Zwischenwertsatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Der Zwischenwertsatz besagt, dass jede stetige Funktion alle Werte zwischen und mindestens einmal annimmt. Stetige Funktionen nehmen also alle Zwischenwerte zwischen und an (wenn es zwischen und keine Lücken im Definitionsbereich gibt). Der Zwischenwertsatz kann somit genutzt werden, um die Existenz von Funktionswerten zu beweisen.

MotivationBearbeiten

Zwischenwertsatz: Intuition und Praxis

Sei   eine beliebige stetige Funktion. An der Stelle   besitzt sie den Funktionswert   und an der Stelle   den Funktionswert  . Nehmen wir an, dass   ist. Sei außerdem   ein beliebiger Wert zwischen   und  , also  :

Nach unserer Vorstellung besitzen stetige Funktionen innerhalb des Definitionsbereichs keine Sprünge. Da   auf dem gesamten Intervall   definiert ist und somit ihr Definitionsbereich zusammenhängend ist, verbindet der Graph die Punkte   und   ohne Sprünge. Wenn wir   und   ohne Absetzen des Stifts verbinden, müssen wir irgendwann die Gerade   kreuzen. Es gibt also mindestens einen Schnittpunkt zwischen der Geraden   und dem Graphen von  :

Für die  -Werte   der Schnittpunkte gilt  . Der Zwischenwert   wird also mindestens einmal durch die Funktion   angenommen. Wir haben intuitiv gesehen, dass stetige Funktionen alle Werte zwischen zwei Funktionswerten mindestens einmal annehmen, wenn der Definitionsbereich keine Lücken zwischen den beiden Argumenten besitzt.

Der ZwischenwertsatzBearbeiten

Erklärung der Definition des Zwischenwertsatzes. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Satz (Zwischenwertsatz)

Sei   eine stetige Funktion mit   und  . Sei   ein Wert zwischen den beiden Funktionswerten   und  . Es gilt also   oder  . Dann gibt es mindestens eine reelle Zahl   mit  . Der Zwischenwert   wird also mindestens einmal von der Funktion   angenommen.

Nullstellensatz von BolzanoBearbeiten

Für den Beweis des Zwischenwertsatzes reicht es aus, diesen nur für den Spezialfall   zu beweisen. Dieser Spezialfall wird auch „Nullstellensatz von Bolzano” genannt:

Satz (Nullstellensatz von Bolzano)

Sei   eine stetige Funktion mit   und  . Sei außerdem die Null ein Zwischenwert von   und  , also   oder  . Dann besitzt   mindestens eine Nullstelle. Es gibt also mindestens ein Argument   mit  .

Wieso reicht es, nur diesen Spezialfall zu betrachten? Nehmen wir eine stetige Funktion   und einen Wert   zwischen den Funktionswerten   und  . Nach dem Zwischenwertsatz müssen wir nun ein   mit   finden. Nun gilt:

 

Damit ist genau dann  , wenn   ist. Wir definieren nun die Hilfsfunktion   mit  . Wie wir gerade festgestellt haben, ist genau im Fall   die Gleichung   erfüllt. Wenn wir also eine Nullstelle von   finden, dann nimmt auch die Funktion   den Wert   an.

Nun erfüllt die Funktion   alle Voraussetzungen des Nullstellensatz von Bolzano. Es ist eine Funktion der Form   mit dem abgeschlossenen Intervall   als Definitionsbereich. Als Verkettung stetiger Funktionen ist die Funktion   stetig. Im Fall   ist:

 

Damit folgt aus   die Ungleichungskette  . Betrachten wir nun den Fall  :

 

Es folgt insgesamt, dass Null ein Zwischenwert von   und   ist. Somit erfüllt   die Voraussetzungen des Nullstellensatz von Bolzano. Nach diesem Nullstellensatz gibt es ein   mit  . Für dieses   ist dann  . Dies zeigt, dass aus dem Nullstellensatz von Bolzano der allgemeinere Zwischenwertsatz folgt. Wir müssen also nur den Nullstellensatz von Bolzano beweisen.

Beweis des Nullstellensatz von BolzanoBearbeiten

Beweis (Nullstellensatz von Bolzano)

Sei   eine stetige Funktion mit   oder  . Im Folgenden betrachten wir den Fall  . Der andere Fall   kann analog bewiesen werden. Wir müssen nun eine Nullstelle von   finden. Dies kann durch eine geeignete Intervallschachtelung gezeigt werden. Als Startintervall wählen wir  , also   und  . Wir wissen nämlich, dass sich im Intervall   die gesuchte Nullstelle befinden muss.

Für   oder   haben wir bereits eine Nullstelle bei   bzw.   gefunden und sind fertig. Falls   und   ist, verkleinern wir unser Intervall. Wir betrachten hierzu den Mittelpunkt   des Startintervalls. Ist der Wert von   an diesem Punkt gleich Null, so haben wir wieder eine Nullstelle gefunden und sind fertig.

Wenn   ist, so wählen wir nun ein anderes Intervall, in dem sich eine Nullstelle befinden muss. Nehmen wir an, es sei  . Dann ergibt sich folgendes Bild:

Wir sehen, dass der Graph im ersten Intervall von   bis   die  -Achse überqueren muss. Da   als stetige Funktion keine Sprünge aufweist und in diesem Intervall keine Definitionslücken aufweist, sollte sich in diesem Intervall also eine Nullstelle von   befinden. Da beide Funktionswerte   und   positiv sind, können wir nicht sagen, ob sich im Bereich von   bis   eine Nullstelle befindet oder nicht. Deswegen wählen wir als zweites Intervall  .

Wenn demgegenüber   kleiner als Null ist, muss der Graph von   im zweiten Intervall von   bis   einen Vorzeichenwechsel vollführen. Dementsprechend sollte sich dort eine Nullstelle befinden und wir wählen in diesem Fall   als zweites Intervall  :

Insgesamt bestimmen wir   folgendermaßen:

 

Diesen Vorgang wiederholen wir nun immer wieder: Im  -ten Schritt berechnet wir den Mittelpunkt   des Intervalls  . Nimmt   hier den Wert   an, sind wir fertig und können   als Nullstelle zurückgeben. Ansonsten wählen wir analog zu vorher ein neues Intervall   mit folgender Definition

 
Folgende Animation zeigt die ersten vier Schritte der Intervallschachtelung:

Durch dieses Vorgehen erhalten wir entweder nach irgendeinem Schritt   eine gesuchte Nullstelle, oder wir bekommen eine Folge von Intervallen  . So wie wir die Folgenglieder gewählt haben, ist die Folge   monoton wachsend, und die Folge   monoton fallend. Da jedes Folgenglied im Intervall   liegt, sind die Folgen auch beschränkt. Daraus können wir nach dem Monotoniekriterium für Folgen folgern, dass beide Folgen konvergieren. Beachte, dass die Länge des Intervalls bei jedem Schritt halbiert wird. Das heißt:

 

Und damit folgt:  . Damit konvergieren die Folgen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen gegen den gleichen Wert  . Außerdem gilt mit unserer Wahl, dass   sowie   für alle   gilt. Deswegen gilt für die Grenzwerte:   und  . Weil   stetig ist, gilt

 

Mit der oberen Zeile folgt also   und  , damit muss   gelten und wir haben auch in diesem Fall eine Nullstelle der Funktion   gefunden.

Folgerungungen aus dem ZwischenwertsatzBearbeiten

Stetige Funktionen bilden Intervalle auf Intervalle ab Bearbeiten

Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes können wir beweisen, dass stetige Funktionen Intervalle auf Intervalle abbilden:

Satz (Folgerung aus Zwischenwertsatz)

Sei   ein Intervall und   stetig. Dann ist auch   ein Intervall.

Beweis (Folgerung aus Zwischenwertsatz)

Wir setzen   und  . Dabei erlauben wir   (wenn   nach unten unbeschränkt ist) und   (wenn   nach oben unbeschränkt ist). Nehmen wir nun eine reelle Zahl   mit  . Aus der Definition vom Infimum folgt aus  , dass es ein   mit   gibt. Analog gibt es ein   mit  . Ingesamt ist damit  .

  ist damit ein Zwischenwert zweier Funktionswerte von  . Da   stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein   mit  . Da   beliebig war, folgt  . Nun können noch   oder   Elemente von   sein. Damit muss   eines der folgenden vier Intervalle sein:

 

Wir sehen, dass   ein Intervall ist.

Wertebereich von PotenzfunktionenBearbeiten

Beispiel (Wertebereich der Potenzfunktionen  )

Die Potenzfunktionen   mit   für   sind stetig. Weiter gilt

 

Damit ist  . Außerdem ist

 

Bei ungeraden   ist  . Für gerade   ist  , denn für alle   ist   und die Null wird wegen   angenommen. Nach dem Zwischenwertsatz ist damit

 

Wertebereich der ExponentialfunktionBearbeiten

Beispiel (Wertebereich der Exponentialfunktion)

Die Exponentialfunktion   ist stetig. Außerdem gilt   für alle  . Es ist   und  . Es ist damit   und  . Da weder   noch   durch die Exponentialfunktion angenommen werden, folgt aus dem Zwischenwertsatz

 

Aufgabe (Wertebereich der verallgemeinerten Exponentialfunktion)

Für   definiert

 

die verallgemeinerte Exponentialfunktion. Zeige:  .

Hinweis: Unterscheide die Fälle   und  .

Lösung (Wertebereich der verallgemeinerten Exponentialfunktion)

Da   und   stetig auf   stetig sind, ist auch   als Komposition dieser Funktionen stetig auf  . Weiter ist  , da   ist.

Fall 1:  

Hier gilt  , und damit ist  . Daraus folgt  . Andererseits ist  , und somit  . Insgesamt ergibt sich in diesem Fall  .

Fall 2:  

Hier ist  , und daher  . Also folgt  . Andererseits gilt  , und somit  . Also gilt auch sich diesem Fall  .

Übungsaufgabe: FixpunktsatzBearbeiten

Beweis eines FixpunktsatzesBearbeiten

In der folgenden Aufgabe beweisen wir einen Fixpunktsatz. Fixpunkte sind Argumente   einer Funktion  , die die Gleichung   erfüllt. Fixpunkte werden also durch eine Funktion nicht verändert. Fixpunktsätze sind wiederum Sätze, die die Existenz von Fixpunkten in gewissen Situationen beweisen. Für die Mathematik sind solche Sätze wichtig, weil manchmal die Existenz eines Objekts auf die Existenz eines Fixpunktes zurückgeführt werden kann. Beispielsweise ist das Argument   genau dann Nullstelle einer Funktion  , wenn die Funktion   mit der Zuordnungsvorschrift   einen Fixpunkt besitzt. Aus der Existenz eines Fixpunkts der Funktion  , folgt die Existenz einer Nullstelle für  . In der folgenden Aufgabe werden wir einen Zwischenwertsatz beweisen:

Aufgabe (Fixpunktsatz)

Sei   eine stetige Funktion. Beweise, dass   mindestens einen Fixpunkt besitzt. Fixpunkte sind Stellen   mit  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Fixpunktsatz)

Durch Umstellung der Gleichung   erhalten wir  . Damit ist   genau dann ein Fixpunkt von  , wenn   eine Nullstelle der Funktion   ist. Definieren also die Hilfsfunktion   mit  . Wie sich herausstellt, können wir den Nullstellensatz von Bolzano einsetzen, um die Existenz einer Nullstelle zu beweisen. Hierfür müssen wir die Voraussetzungen dieses Satzes beweisen:

  •   ist stetig.
  • Null ist ein Zwischenwert von   und  .

  ist stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen und wir können außerdem beweisen, dass   ist. Der Nullstellensatz liefert damit die Existenz des Grenzwerts.

Beweis (Fixpunktsatz)

Sei   eine stetige Funktion. Wir definieren die Hilfsfunktion  . Für diese gilt:

  •   ist stetig auf   als Differenz der stetigen Funktionen   und  .
  • Es ist  , weil:
    •  
    •  .

Damit erfüllt   die Voraussetzungen des Nullstellensatzes. Es gibt daher ein   mit  . Es folgt  . Also besitzt   einen Fixpunkt.

Voraussetzungen zum FixpunktsatzBearbeiten

Im obigen Fixpunktsatz ist die Stetigkeit eine notwendige Voraussetzung des bewiesenen Fixpunktsatzes. Wenn wir diese weglassen, finden wir eine Funktion  , für die der Fixpunktsatz nicht mehr gilt. Dies zeigt folgende Aufgabe:

Aufgabe (Fixpunktsatz)

Gib eine Funktion   mit   für alle   an.

Beweis (Fixpunktsatz)

Zum Beispiel besitzt die Funktion

 

keinen Fixpunkt. Dies zeigt der folgende Graph der Funktion  . Es gibt nämlich keinen Schnittpunkt des Graphen von   mit dem Graphen der Identitätsfunktion  :

Übungsaufgabe: Nullstellen und Wertebereich von PolynomenBearbeiten

Nullstellen von PolynomenBearbeiten

Die folgende Aufgabe stellt einen Spezialfall des Fundamentalsatzes der Algebra dar. Dieser besagt, dass eine nicht-konstante Polynomfunktion

 

mit komplexen Koeffizienten   mindestens eine komplexe Nullstelle hat. Im Reellen stimmt diese Aussage im Allgemeinen nicht. Ein Polynom mit reellen Koeffizienten muss keine reelle Nullstelle haben. Eine Polynomfunktion ohne reelle Nullstellen ist zum Beispiel  . Für gewisse Polynome können wir jedoch die Existenz einer Nullstelle beweisen:

Aufgabe (Nullstellen von Polynomen)

Sei

 

eine Polynomfunktion mit   und  . Wenn  , also der Grad von  , ungerade ist, besitzt   mindestens eine Nullstelle.

Zusammenfassung des Beweises (Nullstellen von Polynomen)

Wir werden die Aufgabe mit Hilfe des Nullstellensatzes beweisen. Hierzu müssen wir zwei reelle Zahlen   mit   oder   finden. Dies folgt nun aus   und  , was wir mit einem einfachen Umformungstrick   für den Fall   zeigen können. Wir werden nur den Fall   ausführlich behandeln. Der Fall   kann analog geführt werden.

Lösung (Nullstellen von Polynomen)

Wir führen den Beweis für  . Im Fall   kann analog der Satz bewiesen werden. Für   erhalten wir durch Ausklammern von  :

 

Der Ausdruck   in den Klammern konvergiert für   gegen  . Dies gilt, da die Terme   für   gegen   konvergieren. Da   ungerade ist, folgt:

 

und

 

Damit muss es aber   mit   geben. Weiter ist   als Polynomfunktion stetig als Komposition der stetigen Funktionen   für  . Aus dem Nullstellensatz von Bolzano folgt, dass es ein   mit   gibt. Die Polynomfunktion hat also mindestens eine Nullstelle.

Wertebreich von PolynomenBearbeiten

Aufgabe (Wertebereich von Polynomen)

Sei

 

eine Polynomfunktion mit   und  , und   ungerade. Zeige, dass  .

Lösung (Wertebereich von Polynomen)

Fall 1:  

Für   ist:

 

und

 

Da   stetig ist, folgt  .

Fall 2:  

Analog zum ersten Fall.

Übungsaufgabe: Existenz von WurzelnBearbeiten

Der Zwischenwertsatz bietet eine weitere Möglichkeit die Existenz von Wurzeln zu beweisen. Im Kapitel „Wurzel reeller Zahlen“ haben wir dies bereits mit Hilfe einer Intervallschachtellung bewiesen. Wir werden nun einen alternativen Beweis mit Hilfe des Zwischenwertsatzes kennen lernen. Zur Erinnerung: Die  -te Wurzel   für eine positive Zahl   ist eine positive reelle Zahl   mit  .

Aufgabe (Existenz der Wurzel)

Sei  . Zeige, dass es für alle   eine positive reelle Zahl   mit   gibt.

Lösung (Existenz der Wurzel)

Es ist genau dann  , wenn   ist. Die gesuchte Zahl   muss also eine positive Nullstelle des Polynoms   mit   sein. Zunächst ist   als Polynom auf ganz   stetig. Damit ist   auch auf den Intervall   stetig. Weiter gilt

 

sowie

 

Damit ist  . Nach dem Zwischenwertsatz besitzt   im Intervall   mindestens eine Nullstelle. Weil alle Zahlen aus   positiv sind, ist auch die Nullstelle positiv. Außerdem erfüllt sie die Gleichung  .

Übungsaufgabe: Lösung einer GleichungBearbeiten

Der Zwischenwert- beziehungsweise Nullstellensatz kann verwendet werden, die Existenz einer Lösung für eine Gleichung zu begründen. Hier wird aus der Gleichung eine stetige Funktion gebildet, auf die der Zwischenwert- beziehungsweise der Nullstellensatz angewandt werden kann.

Aufgabe (Lösung einer Gleichung)

Zeige, dass es genau ein   mit   gibt.

Lösung (Lösung einer Gleichung)

 
Funktionen   und  

Beweisschritt: Die Gleichung besitzt eine Lösung

Wir bilden die Hilfsfunktion

 

Diese ist stetig, als Differenz der stetigen Funktionen   und  . Weiter gilt

 

sowie

 

Nach dem Nullstellensatz gibt es also ein   mit  . Für dieses   gilt dann  . Es löst also unsere Gleichung.

Beweisschritt: Es gibt genau eine Lösung der Gleichung

Wir unterscheiden vier Fälle

Fall 1:  

Es ist  . Damit gibt es kein   mit   geben.

Fall 2:  

Es ist  . Also kann es kein   mit   geben.

Fall 3:  

Oben haben wir bereits gezeigt, dass es ein   mit   gibt. Nun ist   streng monoton steigend   für   streng monoton fallend. Also kann es kein weiteres   mit   geben.

Fall 4:  

Es ist  . Also kann es kein   mit   geben.

Aus beiden Beweisschritten folgt, dass es genau ein   mit   gibt.