Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Das Epsilon-Delta-Kriterium ist neben dem Folgenkriterium eine weitere Variante, die Stetigkeit einer Funktion zu definieren. Sie umschreibt die charakteristische Eigenschaft stetiger Funktionen, dass hinreichend kleine Änderungen des Arguments beliebig kleine Änderungen im Funktionswert verursachen.

MotivationBearbeiten

Zu Beginn des Kapitels haben wir gelernt, dass die Stetigkeit einer Funktion zumindest vereinfacht als Abwesenheit von Sprüngen interpretiert werden kann. An einer stetigen Stelle ändern sich die Funktionswerte also beliebig wenig, wenn nur das Argument hinreichend wenig geändert wird. Es gilt also  , wenn   hinreichend nah an   liegt. Solche Funktionswerte   können zur Annäherung von   herangezogen werden.

Stetigkeit bei Approximation von FunktionswertenBearbeiten

Hat eine Funktion keine Sprünge, kann man ihre Funktionswerte durch umliegende Werte approximieren. Für diese Annäherung und somit auch für den Beweis der Stetigkeit verwenden wir das Epsilon-Delta-Kriterium stetiger Funktionen. Doch was bedeutet das genau?

Nehmen wir an, wir führen ein Experiment durch, bei dem wir die Lufttemperatur messen wollen. Sei   die Funktion für den Temperaturverlauf.   ist also die Temperatur zum Zeitpunkt  . Aufgrund eines technischen Fehlers fehlt uns ein bestimmter Wert  , den wir nun möglichst genau approximieren wollen:

Durch den technischen Fehler war die direkte Messung von   nicht möglich. Weil sich der Temperaturverlauf kontinuierlich ändert und es damit insbesondere zum Zeitpunkt   keinen Sprung im Temperaturverlauf gibt, können wir ersatzweise die Temperatur zeitnah an   bestimmen. Wir nähern also den Wert   an, indem wir eine Temperatur   bestimmen, bei der der Zeitpunkt   nah an   liegt.   ist dann eine Annäherung von  . Wie nah muss hierzu   an   liegen?

Nehmen wir an, dass sich für die spätere Auswertung die gemessene Temperatur maximal um den Fehler   von der tatsächlichen Temperatur unterscheiden darf. Unser Messwert muss sich also im grau hinterlegten Bereich der folgenden Grafik befinden. Das sind alle Punkte, deren Funktionswerte zwischen   und   liegen, die sich also im offenen Intervall   befinden:

In der Graphik sehen wir, dass es um   einen Bereich gibt, in dem sich die Funktionswerte maximal um   von   unterscheiden. Es gibt also einen Zeitabstand  , so dass alle Funktionswerte mit Argumenten im Intervall   im grau hinterlegten Bereich liegen:

Es ist also möglich, unseren gesuchten Wert   ausreichend gut (sprich mit einem Maximalfehler von  ) zu approximieren. Wenn wir nämlich einen Zeitpunkt   mit einem Abstand von   kleiner als den Zeitabstand   wählen, so ist der Abstand von   zu   kleiner als der geforderte Maximalabstand  . Wir können so   als Annäherung von   wählen.

Zusammenfassung: Es gibt ein  , so dass der Abstand   kleiner als   für   kleiner als   ist. Also:  

Erhöhte Anforderungen an die ApproximationBearbeiten

Was passiert, wenn wir bei unserer Messung aufgrund erhöhter Anforderungen an die Auswertung den Temperaturwert besser kennen müssen? Was ist, wenn beispielsweise der geforderte Maximalfehler der Temperaturmessung nun   und nicht mehr   ist?

Auch in diesem Fall gibt es einen Bereich um  , in dem sich die Funktionswerte weniger als   von   unterscheiden. Es gibt also ein  , so dass sich   um maximal   von   unterscheidet, wenn   ist:

Egal wie klein   gewählt wird, es kann wegen des kontinuierlichen Temperaturverlaufes immer ein   gefunden werden, so dass sich   um maximal   von   unterscheidet, wenn der Abstand von   zu   kleiner als   ist. Es gilt:

Egal welchen Maximalfehler   wir vorgeben, es gibt immer einen Bereich um   in der Form   mit  , in der die Funktionswerte einen Abstand kleiner als   von   entfernt liegen.

Der obige Umstand ist deswegen erfüllt, weil die Funktion   bei   kontinuierlich verläuft und keinen Sprung macht oder – anders formuliert – weil die Funktion   an der Stelle   stetig ist. Es gilt sogar mehr: Dieser Umstand charakterisiert auf eine formale Art die Tatsache, dass es bei   keinen Sprung im Funktionsgraphen von   gibt. Wir können ihn also als formale Definition der Stetigkeit nutzen. Wegen der auftretenden Variablen   und   wird diese Definition das Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit genannt.

Epsilon-Delta-Kriterium der StetigkeitBearbeiten

Warum gilt das Epsilon-Delta-Kriterium genau dann, wenn der Funktionsgraph an der entsprechenden Stelle keinen Sprung macht (also an dieser Stelle stetig ist)? Am Beispiel des Temperaturverlaufs konnten wir intuitiv nachvollziehen, dass das Epsilon-Delta-Kriterium bei stetigen Funktionen erfüllt ist. Ist es auch so, dass bei Sprüngen an einer Stelle im Funktionsgraphen das Epsilon-Delta-Kriterium nicht erfüllt ist? Nehmen wir nun hypothetisch an, dass der Temperaturverlauf an der Stelle   einen Sprung macht:

Sei nun   ein Maximalfehler, der kleiner als die Sprungweite ist:

Dann können wir keinen  -Bereich   um   finden, in dem alle Funktionswerte einen Abstand kleiner als   von   besitzen. Wenn wir beispielsweise das folgende   wählen, dann gibt es ein   zwischen   und  , welches einen Abstand größer als   von   besitzt:

Auch wenn wir ein kleineres   wählen, findet sich ein   mit  :

Egal wie klein   ist, es gibt immer mindestens ein Argument   mit einen Abstand kleiner als   von  , dessen Funktionswert   sich mehr als   um   unterscheidet. So sehen wir intuitiv, dass das Epsilon-Delta-Kriterium bei Sprüngen im Graphen nicht erfüllt ist. Damit charakterisiert das Epsilon-Delta-Kriterium die Tatsache, dass der Funktionsgraph an der betrachteten Stelle keinen Sprung macht. Es ist eine Definition der Stetigkeit. Da in diesem Kriterium nur bereits definierte mathematische Begriffe verwendet werden, genügt es den Anforderungen einer formalen Definition.

Hinweis

Im obigen Beispiel mit der Temperaturmessung haben wir einige Aspekte nicht beachtet, die man bei einer solchen Messung beachten müsste. So sind wir davon ausgegangen, dass unsere Messungen perfekt sind und keine Messfehler aufweisen. Dies ist in der Realität aber nicht der Fall. Jede Messung weist einen Unterschied zum realen Wert auf. Auch sind wir davon ausgegangen, dass unsere Messungen instantan erfolgen. In der Regel brauchen wir aber für jede Messung eine gewisse Zeit. Für ein reales Experiment müssten wir mehr beachten.  

DefinitionBearbeiten

Epsilon-Delta-Kriterium der StetigkeitBearbeiten

Erklärung des Epsilon-Delta-Kriteriums der Stetigkeit. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Die  -  Definition der Stetigkeit an einer Stelle   im Definitionsbereich lautet:

Definition (Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit)

Eine Funktion   mit   ist genau dann stetig an der Stelle  , wenn es zu jedem   ein   gibt, so dass   für alle   mit   ist.   ist also genau dann in   stetig, wenn gilt

 

Erläuterung der Quantorenschreibweise:

 

Die obige Definition beschreibt die Stetigkeit an einem Punkt. Eine Funktion   nennt man stetig, wenn sie an jedem Punkt in ihrem Definitionsbereich nach dem Epsilon-Delta-Kriterium stetig ist.

Herleitung des Epsilon-Delta-Kriterium für UnstetigkeitBearbeiten

Durch Negation der obigen Definition erhalten wir das Epsilon-Delta-Kriterium der Unstetigkeit. Im Kapitel „Aussagen negieren“ haben wir besprochen, wie mathematische Aussagen negiert werden können. Dabei wird aus dem Allquantor   ein Existenzquantor   und umgekehrt. Bei der inneren Implikation müssen wir beachten, dass die Negation von   äquivalent zur Aussage   ist. Wenn wir das Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit negieren, erhalten wir:

 

Damit erhalten wir als Negation der Stetigkeit:

 

Epsilon-Delta-Kriterium für UnstetigkeitBearbeiten

Definition (Epsilon-Delta-Definition der Unstetigkeit)

Eine Funktion   mit   ist genau dann unstetig an der Stelle  , wenn es ein   gibt, so dass es für alle   ein   mit   und   gibt.   ist also genau dann in   unstetig, wenn gilt

 

Erläuterung der Quantorenschreibweise:

 

Erklärungen zum Epsilon-Delta-KriteriumBearbeiten

Die Ungleichung   bedeutet, dass der Abstand zwischen   und   kleiner als   ist. Analog ist   gleichbedeutend damit, dass der Abstand zwischen   und   kleiner als   ist. Aus der Implikation   folgt damit, dass der Abstand zwischen   und   garantiert kleiner als   ist, wenn der Abstand zwischen   und   kleiner als   ist. Die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit kann somit auch folgendermaßen interpretiert werden:

Egal wie klein man den Maximalabstand   bezüglich des Funktionswertes   vorgibt, gibt es ein  , so dass der Abstand von   zu   garantiert kleiner als   ist, wenn   einen Abstand kleiner als   zu   besitzt.

Bei stetigen Funktionen kann man also den Fehler – sprich den Abstand – in den Funktionswerten kontrollieren, indem man den Abstand in den Argumenten hinreichend klein hält. Die Suche nach dem   entspricht der Beantwortung der Frage: Wie klein muss ich den Abstand im Argument wählen, damit der Abstand im Funktionswert maximal   ist? Diese Frage ist durchaus relevant. Stell dir vor, du erhebst einen Messwert   und berechnest damit einen Wert   über eine stetige Funktion  . Dann kannst du einen Argumentenfehler   bestimmen, der dir garantiert, dass der Endfehler der Berechnung   garantiert kleiner als   ist, wenn der Fehler im Argument   kleiner als   ist.

Ein   kann nur dann gefunden werden, wenn kleine Änderungen des Arguments   kleine Änderungen des Funktionswertes   verursachen. Bei stetigen Funktionen an der Stelle   muss also gelten:

 

Diese Implikation muss man so lesen: Wenn   hinreichend nah an   liegt, dann ist   ungefähr  . Diese Tatsache kann auch mit dem Begriff der  -Umgebung beschrieben werden:

Zu jeder noch so kleinen  -Umgebung   um   gibt es eine  -Umgebung   um  , deren Funktionswerte alle in der  -Umgebung liegen.

Diese Beschreibung wird in der Topologie weiter verallgemeinert und führt zur topologischen Definition der Stetigkeit.

Visuelle Interpretation des Epsilon-Delta-KriteriumsBearbeiten

Beschreibung der Stetigkeit im GraphenBearbeiten

Das Epsilon-Delta-Kriterium kann gut im Graphen visualisiert werden. Wir starten hier mit der Implikation  . Nach ihr ist der Abstand von   zu   kleiner als Epsilon, wenn der Abstand von   zu   kleiner als   ist. Sprich: Für   ist  . Dies kann dadurch illustriert werden, dass der Punkt   im Inneren des Rechtecks   liegt. Dabei ist   das Innere des Rechtecks mit Breite   und der Höhe   um den Mittelpunkt  :

Dieses Rechteck werden wir im Folgenden  - -Rechteck nennen. Der Rand des Rechtecks gehört dabei nicht dazu. Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium ist die Implikation   für alle Argumente   erfüllt. Damit müssen alle Punkte des Graphen von   eingeschränkt auf die Argumente im Intervall   im Inneren des  - -Rechtecks liegen (grüner Bereich in der folgenden Zeichnung) und dürfen sich nicht oberhalb oder unterhalb des Rechtecks befinden (roter Bereich):

Insgesamt kann das Epsilon-Delta-Kriterium folgendermaßen beschrieben werden:

Zu jedem   gibt es ein (hinreichend kleines)  , so dass der Graph von   eingeschränkt auf   komplett im Inneren des  - -Rechtecks liegt.

Beispiel einer stetigen FunktionBearbeiten

Schauen wir uns dies am Beispiel der Funktion   an. Diese Funktion ist an jeder Stelle stetig und damit insbesondere auch im Punkt  . Es ist  . Betrachten wir zunächst den maximalen Fehler   um  . Wir finden mit   ein  , so dass der Graph von   im Inneren des  - -Rechtecks verläuft:

Nicht nur für  , sondern zu jedem   können wir ein   angeben, so dass   im Inneren und nicht ober- bzw. unterhalb vom  - -Rechtecks liegt:

Beispiel einer unstetigen FunktionBearbeiten

Was passiert, wenn die Funktion unstetig ist? Nehmen wir die Vorzeichenfunktion  , die im Nullpunkt unstetig ist:

 

So sieht der Graph der Vorzeichenfunktion aus:

Am Graphen kann man schon intuitiv erkennen, dass bei dem Argument   eine Unstetigkeitsstelle vorliegt. Hier schlägt auch unsere Visualisierungsmöglichkeit der Stetigkeit fehl. Wählt man ein  , welches kleiner als die Sprunghöhe ist (also ein  ), dann gibt es kein  , so dass der Graph vollständig im Inneren des  - -Rechtecks verläuft. Wenn wir beispielsweise   wählen, dann gibt es für jedes noch so kleine   mindestens einen Funktionswert, der oberhalb bzw. unterhalb des  - -Rechtecks liegt:

Abhängigkeiten der VariablenBearbeiten

StetigkeitBearbeiten

Wir betrachten die Stetigkeit einer Funktion   am Punkt  . Zunächst wird ein beliebiges   vorgegeben. Nun muss ein   gefunden werden, so dass der Graph von   eingeschränkt auf Argumente im Intervall   komplett im Epsilon-Schlauch   liegt. Hierzu muss das   hinreichend klein gewählt werden. Wenn   zu groß ist, gibt es gegebenenfalls ein Argument   in  , bei dem   einen Abstand größer als   von   aufweist:

Wie klein   gewählt werden muss, hängt von vielen Faktoren ab: Der betrachteten Funktion  , dem vorgegebenen   und dem Argument  . Je nach Funktionsverlauf muss ein anderes   gewählt werden. Im Allgemeinen muss auch bei einem kleineren   ein kleineres   gewählt werden. Dies zeigen die folgenden Diagramme. Hier ist die Quadratfunktion abgebildet, welche bei   stetig ist. Bei einem kleineren   fällt die Wahl des   kleiner aus:

Auch von der betrachteten Stelle hängt das   ab. Je stärker sich eine Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle ändert, desto kleiner muss   gewählt werden. In der folgenden Grafik ist der gefundene  -Wert zwar für   ausreichend klein, für   ist er jedoch zu groß:

In der Umgebung von   ändert sich die Funktion   stärker als in der Umgebung um  . Daher müssen wir das   für   kleiner wählen. Wir bezeichnen die  -Werte an den Punkten   und   entsprechend mit   und   und wählen   kleiner als vorher:

Wir haben gesehen, dass die Wahl von   von der betrachteten Funktion  , der betrachteten Stelle   und dem vorgegebenen   abhängt.

UnstetigkeitBearbeiten

Im Fall der Unstetigkeit ändern sich die Zusammenhänge der Variablen untereinander. Dies liegt daran, dass bei der Negation die Quantoren vertauscht werden. Um die Unstetigkeit zu zeigen, muss zunächst ein   gefunden werden, bei dem für kein   der Graph von   komplett im Inneren des  - -Rechtecks verläuft. Hierzu muss   hinreichend klein sein. Wenn beispielsweise die Unstetigkeit durch einen Sprung hervorgerufen wird, sollte   kleiner als die Sprunghöhe gewählt werden. Wenn   zu groß ist, gibt es gegebenenfalls ein  , so dass   im Inneren des  - -Rechtecks liegt:

Welches   gewählt werden muss, hängt vom Funktionsverlauf und der betrachteten Stelle   ab. Nachdem   gewählt wurde, wird   beliebig vorgegeben. Nun muss es ein   zwischen den Zahlen   und   geben, so dass   einen Abstand größer gleich   von   aufweist. Der Punkt   liegt also ober- bzw. unterhalb des  - -Rechtecks. Welches   gewählt werden muss, hängt von vielen Parametern ab: Von dem   und dem  , dem Funktionsverlauf und der betrachteten Unstetigkeitsstelle.

BeispielaufgabenBearbeiten

StetigkeitBearbeiten

Aufgabe (Stetigkeit einer linearen Funktion)

Beweise, dass die lineare Funktion   mit   stetig ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Stetigkeit einer linearen Funktion)

 
Graph der Funktion   mit  . Am Graphen kann man erkennen, dass diese Funktion an jeder Stelle stetig ist.

Um die Stetigkeit von   zu beweisen, müssen wir die Stetigkeit an jedem Argument   beweisen. Sei also   eine beliebige reelle Zahl. Nun nehmen wir einen beliebigen Maximalfehler   an. Unsere Aufgabe liegt jetzt darin, ein hinreichend kleines   zu finden, so dass   für alle Argumente   mit   ist. Schauen wir uns hierzu die Ungleichung   genauer an:

 

Es muss also   für alle   mit   gelten. Wie muss   gewählt werden, so dass aus   die Ungleichung   folgt?

Nun können wir ausnutzen, dass in der Ungleichung   der Betrag   vorkommt. Wegen   wissen wir, dass dieser Betrag kleiner als   ist. Dies können wir in den Term   einsetzen:

 

Wenn wir   so geschickt wählen, dass   ist, folgt aus   die zu zeigende Ungleichung  . Durch Äquivalenzumformungen von   können wir ein hinreichend kleines   finden:

 

Jedes   mit   ist für den Beweis ausreichend. Für den finalen Beweis wählen wir  .

Beweis (Stetigkeit einer linearen Funktion)

Sei   mit   und sei   beliebig. Sei weiterhin   beliebig. Wir wählen  . Sei   mit  . Es ist:

 

Damit ist  , womit die Stetigkeit von   an der Stelle   bewiesen ist. Da   beliebig gewählt wurde, ist   stetig.

UnstetigkeitBearbeiten

Aufgabe (Unstetigkeit der Vorzeichenfunktion)

Beweise, dass die Vorzeichenfunktion   mit folgender Zuordnungsvorschrift unstetig ist:

 

Wie kommt man auf den Beweis? (Unstetigkeit der Vorzeichenfunktion)

Um die Unstetigkeit zu beweisen, müssen wir eine Unstetigkeitsstelle der Funktion finden. Schauen wir uns hierzu den Graphen der Funktion an:

Man sieht, dass die Funktion an der Nullstelle einen Sprung aufweist. Bei   sollte sich also eine Unstetigkeitsstelle befinden. Nun müssen wir ein   finden, für welches kein   gefunden werden kann, so dass die Funktion komplett im  - -Rechteck liegt. Hier müssen wir   kleiner als die Sprunghöhe   wählen – zum Beispiel  . Egal welches   wir nun vorgeben, es muss Funktionswerte unter- oder oberhalb des  - -Rechtecks geben.

Sei also   beliebig. Wir müssen nun zeigen, dass es ein   mit   und   gibt. Schauen wir uns zunächst die Ungleichung   an:

 

Bei der Ungleichung   ergibt sich:

 

Das   muss damit so gewählt werden, dass   und   ist. Beginnen wir mit der zweiten Ungleichung  . Für   ist   entweder   oder  . Für   gilt somit immer  .

Blicken wir nun auf die Ungleichung  . Wie wir gerade geschlossen haben, soll   sein. Dies ist zum Beispiel für alle   mit   erfüllt. Wählen wir also für   den Mittelwert zwischen   und   mit  .

Dies sehen wir auch in folgender Grafik. Hier haben wir das  - -Rechteck mit   und   eingetragen. Alle Punkte, die unter- oder oberhalb des Rechtecks liegen, sind rot markiert. Dies sind alle   im Intervall   mit  . Unsere Wahl   ist gesondert markiert und liegt oberhalb des Rechtecks:

Die Wahl von   reicht aus.

Beweis (Unstetigkeit der Vorzeichenfunktion)

Wir setzen  . Außerdem wählen wir  . Sei   beliebig. Wählen wir  . Zum einen ist:

 

Zum anderen ist

 

Damit ist   an der Stelle   unstetig und somit insgesamt unstetig.

Zusammenhang mit dem FolgenkriteriumBearbeiten

Es gibt zwei Definitionen der Stetigkeit: das Epsilon-Delta-Kriterium und das Folgenkriterium. Um zu zeigen, dass beide Definitionen das gleiche Konzept beschreiben, müssen wir beweisen, dass beide Kriterien äquivalent zueinander sind. Wenn das Folgenkriterium erfüllt ist, muss auch das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt sein und umgekehrt.

Epsilon-Delta-Kriterium impliziert FolgenkriteriumBearbeiten

Satz (Das Epsilon-Delta-Kriterium impliziert das Folgenkriterium)

Sei   mit   eine Funktion. Wenn diese Funktion an der Stelle   das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt, dann ist auch das Folgenkriterium an der Stelle   erfüllt.

Wie kommt man auf den Beweis? (Das Epsilon-Delta-Kriterium impliziert das Folgenkriterium)

Nehmen wir an, dass die Funktion   an der Stelle   das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt. Es gilt also:

Zu jedem   gibt es ein  , sodass   für alle   mit   ist.

Wir wollen nun zeigen, dass auch das Folgenkriterium erfüllt ist. Für jede Argumentenfolge   mit Grenzwert   soll also   gelten. Sei also   eine Folge von Argumenten   mit  . Wir müssen nun zeigen, dass der Grenzwert der Funktionswertfolge   gleich   ist. Es soll also gelten:

Zu jedem   gibt es ein   mit   für alle  .

Sei   beliebig. Wir müssen nun ein   finden, so dass   für alle   erfüllt ist. Wir kennen die Ungleichung   aus der Konklusion des Epsilon-Delta-Kriteriums. Der Unterschied liegt darin, dass wir anstelle des Arguments   das Folgenglied   haben. Wenden wir also das Epsilon-Delta-Kriterium auf unseren speziellen Fall mit dem vorgegebenen   an. Wir erhalten:

Es gibt ein  , so dass   für alle Folgenglieder   mit   ist.

Wir kommen dem Ziel näher. Wenn ein Folgenglied   die Ungleichung   erfüllt, erfüllt es auch die Zielungleichung  . Nun wissen wir wegen  , dass   beliebig klein wird. Damit gibt es ein  , so dass   für alle   erfüllt ist. Dieses   können wir als unser   wählen. Ist nämlich  , so ist   und damit   nach dem Epsilon-Delta-Kriterium.

Beweis (Das Epsilon-Delta-Kriterium impliziert das Folgenkriterium)

Sei   eine Funktion, die an der Stelle   das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt. Sei   eine Folge mit   für alle   und  . Wir wollen zeigen, dass für beliebiges   ein   existiert, sodass   für alle   gilt.

Sei   beliebig. Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gibt es ein  , sodass   für alle   mit   ist. Wegen der Konvergenz von   gegen   können wir ein   finden, sodass   für alle   ist.

Sei   beliebig. Es ist damit  . Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gilt damit  . Dies beweist   und damit das Folgenkriterium.

Folgenkriterium impliziert Epsilon-Delta-KriteriumBearbeiten

Satz (Das Folgenkriterium impliziert das Epsilon-Delta-Kriterium)

Sei   mit   eine Funktion. Wenn   an der Stelle   das Folgenkriterium erfüllt, erfüllt sie auch das Epsilon-Delta-Kriterium.

Wie kommt man auf den Beweis? (Das Folgenkriterium impliziert das Epsilon-Delta-Kriterium)

Wir müssen folgende Implikation beweisen:

 

Wir beweisen diese Implikation über Kontraposition. Wir werden also zeigen, dass folgende Implikation gilt:

 

Also:

 

Sei also   eine Funktion, die das Epsilon-Delta-Kriterium an der Stelle   nicht erfüllt. Damit erfüllt   die Unstetigkeitsversion des Epsilon-Delta-Kriteriums an der Stelle  . Es existiert ein  , so dass es für jedes   ein   mit   und   gibt. Wir müssen nun zeigen, dass das Folgenkriterium nicht erfüllt ist. Hierzu müssen wir eine Folge   von Argumenten finden, so dass   und   ist.

Um die gesuchte Folge   zu finden, müssen wir die Unstetigkeitsversion des Epsilon-Delta-Kriteriums geschickt nutzen. Hier wird uns ein   vorgegeben, so dass für gewisse Argumente   die Ungleichung   gilt. Wenn wir als Folgenglieder nur solche Argumente   verwenden, dann ist automatisch wegen dieser Ungleichung  .

Nun brauchen wir eine Argumentenfolge  , die gegen   konvergiert. Hierzu suchen wir uns eine Nullfolge  . Bespielsweise kann   gewählt werden. Für jedes   finden wir ein Argument   mit   und  . Aus diesen   bilden wir die gesuchte Argumentenfolge  . Diese erfüllt zum einen   und wegen   damit  . Zum anderen kann wegen   die Funktionswertfolge   nicht gegen   konvergieren.

Beweis (Das Folgenkriterium impliziert das Epsilon-Delta-Kriterium)

Wir beweisen den Satz über Kontraposition. Hierzu müssen wir zeigen, dass eine Funktion  , die das Epsilon-Delta-Kriterium an der Stelle   nicht erfüllt, auch das Folgenkriterium an der Stelle   nicht erfüllt. Sei also   mit   eine Funktion, die an der Stelle   das Epsilon-Delta-Kriterium nicht erfüllt. Es gibt also ein  , so dass für alle   ein   mit   und   existiert.

Für jedes   gibt es damit ein   mit   und  . Aus der Ungleichung   folgt  . Da   ist, ist sowohl   als auch  . Nach dem Sandwichsatz konvergiert damit die Folge   gegen  .

Jedoch kann wegen   für alle   die Folge   nicht gegen   konvergieren. Damit ist das Folgenkriterium an der Stelle   für die Funktion   nicht erfüllt. Es gibt nämlich eine Argumentenfolge   mit   und  .

ÜbungsaufgabenBearbeiten

QuadratfunktionBearbeiten

Aufgabe (Stetigkeit der Quadratfunktion)

Beweise, dass die Funktion   mit   stetig ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Stetigkeit der Quadratfunktion)

Für den Beweis müssen wir zeigen, dass die Quadratfunktion an jeder Stelle   stetig ist. Nach der allgemeinen Beweisstruktur des Epsilon-Delta-Kriteriums wird ein beliebiges   vorgegeben. Wir müssen dann ein geeignetes   finden, sodass die Ungleichung   für alle   erfüllt ist.

Um ein geeignetes   zu finden, setzen wir zunächst in den Term   die bekannte Funktionszuordnung   ein:

 

Den Term   können wir kontrollieren. Daher ist es sinnvoll, den Term   so umzuformen bzw. nach oben abzuschätzen, dass   auftaucht. Hierzu bietet sich die dritte binomische Formel an:

 

Aus unserer Voraussetzung, dass   gelten soll, können wir den Ausdruck nach oben abschätzen:

 

Da das  , welches wir suchen, nur von   und   abhängen darf, stört uns die vorhandene Abhängigkeit von   in  . Um diese Abhängigkeit zu eliminieren, können wir den Faktor   geschickt nach oben abschätzen. Dabei verwenden wir einen unscheinbaren – aber häufig verwendeten – "Trick": Wir subtrahieren an geeigneter Stelle ein   und addieren es wieder, so dass der Term   entsteht:

 

Damit wir den Betrag   erhalten, nutzen wir die Dreiecksungleichung. Den Term   können wir wieder nach oben durch   abschätzen:

 

Durch geschicktes Umformen und Abschätzen haben wir so erhalten:

 

Mit dieser Ungleichung sind wir fast am Ziel. Wenn wir   so geschickt wählen, dass   ist, wird unsere Zielungleichung   erfüllt. So könnten wir die "Mitternachtsformel" bei der quadratischen Gleichung   anwenden, um eine passende Wahl von   zu finden. Der Term   kann durch eine weitere Abschätzung jedoch vereinfacht werden. Hierzu können wir ausnutzen, dass wir beliebige Bedingungen an das   stellen können. So folgt aus der Bedingung  , dass   ist und damit gilt:

 

Somit führt auch   zum Ziel. Diese Ungleichung können wir umstellen, um eine zweite Bedingung für   zu finden (unsere erste Bedingung lautet  ):

 

Wir haben zwei Bedingungen für   gefunden:   und  . Beide Bedingungen sind erfüllt für  . Diese Wahl treffen wir im finalen Beweis und führen die Abschätzungen so, wie wir sie gerade gefunden haben.

Beweis (Stetigkeit der Quadratfunktion)

Sei   beliebig und sei  . Wenn   erfüllt ist, dann folgt: