Grenzwert von Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Neuer Versuch mit grobem PlanBearbeiten

IntuitionBearbeiten

Wir haben eine beliebige Funktion  . Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Frage, wie sich   in der Nähe eines Punktes  , oder im Unendlichen verhält. Strebt   gegen einen bestimmten Wert, wenn wir uns auf der x-Achse   nähern, beziehungsweise immer weiter ins Unendliche wandern?

Wir betrachten drei Beispielfunktionen im Nullpunkt:

Erstes BeispielBearbeiten

 

Egal wie wir uns auf der x-Achse   nähern,   strebt gegen  .

Zweites BeispielBearbeiten

 

Zwar ist   in   nicht definiert, jedoch strebt   in   gegen den Wert  .

Drittes BeispielBearbeiten

 

Hier ist es nicht so einfach. von links strebt   gegen  , von rechts gegen  . Binden wir gar   selbst mit ein, so kann   zwischen   und   bzw zwischen   und   hin und her springen.

AnwendungsbeispieleBearbeiten

To-Do:

Unterabschnitte hervorheben (Wie?)

Grenzwerte im Unendllichen: Um das Blitzlicht von Kameras zu zünden, werden Kondensatoren innerhalb von Sekundenbruchteilen entladen.

Physikalisch lässt sich die Entladung des Kondensator beschreiben über  .

Für positive Startspannung   ist dabei egal, wie groß wir unsere Zeit   wählen: Es gilt  , insbesondere  . Wie können wir mathematisch ausdrücken, dass sich Spannung und damit auch Ladung des Kondensators tatsächlich der   annähern? Dafür müssen wir  , den Grenzwert von   im Unendlichen, untersuchen.

  als reelle Zahl:

In der Schule wird oft die Fläche unter einem Funktionsgraphen auf dem Intervall   über den Flächeninhalt von gleich breiten Rechtecken angenähert.

Je feiner die Rechtecke, desto genauer ist der angenäherte Flächeninhalt. Schreiben wir   für die Breite eines Rechtecks und betrachten eine Funktion  , so ergibt sich die Fläche eines Rechtecks als Breite mal Höhe. Dabei ist die Höhe nichts anderes als der Funktionswert von   an dem Rand eines Rechtecks. Wir erhalten für eine Rechteckbreite   den ungefähren Flächeninhalt von   auf dem Intervall   als:  , sofern wir die Summationsgrenzen für den Laufindex   passend formulieren. Die Funktion   können wir allerdings nur für Argumente   sinnvoll berechnen und angeben, da wir keine Rechtecke mit Breite   kennen. Wir haben also die Berechnung des Integrals als ein Problem formuliert, bei dem wir den Grenzwert von   in   suchen.

Übergang zur MathematikBearbeiten

Wie betrachten wir als Menschen, was die Funktion in der Nähe eines Punktes macht? Zur Schulzeit hat es oft ausgereicht, einfach ein paar Werte in der Nähe von   einzusetzen, um ein Muster zu erkennen. Wir werden dies nun formal umsetzen:

Wir betrachten Folgen   und setzen die Folgenglieder   in   ein. Da sie sich   nähern sollen, betrachten wir nur solche Folgen, für die   gilt. Es wäre z.B. unsinnig, das Streben von   im Punkt   zu betrachten, aber als Testwerte   einzusetzen.

Bei jedem Einsetzen eines jeden  's betrachten wir den Funktionswert  . Wir erhalten die Folge  . Ob   nun in   gegen einen Wert strebt, können wir also als Frage nach der Existenz von   formulieren.

Nun haben wir noch nicht darüber gesprochen, wie viele solche Folgen wir in f einsetzen müssen. Reicht es, wenn wir nur eine Folge untersuchen?

To-Do:

Gif ohne anklicken lesbar machen und erstes Gif als dauer schleife laufen lassen

Dazu betrachten wir folgendes Beispiel:

Die Vorzeichenfunktion  

Nehmen wir die Folge   mit   und setzen sie in   ein, so erhalten wir immer  . Betrachten wir nur diese eine Folge, so würden wir vermuten, dass   in   gegen den Wert 1 strebt. Nehmen wir die Folge   mit  , so gilt allerdings immer   und wir sehen nun auch mathematisch, dass   in   keinen eindeutigen Grenzwert hat. Es reicht also nicht, eine Folge zu betrachten. Stattdessen muss sich die Funktion für alle Folgen gleich verhalten, damit wir von einem Grenzwert sprechen können.

Definition: über FolgenBearbeiten

Definition (Grenzwert von Funktionen)

Sei   eine Funktion mit  ,   und  .   hat in   den Grenzwert  , wenn für jede Folge   mit   und   gilt:  . Ist dies der Fall, so schreiben wir  

Sei   eine Funktion mit   und  .   hat im Unendichen den Grenzwert  , wenn für jede Folge   mit   und   gilt:  . Ist dies der Fall, so schreiben wir  

Kurzer Nachtrag zur Definition über FolgenBearbeiten

Als letzten Feinschliff mussten wir noch beachten, dass der Ausdruck   nur sinnvoll ist, falls   im Definitionsbereich von   liegt. Deshalb fordern wir  . Auch sollten wir   nur in Punkten   untersuchen, an die wir uns tatsächlich annähern können. Ist   z.B. nur auf   definiert, so ist es uns nicht möglich zu erfahren, was   in der Umgebung von   macht. Was allerdings möglich ist, ist nach einem Streben von   im Punkt   zu fragen. Unsere   müssen also in  , dem Abschluss von   liegen.

Definition: über Epsilon Delta (Andere Person)Bearbeiten

Spielraum bei der DefinitionBearbeiten

Dieser Abschnitt existiert, weil verschiedene Autoren und verschiedene Lehrbücher unterschiedliche Definitionen benutzen. Es kann gut sein, dass du in der Vorlesung nicht die Definition aus diesem Artikel gelernt hast, sondern eine der folgenden Variationen.

Es gibt die Möglichkeit, statt   nur   zu erlauben.

Unabhängig von der ersten Entscheidung hat man die Möglichkeit, die betrachteten Folgen   noch weiter einzuschränken. Wollen wir das Verhalten von   in der Nähe von   betrachten, so können wir darüber diskutieren, ob es erlaubt ist,   selbst als Wert "nahe an  " in   einzusetzen. Manche Autoren legen deshalb fest:

Für die betrachteten Folgen   gilt     (statt  )

Anmerkung: Stetigkeit und Grenzwerte von FunktionenBearbeiten

Vergleichen wir unsere Intuition mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit, so stellen wir fest, dass es auch bei der Stetigkeit um das Streben von   in einem Punkt   geht. Vergleichen wir zusätzlich beide Definitionen über Folgen , so finden wir auch hier sehr große Ähnlichkeiten. Bei der Stetigkeit von   im Punkt   wird nur zusätzlich gefordert, dass   gilt, weil der Ausdruck   existieren muss. (Da  , gilt insbesondere  .) In der Tat gibt es Autoren, die Stetigkeit mithilfe von Grenzwerten von Funktionen definieren. Stetigkeit von   in   bedeutet nämlich nichts anderes, als dass   gilt. Dies ist sogar unabhängig davon, welche Variante wir bei der Definition über Folgen wählen. Dies liegt bei der ersten Variationsmöglichkeit daran, dass wir die Einschränkung   für die Frage nach Stetigkeit sowieso treffen müssen. Es ist zudem egal, ob wir   oder   fordern: Wenn für alle erlaubten Folgen in     gegen   strebt, so gilt dies auch für alle erlaubten Folgen in  . Umgekehrt: Wenn für alle erlaubten Folgen in     gegen   strebt, so gilt dies auch für alle Folgen in  .

Auch sei gesagt, dass die Definition von Stetigkeit über Grenzwerte von Funktionen ebenfalls mit der Epsilon-Delta-Definition dieses Kapitels funktioniert.

Bsp: Die Indikator-Funktion von  Bearbeiten

Links und Rechtsseitige GrenzwerteBearbeiten

Verwendung von einseitigen GrenzwertenBearbeiten

"Später für Integrale: Raum der Regelfunktionen. Regelfunktion ist relativ abstrakt. Klassifizierbar als: f Regelfunktion gdw für alle   rechts und linksseitiger Grenzwert existieren.

Evtl hilfreichBearbeiten

Motivation und HerleitungBearbeiten

Intuitive ErklärungBearbeiten

Wir werden nun den Grenzwerte einer Funktion   in einem Punkt   betrachten. Dabei geht es darum, zu untersuchen wie sich die Funktion   in der Nähe dieses Punktes verhält. Wir gehen mit den  -Werten beliebig nahe an   heran, und sehen uns dabei die Funktionswerte   an.

Dabei ergeben sich Fragen, wie: Streben diese Funktionswerte irgendwo hin, d.h. haben sie ein Ziel? Gibt es je nach Annäherungsart (von links, von rechts, ...) verschiedene Ziele?

Der stetige FallBearbeiten

Betrachten wir zunächst den Fall, dass   in   stetig ist. Als Beispiel wählen wir   und  . Wie verhält sich  , falls wir   gegen   gehen lassen? Nun ist es klar, dass sich   dem Wert   annähert. Dabei ist es vollkommen egal, ob wir uns von links oder rechts annähern.

Ebenso hätte es keinen Unterschied gemacht, wenn wir uns abwechselnd von links und rechts dem Wert   genähert hätten.   nähert sich dann genauso dem Wert  . Mathematisch „sauber“ formuliert bedeutet dies: Für jede Folge   mit   gilt  . Der Grund dafür ist, dass die Exponentialfunktion folgenstetig im Ursprung ist. Zur Erinnerung:

Definition (Folgenkriterium der Stetigkeit an einer Stelle)

Eine Funktion   mit   ist stetig an der Stelle  , wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:

 

Es liegt nun auf der Hand den „Grenzwert von   für   gegen  “ als   zu definieren. Es folgt: Eine stetige Funktion   besitzt daher in   immer den Grenzwert  .

Verständnisaufgabe: Bestimme die folgenden Grenzwerte:

  1.  
  2.  

Lösungen:

  1. Da   stetig in   ist, gilt für jeder Folge   mit Gliedern aus   und  :  . Also ist  
  2. Da die Funktionen   und   stetig im Nullpunkt sind, ist auch die zusammengesetzte Funktion   dort stetig. Für jeder reelle Nullfolge   gilt daher:  . Damit ist  .

Nun stellen sich allerdings noch weitere Fragen, wie: Lässt sich der Grenzwert auch in einem Punkt berechnen, in dem die Funktion nicht stetig ist? Lässt sich der Grenzwert auch in Punkten bestimmen, die nicht im Definitionsbereich der Funktion liegen?

Der unstetige FallBearbeiten

In der Praxis bedeutet die Unstetigkeit einer Funktion   in einem Punkt  , in den meisten Fällen, dass die Funktion dort einen Sprung hat. Betrachten wir dazu das Beispiel   Diese Funktion „springt“ im Ursprung auf den Funktionswert  , ist aber sonst überall konstant gleich null. Nähern wir uns nun dem Ursprung von rechts bzw. links an, so ist klar, dass   immer konstant gleich null bleibt:

Nun kommen wir zu einem entscheidenden Punkt: Soll   den Wert null annehmen dürfen, oder nicht. In unserer Charakterisierung mit Folgen, die wir im stetigen Fall benutzt hatten, bedeutet dies: Betrachten wir nur solche Nullfolgen   mit   für alle  , oder ist auch   für beliebig viele   erlaubt?

  • Im ersten Fall würde für jede Nullfolge   (mit  ) gelten:  . Definieren wir  , so existiert dieser Grenzwert.
  • Im zweiten Fall hingegen gilt beispielsweise für die konstante Nullfolge  :  . Hingegen für die Nullfolge  :  . Der Grenzwert von   für   würde nicht existieren, da er nicht eindeutig wäre.

Dieser Punkt ist in der Analysis-Literatur nicht eindeutig festgelegt. In der moderneren Literatur wird meistens wie im zweiten Fall vorgegangen. Daher wollen auch in unserer Definition des Grenzwertes solche Folgen   mit   zulassen. Unsere (vorläufige) Definition des Grenzwerts einer Funktion in einem Punkt des Definitionsbereichs lautet somit:

Eine Funktion   mit   besitzt in   den Grenzwert  , in Zeichen  , falls für alle Folgen   mit   und   gilt:  

Verständnisaufgabe: Bestimme die folgenden Grenzwerte, falls vorhanden:

  1.   mit  
  2.   mit  

Lösungen:

  1. Bei   handelt es sich um die im Nullpunkt stetige Betragsfunktion  . Daher gilt für jeder Nullfolge  :  . Damit ist  .
  2. Dieser Grenzwert existiert nicht. Für die Nullfolge   gilt  . Für die Nullfolge   hingegen ist  .

MotivationBearbeiten

Man könnte nun fragen, wofür wir Grenzwerte von Funktionen überhaupt brauchen. Im ersten Semester begegnen sie einem überwiegend bei Stetigkeit bzw. stetiger Fortsetzbarkeit, allerdings kann man mit ihnen z.B. auch uneigentliche Integrale berechnen. Das praktische an Grenzwerten von Funktionen ist, dass man am Ende ein sehr einfache Schreibweise dafür hat, dass man   beliebig nahe am Punkt   betrachtet. Man kann mit ihnen also das Verhalten einer Funktion beim Streben nach einem Punkt charakterisieren.

Vorbereitung auf das FolgenkriteriumBearbeiten

Nun geht es darum, Grenzwerte von Funktionen mathematisch zu beschreiben.

Wir gehen bei der Betrachtung von   mit unseren  -Werten sehr nahe an   heran. Es bietet sich an, dies mithilfe von Folgen  zu beschreiben, die den Grenzwert   haben. Da man die  -Werte in   einsetzen möchte, sollte die Folge innerhalb des Definitionsbereiches laufen. Die  -Werte sollten ein Ziel haben. Dies bedeutet, dass die Folge   auch einen Grenzwert haben muss. Weiterhin war für uns wichtig, wie sehr die Funktion entschlossen ist, die  -Werte zu lenken. Wir wollen etwas nur einen Grenzwert nennen, wenn die Funktionswerte immer gegen den gleichen Wert streben, egal auf welche Art wir uns   nähern. Es ist also noch nicht ausreichend, wenn für jede Folge   mit Grenzwert   gilt, dass die Folge  einen Grenzwert hat. Zusätzlich dazu müssen alle diese Funktionswertfolgen den gleichen Grenzwert haben.

Definition über das FolgenkriteriumBearbeiten

Definition (Grenzwert von Funktionen)

Sei   eine Funktion,   und  .   hat in   den Grenzwert  , wenn für jede Folge   mit   und   gilt:  .