Unstetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

ÜberblickBearbeiten

Um die Unstetigkeit einer Funktion zu beweisen, muss man zeigen, dass diese mindestens eine Unstetigkeitsstelle besitzt. Für den Nachweis einer Unstetigkeitsstelle kann man eine von mehreren Methoden verwenden:

  • Folgenkriterium: Man kann nachweisen, dass die Funktion an der betrachteten Stelle das Folgenkriterium nicht erfüllt.
  • Betrachtung des links- und rechtsseitigen Grenzwert: Man kann den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion an der betrachteten Stelle ausrechnen. Wenn entweder einer dieser beiden Grenzwerte nicht existiert oder wenn diese Grenzwerte unterschiedlich sind, dann ist die Funktion an der betrachteten Stelle unstetig.
  • Epsilon-Delta-Kriterium: Man kann nachweisen, dass die Funktion an der betrachteten Stelle das Epsilon-Delta-Kriterium nicht erfüllt.

FolgenkriteriumBearbeiten

Hauptartikel: Folgenkriterium der Stetigkeit: Folgenstetigkeit

Wiederholung: FolgenkriteriumBearbeiten

Definition (Folgenkriterium der Stetigkeit an einer Stelle)

Eine Funktion   mit   ist stetig an der Stelle  , wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:

 

BeweisskizzeBearbeiten

Unstetigkeit mit Hilfe des Folgenkriteriums zeigen (Beweisschema)

Um mit dem Folgenkriterium zu zeigen, dass eine Funktion   an der Stelle   unstetig ist, muss man eine Argumentenfolge   mit   für alle   und dem Grenzwert   finden, so dass die Funktionswertfolge   nicht gegen   konvergiert. Es soll also   und   gelten. Für   gibt es zwei Möglichkeiten:

  • Die Funktionswertfolge   divergiert.
  • Die Funktionswertfolge   konvergiert, jedoch ist ihr Grenzwert ungleich  .

Ein Unstetigkeitsbeweis über das Folgenkriterium könnte zum Beispiel folgende Form aufweisen:

Sei   eine Funktion mit  . Diese Funktion ist unstetig an der Stelle  . Wählen wir nämlich die Folge   mit  , so liegen alle Folgenglieder im Definitionsbereich von  , und wir haben

 

Jedoch ist  . Es ist nämlich ...Beweis, dass   divergiert oder dass der Grenzwert von   ungleich   ist...

BeispielaufgabeBearbeiten

Beweis der Unstetigkeit der topologischen Sinusfunktion mit Hilfe des Folgenkriteriums

Aufgabe (Unstetigkeit der topologischen Sinusfunktion)

Beweise die Unstetigkeit der folgenden Funktion:

 

Wie kommt man auf den Beweis? (Unstetigkeit der topologischen Sinusfunktion)

Damit   eine unstetige Funktion ist, muss sie mindestens eine Unstetigkeitkeitsstelle besitzen. Für jedes   entspricht   in einer hinreichend kleinen Umgebung von   der Funktion  . Da die Funktion   als Komposition stetiger Funktionen stetig ist, muss auch   für alle   stetig sein. Damit muss die Unstetigkeitsstelle bei   liegen.

Um mit dem Folgenkriterium zu zeigen, dass   an der Stelle   unstetig ist, müssen wir eine Argumentenfolge   mit   und   finden. Um diese Argumentenfolge zu finden, schauen wir uns zunächst den Graphen der Funktion   an:

In der Graphik sehen wir, dass die Funktion   in jeder Umgebung des Nullpunkts jeden Wert zwischen   und   beliebig oft annimmt. Also können wir   so wählen, dass   immer gleich   ist. Dann ist nämlich garantiert, dass   ist. Dabei wählen wir   so, dass   von oben gegen Null konvergiert.

In der folgenden Graphik sind neben dem Graphen von   auch die Funktionswerte der Folge   eingetragen. Man sieht, dass für   die Funktionswerte gegen   konvergieren, was ungleich dem Funktionswert   ist:

Wie lauten die Werte für  ? Formen wir hierzu die Gleichung   nach   um:

 

Für alle   mit   gilt also  . Damit unsere Argumente   positiv sind und von oben gegen Null konvergieren, wählen wir  . Es gilt dann:

 

Jedoch haben wir gesehen, dass   ist. Wir haben also eine Argumentenfolge   gefunden, welche die Unstetigkeit von   an der Stelle   beweist.

Beweis (Unstetigkeit der topologischen Sinusfunktion)

Sei   mit   für   und  . Wir betrachten die Folge   mit  . Für diese Folge ist:

 

Außerdem gilt:

 

Damit ist  , obwohl   ist. Dies beweist, dass   an der Stelle   und somit auch insgesamt unstetig ist.

Baustelle: Betrachtung des links- und rechtsseitigen GrenzwertsBearbeiten

To-Do:

In diesem Abschnitt sollte man an einem Beispiel einer Funktion mit Fallunterscheidung zeigen, wie man durch die Betrachtung des links- und rechtsseitigen Grenzwerts die Unstetigkeit einer Funktion beweisen. Jedoch sollte zunächst im Kapitel Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert von Funktionen der links- und rechtsseitige Grenzwert eingeführt werden. Auch muss dort bewiesen werden, dass eine Funktion an einem Punkt genau dann stetig ist, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert existiert und dem Funktionswert an einer Stelle entspricht.

Epsilon-Delta-KriteriumBearbeiten

Hauptartikel: Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit

Wiederholung: Epsilon-Delta-KriteriumBearbeiten

Definition (Epsilon-Delta-Definition der Unstetigkeit)

Eine Funktion   mit   ist genau dann unstetig an der Stelle  , wenn es ein   gibt, so dass es für alle   ein   mit   und   gibt.   ist also genau dann in   unstetig, wenn gilt

 

Allgemeine BeweisstrukturBearbeiten

Epsilon-Delta-Kriterium der Unstetigkeit kann folgendermaßen in Prädikatenlogik formuliert werden:

 

Daraus ergibt sich ein Schema, mit dem die Unstetigkeit einer Funktion nach dem Epsilon-Delta-Kriterium bewiesen werden kann:

 

BeispielaufgabeBearbeiten

Aufgabe (Unstetigkeit der topologischen Sinusfunktion)

Beweise die Unstetigkeit der folgenden Funktion an der Stelle  :

 

Wie kommt man auf den Beweis? (Unstetigkeit der topologischen Sinusfunktion)

Bei dieser Aufgabe soll die Unstetigkeit einer Funktion gezeigt werden. Wir betrachten hierzu die Negation des Epsilon-Delta-Kriteriums. Unser Ziel ist es sowohl ein  , als auch ein   so zu wählen, dass   und   ist. Dabei darf   in Abhänigigkeit von   gewählt werden, während   unabhängig für alle   sein muss. Für eine Lösung können wir folgendermaßen vorgehen:

Schritt 1: Zielungleichungen vereinfachen

Zunächst können wir beide Ungleichungen, die erfüllt sein müssen, umschreiben, denn in unserem Fall ist   und  . Dadurch können wir schreiben:   und  .

Schritt 2: Wahl eines geeigneten  

Wir betrachten nun den Graphen der Funktion   – dieser hilft uns nämlich unsere „Beweisbausteine“ zu finden:

Wir müssen ein   finden, so dass es stets Funktionswerte im Bereich   gibt, die einen Abstand größer gleich   von   haben – egal wie klein   ist. Sprich: Egal, welches   wir wählen, es gibt immer Punkte die oberhalb oder unterhalb des  - -Rechtecks liegen.

In der Grafik erkennen wir, dass die Funktion in der Nähe des Nullpunkts unendlich oft zwischen   und   oszilliert. Damit bietet sich ein   an. Dann gibt es nämlich immer Funktionswerte in jeder noch so kleinen Umgebung von der Null mit  . Wir wählen  . In der folgenden Grafik ist dies illustriert:

Im Beweis müssen wir nach der Wahl von   das   beliebig größer Null wählen. Das machen wir dann auch.

Schritt 3: Wahl eines geeigneten  

Wir haben   gesetzt. Es muss nun gelten  . Damit diese Bedingung erfüllt ist, können wir solche   mit   wählen. Nun ist   genau dann, wenn   für ein   ist. Für die gesuchten   gilt also:

 

Damit haben wir verschiedene   gefunden, für die   gilt. Jetzt muss noch die erste Bedingung   beachtet werden. Unsere   hängen von   ab. Wir müssen ein geeignetes   mit   finden, so dass   erfüllt ist. Setzen wir also in diese Ungleichung   die gefundene Gleichung   ein und stellen sie nach   um:

 

Dies liefert den Ausdruck  . Wählen wir also eine natürliche Zahl  , die größer als   ist, so ist   erfüllt. Ein solches   muss nach dem archimedischen Axiom existieren. Wählen wir ein solches   und definieren damit das   über  , haben wir sowohl   als auch   gegeben. Damit sind alle Bausteine für den Beweis gefunden und dieser muss nur noch sauber aufgeschrieben werden.

Beweis (Unstetigkeit der topologischen Sinusfunktion)

Wähle   und sei   beliebig. Wähle eine natürliche Zahl  , so dass  . Eine solche natürliche Zahl   muss nach dem Archimedischen Axiom existieren. Weiter sei  . So gilt:

 

Weiter ist:

 

Damit ist die Funktion unstetig an der Stelle  .

ÜbungsaufgabenBearbeiten

Epsilon-Delta-Kriterium: VorzeichenfunktionBearbeiten

Aufgabe (Unstetigkeit der Vorzeichenfunktion)

Beweise, dass die Vorzeichenfunktion   mit folgender Zuordnungsvorschrift unstetig ist:

 

Wie kommt man auf den Beweis? (Unstetigkeit der Vorzeichenfunktion)

Um die Unstetigkeit zu beweisen, müssen wir eine Unstetigkeitsstelle der Funktion finden. Schauen wir uns hierzu den Graphen der Funktion an:

Man sieht, dass die Funktion an der Nullstelle einen Sprung aufweist. Bei   sollte sich also eine Unstetigkeitsstelle befinden. Nun müssen wir ein   finden, für welches kein   gefunden werden kann, so dass die Funktion komplett im  - -Rechteck liegt. Hier müssen wir   kleiner als die Sprunghöhe   wählen – zum Beispiel  . Egal welches   wir nun vorgeben, es muss Funktionswerte unter- oder oberhalb des  - -Rechtecks geben.

Sei also   beliebig. Wir müssen nun zeigen, dass es ein   mit   und   gibt. Schauen wir uns zunächst die Ungleichung   an:

 

Bei der Ungleichung   ergibt sich:

 

Das   muss damit so gewählt werden, dass   und   ist. Beginnen wir mit der zweiten Ungleichung  . Für   ist   entweder   oder  . Für   gilt somit immer  .

Blicken wir nun auf die Ungleichung  . Wie wir gerade geschlossen haben, soll   sein. Dies ist zum Beispiel für alle   mit   erfüllt. Wählen wir also für   den Mittelwert zwischen   und   mit  .

Dies sehen wir auch in folgender Grafik. Hier haben wir das  - -Rechteck mit   und   eingetragen. Alle Punkte, die unter- oder oberhalb des Rechtecks liegen, sind rot markiert. Dies sind alle   im Intervall   mit  . Unsere Wahl   ist gesondert markiert und liegt oberhalb des Rechtecks:

Die Wahl von   reicht aus.

Beweis (Unstetigkeit der Vorzeichenfunktion)

Wir setzen  . Außerdem wählen wir  . Sei   beliebig. Wählen wir  . Zum einen ist:

 

Zum anderen ist

 

Damit ist   an der Stelle   unstetig und somit insgesamt unstetig.