die gegebene Funktion ist eine Verkettung verschiedener Funktionen. Zunächst müssen wir die Grundfunktionen dieser Verkettung finden. Diese sind:

  •  
  •  
  •  

Die Funktion   kann dargestellt als:

 

Damit ist   eine Verkettung stetiger Funktionen und somit wieder stetig.

Beweis (Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Seien folgende Funktionen gegeben:

  •  
  •  
  •  

Diese Funktionen sind stetig. Es ist außerdem  . Damit ist   eine Verkettung stetiger Funktionen und nach den Verkettungssätzen selbst wieder stetig.

Ausnutzung der lokalen Natur der StetigkeitBearbeiten

Gegebenenfalls kann man ausnutzen, dass die Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist. Wenn eine Funktion nämlich in einer kleinen Umgebung um einen Punkt dieselbe Funktionsvorschrift wie die einer stetigen Funktion besitzt, dann muss sie an diesem Punkt auch stetig sein. Betrachte zum Beispiel die Funktion   mit   für positive Zahlen   und   für negative Zahlen  . Nehmen wir nun eine beliebige positive Zahl  . In einer hinreichend kleinen Umgebung um   ist   konstant  :

Da konstante Funktionen stetig sind, ist auch   an der Stelle   stetig. Analog kann man zeigen, dass   auch bei negativen Zahlen und damit insgesamt stetig ist. Im Beweis kann man schreiben:

„Für jedes   gibt es eine Umgebung um  , wo   konstant   oder   ist. Da konstante Funktionen stetig sind, muss auch   an der Stelle   stetig sein. Damit ist   stetig“.

Eine solche Argumentation kann oft bei Funktionen angewandt werden, die über eine Fallunterscheidung definiert sind. Unsere Funktion   ist hierfür ein gutes Beispiel. Schließlich ist sie definiert als:

 

Jedoch kann nicht bei allen Fallunterscheidungen allein mit der lokalen Natur der Stetigkeit argumentiert werden. Nehmen wir folgende Funktion  :

 

Für alle Stellen ungleich Null können wir so wie in diesem Abschnitt beschrieben einen Beweis formulieren, dass dort die Funktion stetig ist. An der Stelle   muss anders argumentiert werden. Hier könnte zum Beispiel der links- und rechtsseitige Grenzwert betrachtet werden.

Baustelle: Linksseitiger und rechtsseitiger GrenzwertBearbeiten

To-Do:

Im Artikel Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert von Funktionen sollten die Begriffe des linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerts eingeführt werden. Danach sollte dieser Abschnitt ergänzt werden, indem beschrieben wird, wie man damit die Stetigkeit einer Funktion zeigen kann. Beispielhaft bei Funktionen mit Fallunterscheidungen.

FolgenkriteriumBearbeiten

Hauptartikel: Folgenkriterium der Stetigkeit: Folgenstetigkeit

Wiederholung: FolgenkriteriumBearbeiten

Definition (Folgenkriterium der Stetigkeit an einer Stelle)

Eine Funktion   mit   ist stetig an der Stelle  , wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:

 

Allgemeine BeweisstrukturBearbeiten

Stetigkeit mit Hilfe des Folgenkriteriums zeigen (Beweisschema)

Um die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle   zu beweisen, müssen wir zeigen, dass für jede Folge   von Argumenten mit   gilt, dass   ist. Dementsprechend könnte ein Beweis lauten:

Sei   eine Funktion mit   und sei   gegeben. Sei   eine beliebige Folge von Argumenten mit  . Es gilt:

 

Um die Stetigkeit der Funktion   zu beweisen, muss das Beweisschema etwas angepasst werden:

Sei   eine Funktion mit   und sei   eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich von  . Sei   eine beliebige Folge von Argumenten mit  . Es gilt:

 

BeispielaufgabeBearbeiten

Folgenkriterium: Stetigkeit der Quadratfunktion beweisen
 
Graph der Quadratfunktion

Aufgabe (Stetigkeit der Quadratfunktion)

Zeige, dass die Quadratfunktion   stetig ist.

Beweis (Stetigkeit der Quadratfunktion)

Sei  . Wir betrachten nun eine beliebige Folge  , die gegen   konvergiert. Es ist

 

Bei der Quadratfunktion kann der Limes also immer hineingezogen werden, womit diese Funktion stetig ist.

Epsilon-Delta-Kriterium Bearbeiten

Hauptartikel: Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit

Wiederholung: Epsilon-Delta-KriteriumBearbeiten

Definition (Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit)

Eine Funktion   mit   ist genau dann stetig an der Stelle  , wenn es zu jedem   ein   gibt, so dass   für alle   mit   ist.   ist also genau dann in   stetig, wenn gilt

 

Allgemeine BeweisstrukturBearbeiten

In Quantorenschreibweise lautet die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit einer Funktion   an der Stelle  :

 

Diese Aussageform gibt eine allgemeine Beweisstruktur für Stetigkeitsbeweise mit dem Epsilon-Delta-Kriterium vor:

 

Beispielaufgaben und allgemeines VorgehenBearbeiten

Aufgabe (Stetigkeit der Quadratfunktion)

Beweise, dass die Funktion   mit   stetig ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Stetigkeit der Quadratfunktion)

Für den Beweis müssen wir zeigen, dass die Quadratfunktion an jeder Stelle   stetig ist. Nach der allgemeinen Beweisstruktur des Epsilon-Delta-Kriteriums wird ein beliebiges   vorgegeben. Wir müssen dann ein geeignetes   finden, sodass die Ungleichung   für alle   erfüllt ist.

Um ein geeignetes   zu finden, setzen wir zunächst in den Term   die bekannte Funktionszuordnung   ein:

 

Den Term   können wir kontrollieren. Daher ist es sinnvoll, den Term   so umzuformen bzw. nach oben abzuschätzen, dass   auftaucht. Hierzu bietet sich die dritte binomische Formel an:

 

Aus unserer Voraussetzung, dass   gelten soll, können wir den Ausdruck nach oben abschätzen:

 

Da das  , welches wir suchen, nur von   und   abhängen darf, stört uns die vorhandene Abhängigkeit von   in  . Um diese Abhängigkeit zu eliminieren, können wir den Faktor   geschickt nach oben abschätzen. Dabei verwenden wir einen unscheinbaren – aber häufig verwendeten – "Trick": Wir subtrahieren an geeigneter Stelle ein   und addieren es wieder, so dass der Term   entsteht:

 

Damit wir den Betrag   erhalten, nutzen wir die Dreiecksungleichung. Den Term   können wir wieder nach oben durch   abschätzen:

 

Durch geschicktes Umformen und Abschätzen haben wir so erhalten:

 

Mit dieser Ungleichung sind wir fast am Ziel. Wenn wir   so geschickt wählen, dass   ist, wird unsere Zielungleichung   erfüllt. So könnten wir die "Mitternachtsformel" bei der quadratischen Gleichung   anwenden, um eine passende Wahl von   zu finden. Der Term   kann durch eine weitere Abschätzung jedoch vereinfacht werden. Hierzu können wir ausnutzen, dass wir beliebige Bedingungen an das   stellen können. So folgt aus der Bedingung  , dass   ist und damit gilt:

 

Somit führt auch   zum Ziel. Diese Ungleichung können wir umstellen, um eine zweite Bedingung für   zu finden (unsere erste Bedingung lautet  ):

 

Wir haben zwei Bedingungen für   gefunden:   und  . Beide Bedingungen sind erfüllt für  . Diese Wahl treffen wir im finalen Beweis und führen die Abschätzungen so, wie wir sie gerade gefunden haben.

Beweis (Stetigkeit der Quadratfunktion)

Sei   beliebig und sei  . Wenn   erfüllt ist, dann folgt:

 

Damit haben wir gezeigt, dass die Quadratfunktion stetig ist.

ÜbungsaufgabenBearbeiten

Folgenkriterium: BetragsfunktionBearbeiten

Aufgabe (Stetigkeit der Betragsfunktion)

Beweise die Stetigkeit der Betragsfunktion.

Beweis (Stetigkeit der Betragsfunktion)

Sei   mit   die Betragsfunktion. Sei   eine beliebige Zahl und sei   eine Folge reeller Zahlen mit  . Im Kapitel „Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen“ haben wir die Betragsregel bewiesen. Diese besagt, dass   ist, wenn   ist. Also haben wir:

 

Dies beweist die Stetigkeit von   nach dem Folgenkriterium.

Epsilon-Delta-Kriterium: Lineare FunktionBearbeiten

Aufgabe (Stetigkeit einer linearen Funktion)

Beweise, dass die lineare Funktion   mit   stetig ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Stetigkeit einer linearen Funktion)

 
Graph der Funktion   mit  . Am Graphen kann man erkennen, dass diese Funktion an jeder Stelle stetig ist.

Um die Stetigkeit von   zu beweisen, müssen wir die Stetigkeit an jedem Argument   beweisen. Sei also   eine beliebige reelle Zahl. Nun nehmen wir einen beliebigen Maximalfehler   an. Unsere Aufgabe liegt jetzt darin, ein hinreichend kleines   zu finden, so dass   für alle Argumente   mit   ist. Schauen wir uns hierzu die Ungleichung   genauer an:

 

Es muss also   für alle   mit   gelten. Wie muss   gewählt werden, so dass aus   die Ungleichung   folgt?

Nun können wir ausnutzen, dass in der Ungleichung   der Betrag   vorkommt. Wegen   wissen wir, dass dieser Betrag kleiner als   ist. Dies können wir in den Term   einsetzen:

 

Wenn wir   so geschickt wählen, dass   ist, folgt aus   die zu zeigende Ungleichung  . Durch Äquivalenzumformungen von   können wir ein hinreichend kleines   finden:

 

Jedes   mit   ist für den Beweis ausreichend. Für den finalen Beweis wählen wir  .

Beweis (Stetigkeit einer linearen Funktion)

Sei   mit   und sei   beliebig. Sei weiterhin   beliebig. Wir wählen  . Sei   mit  . Es ist:

 

Damit ist  , womit die Stetigkeit von   an der Stelle   bewiesen ist. Da   beliebig gewählt wurde, ist   stetig.

Epsilon-Delta-Kriterium: Verkettete BetragsfunktionBearbeiten

Aufgabe (Beispiel für Stetigkeitsbeweise)

Zeige, dass folgende Funktion an der Stelle   stetig ist:

 

Wie kommt man auf den Beweis? (Beispiel für Stetigkeitsbeweise)

Wir müssen zeigen, dass zu jedem   ein   existiert, so dass für alle   mit   die Ungleichung   erfüllt ist. Dabei ist bei uns  . Somit können wir über   den Term   kontrollieren. Zunächst können wir den Term   der Zielungleichung   vereinfachen:

 

Unser Ziel ist es, durch Abschätzungen nach oben und Umformungen möglichst viele Ausdrücke   „herzustellen“, da wir diese wegen   abschätzen können. Die nächsten Schritte erfordern ein wenig Erfahrung mit Epsilon-Delta-Beweisen um „zu sehen“, wie man vorgehen sollte. Um die Betragsstriche innerhalb der äußeren Betrags loszuwerden, können wir die Ungleichung   benutzen. Eine Möglichkeit ist folgende:

 

Nun wird der Term   für   nicht mehr beliebig klein und somit ist unsere Abschätzung nicht zielführend. Besser ist es, wenn wir vor der Anwendung der Ungleichung   die Gleichung   verwenden:

 

Wir erkennen die dritte binomische Formel und können schreiben:

 

Und weiterhin wegen  :

 

Da das  , welches wir suchen, nur von   und   abhängen darf, stört uns die vorhandene Abhängigkeit von   in  . Dazu müssen wir den Ausdruck   geschickt nach oben abschätzen. Da wir nur ein bestimmtes   für unseren Beweis angeben müssen, um die Zielungleichung zu erhalten und beliebige Bedingungen an das   stellen zu können, setzen wir  . Dies ist eine willkürliche Wahl (analog funktioniert auch   usw). Was ergibt sich nun aus dieser Festlegung?

Es muss weiterhin gelten:  . Wegen   folgt  . Damit gilt durch Umstellen der Ungleichung:  . Es folgt somit   und damit  :

 

Da wir zeigen wollen, dass   wählen wir   so, dass   ist. Dadurch erhalten wir:

 

Wir haben auf unserem Rechenweg zwei Bedingungen für das   gefunden (  und  ). Diese fassen wir zusammen durch:  . Damit können wir unseren Beweis aufschreiben.

Beweis (Beispiel für Stetigkeitsbeweise)

Sei   beliebig und sei  . Sei   mit  . Dann folgt:

Beweisschritt 1:  

Wegen   ist  . Damit ist   und somit  . Es folgt   und damit  .

Beweisschritt 2:  

 

Damit ist die Funktion an der Stelle   stetig.

Epsilon-Delta-Kriterium: HyperbelBearbeiten

Aufgabe (Stetigkeit der Hyperbelfunktion)

Beweise, dass die Funktion   mit   stetig ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Stetigkeit der Hyperbelfunktion)

Das grundlegende Muster bei Epsilon-Delta-Beweisen bleibt erhalten. Wir wollen die Implikation   zeigen. Als Erstes setzen wir das ein, was wir bereits wissen und formen etwas um:

 

Wir wissen, dass nach Voraussetzung   gilt. Also:

 

Da die Wahl von unserem   nur von   und   abhängen darf, müssen wir in diesem Fall   geschickt abschätzen, um die Abhängigkeit von   zu eliminieren. Hierzu betrachten wir  .

Wie kommen wir auf die Bedingung  ? Wir schieben an dieser Stelle eine kurze Erklärung ein, in der wir die Wahl   erklären: Wir benötigen eine  -Umgebung, die innerhalb des Defintionsbereichs unserer Funktion liegt. Hätten wir die Bedingung   gewählt und dabei den Punkt   betrachtet, so würden wir auf folgendes Problem stoßen:

Der größte  -Wert mit   ist   und der kleinste ist  . Jedoch liegt   nicht im Definitionsbereich der Funktion  . Vor allem liegt   in diesem Bereich, wo   nicht definiert ist.

Eine geschickte Wahl des  , so dass die  -Umgebung die  -Achse nicht berührt, ist  . Denkbar sind auch:  ,   oder  .

Wegen   und unserer Voraussetzung, dass   ist  . Darüber kommen wir zur Abschätzung:  . Wir können nun schreiben:

 

Somit erhalten wir den Zusammenhang:

 

Da wir   zeigen wollen, wählen wir  . Einsetzen zeigt, dass wir dadurch die Zielungleichung   zeigen können.

In der ganzen Herleitung haben wir zwei Bedingungen für   gefunden:   und  . Im Beweis setzen wir deswegen  , um beide Bedingungen zu erfüllen.

Beweis (Stetigkeit der Hyperbelfunktion)

Sei   mit   und sei   beliebig. Sei außerdem   beliebig. Wähle  . Für alle   mit   gilt:

 

Damit ist die Funktion   an der Stelle   stetig. Da   beliebig gewählt wurde, ist   stetig.

Epsilon-Delta-Kriterium: Verkettete WurzelfunktionBearbeiten

Aufgabe (Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Beweise mit der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit, dass folgende Funktion stetig ist:

 

Wie kommt man auf den Beweis? (Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Wir müssen zeigen, dass für jedes   ein   existiert, so dass alle   mit   die Ungleichung   erfüllen. Hierzu betrachten wir zunächst die Zielungleichung   und schätzen den Betrag   geschickt nach oben ab. Da wir den Term   kontrollieren können, schätzen wir   so nach oben ab, dass wir den Betrag   erhalten. Wir suchen also eine Ungleichung der Form

 

Dabei ist   irgendein von   und   abhängiger Term. Der zweite Faktor ist kleiner als   und kann damit durch eine geschickte Wahl von   beliebig klein gemacht werden. Eine solche Abschätzung ist folgende:

 

Wegen   ist:

 

Wenn wir   so klein wählen, dass   ist, folgt die Zielungleichung  . Jedoch hängt   von   ab und diese Abhängigkeit würde sich auf   vererben und wir dürfen   nicht in Abhängigkeit von   wählen. Deswegen müssen wir die Abhängigkeit des ersten Faktors von   eliminieren. Dies erreichen wir, indem wir den ersten Faktor nach oben so abschätzen, dass wir eine Ungleichung der Form   erreichen. Eine solche Umformung ist:

 

Wir haben sogar   unabhängig von   gemacht, was nicht nötig gewesen wäre. Somit haben wir die Ungleichung

 

Wir brauchen nun die Abschätzung  , damit die Zielungleichung   erfüllt ist. Die Wahl von   ist hierfür ausreichend.

Beweis (Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Sei   mit  . Sei   und   beliebig. Wir wählen  . Für alle   mit   gilt:

 

Damit ist   eine stetige Funktion.