Wurzel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation der WurzelBearbeiten

Die Motivation hinter der Wurzel ist die Umkehrung der Potenzbildung. Zur Wiederholung: Ist   eine reelle Zahl, so ist die  -te Potenz von   definiert als

 

Die Wurzel ist nun die Antwort auf die Frage: Bei einer gegebenen reellen Zahl   erfüllt welche reelle Zahl   die Potenzgleichung  ? Die  -te Wurzel einer Zahl   (für die wir später   schreiben werden) soll eine Zahl   sein, für die   gilt.

Probleme bei der Definition der WurzelBearbeiten

 
Die Quadratfunktion nimmt keine negativen Werte an und für positive Werte besitzt die Quadratfunktion zwei Argumente mit diesem Funktionswert

Wenn wir die Lösungen der Potenzgleichung   untersuchen, dann stellen wir zwei Probleme fest: Zum einen ist nicht jede Potenzgleichung lösbar und zum anderen kann eine solche Gleichung mehrere Lösungen besitzen.

Nicht jede Potenzgleichung ist lösbarBearbeiten

Nicht jede Potenzgleichung   besitzt eine Lösung in den reellen Zahlen. Beispielsweise gibt es keine reelle Zahl  , die die Gleichung   erfüllt, da   stets eine nicht-negative Zahl ist. Generell ist die Potenzgleichung   immer dann in den reellen Zahlen unlösbar, wenn   eine gerade Zahl und   negativ ist. In diesem Fall ist nämlich   stets nicht-negativ und kann damit nie gleich der negativen Zahl   sein.

Um nun Lösungen der Potenzgleichung   für alle   finden zu können, werden wir im Folgenden nur nicht-negative Zahlen   zulassen. Unter dieser Beschränkung können wir nämlich beweisen, dass die Potenzgleichung mindestens eine Lösung besitzen muss. Bei ungeradem   tritt dieses Problem im Übrigen nicht auf, weil dann   auch negativ werden kann.

Eine Potenzgleichung kann mehrere Lösungen besitzenBearbeiten

Eine Potenzgleichung   kann mehrere Lösungen besitzen. Nimm zum Beispiel die Gleichung  , welche die beiden Lösungen   und   besitzt. Nun soll aber die  -te Wurzel einer Zahl eindeutig definiert sein. Welche Lösung der Potenzgleichung wählt man also, wenn es mehrere Lösungen gibt?

Wenn man die Potenzgleichungen untersucht, dann stellt man fest, dass dieses Problem genau dann auftritt, wenn   eine gerade Zahl und   positiv ist. In diesem Fall gibt es genau zwei Lösungen: eine positive und eine negative Lösung. Hier werden wir die positive Lösung als  -te Wurzel wählen. Im Beispiel der Gleichung   werden wir die Lösung   als Quadratwurzel von   wählen. Um auch Null als Wurzel zuzulassen, werden wir deswegen festlegen, dass die Wurzel immer nicht-negativ sein soll.

ZusammenfassungBearbeiten

Wir haben festgelegt, dass in der Gleichung   die Zahl   zur Bestimmung der Wurzel nicht-negativ sein muss. Auch haben wir bestimmt, dass wir die nicht-negative Lösung dieser Gleichung als Wurzel definieren. Wir werden später mit Hilfe der Vollständigkeit von   zeigen, dass unter diesen Voraussetzungen die  -te Wurzel einer reellen Zahl immer existiert. Auch werden wir beweisen, dass die Wurzel unter diesen Bedingungen immer eindeutig ist.

DefinitionBearbeiten

Definition der WurzelBearbeiten

Wir definieren formal sauber:

Definition (Definition der n-ten Wurzel)

Für   ist die  -te Wurzel einer nicht-negativen reellen Zahl   die nicht-negative reelle Zahl  , für die gilt  . Wir schreiben an Stelle von   dann  . Für die Quadratwurzel   schreiben wir auch  .

Dass die  -te Wurzel existiert und eindeutig ist, werden wir später zeigen. Auch werden wir sehen, warum es sinnvoll ist, für eine Wurzel   die Potenz   aufzuschreiben.

Verständnisfragen: Bestimme folgende Wurzeln:

  •  
  •  
  •  
  •  

Antworten:

  •  
  •   ist nicht definiert.
  •  
  •   ist nach unserer Definition nicht definiert.

Die WurzelfunktionBearbeiten

 
Verschiedene Wurzelfunktionen

Mit der Wurzel können wir für   die Wurzelfunktion   definieren. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion

 

Die Wurzelfunktion ist

 

Hinweis

Da die Potenzfunktion für ungerade Exponenten auch auf den negativen reellen Zahlen umkehrbar ist, wird die Wurzelfunktion für ungerade   in der Literatur häufig auf ganz   definiert.

Unterscheidung: Wurzel, Wurzelfunktion und Lösung einer PotenzgleichungBearbeiten

Es ist in der Analysis sehr wichtig, unterschiedliche Begriffe voneinander unterscheiden zu können. Drei Begriffe, die oftmals wild durcheinander geworfen werden, sind Wurzel, Wurzelfunktion und Lösung der Potenzgleichung  :

Wurzel
Die Wurzel ist diejenige nicht-negative reelle Zahl, die die Potenzgleichung   für   erfüllt. Es handelt sich also bei einer Wurzel um eine reelle Zahl.
Wurzelfunktion
Wie der Name es bereits andeutet, handelt es sich bei der Wurzelfunktion um eine Funktion. Diese ist definiert als  . Sie ist damit eine Funktion mit den nicht-negativen reellen Zahlen als Definitionsbereich und den nicht-negativen reellen Zahlen als Wertebereich. Dabei ordnet sie einer nicht-negativen Zahl ihre Wurzel zu.
Lösung der Potenzgleichung
Die Lösung einer Potenzgleichung   ist eine reelle Zahl  , die diese Gleichung erfüllt. Nun kann eine Potenzgleichung mehrere Lösungen haben. Wenn   eine nicht-negative Zahl ist, dann ist die  -te Wurzel von   eine dieser Lösungen, muss aber nicht die Einzige sein. Eine Aussage wie „  ist die Lösung der Gleichung  “, ist nicht richtig, da   nicht die, sondern nur eine der zwei Lösungen   und   von   ist.

Verständnisfragen: Wie müsste die Aussage „  ist die Lösung der Gleichung  “ korrekt heißen?

  ist die positive Lösung der Gleichung  “ oder „  ist eine Lösung der Gleichung  

Wurzel als PotenzBearbeiten

Es ist auch üblich, anstelle von   die Schreibweise   zu benutzen. Die Wurzel wird hier als spezielle Potenz aufgefasst. Dies ergibt Sinn, denn für Wurzeln gelten dieselben Rechenregeln wie für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Dies werden wir später im Kapitel „Rechenregeln der Wurzel“ untersuchen. Für negative ganzzahlige Potenzen hatten wir   gesetzt. Damit sich dies auch mit der Potenzschreibweise für Wurzeln übereinstimmt, definieren wir für alle  

 
To-Do:

Dieser Abschnitt muss noch ausgebaut werden: Warum macht es Sinn   zu definieren? -> vielleicht im Abschnitt zu den Rechenregeln der Wurzel ergänzen?! -- Stephan Kulla 22:49, 5. Mai 2016 (CEST) -> Ist mir nicht klar, wie du das meinst?! Die Erklärung, warum es sinnvoll ist "hoch -..." als "eins durch hoch ..." zu setzen, muss vorher, bei Potenzen mit ganzzahligen Exponenten, geschehen! -- Benutzer:who2010 Who2010 17:15, 7. Mai 2016 (CEST)

Eindeutigkeit der WurzelBearbeiten

Hilfssatz zum Beweis der EindeutigkeitBearbeiten

Zunächst zeigen wir, dass die  -Wurzel eindeutig ist. Dafür benötigen wir den folgenden Hilfssatz:

Satz

Seien   und   nicht-negative reelle Zahlen mit  . Für alle   gilt dann  .

Beweis

Im Kapitel „Folgerungen der Anordnungsaxiome“ hatten wir gezeigt

 

Setzen wir nun   und  , so folgt

 

Wenden wir diese Formel nun  -mal hintereinander an, so gilt

 

Beweis der EindeutigkeitBearbeiten

Nun können wir die Eindeutigkeit der Wurzel zeigen:

Satz (Eindeutigkeit der Wurzel)

Sei   eine nicht-negative reelle Zahl und   eine beliebige natürliche Zahl. So gibt es höchstens eine nicht-negative reelle Zahl   mit  .

Beweis (Eindeutigkeit der Wurzel)

Wir führen einen Widerspruchsbeweis, indem wir die Aussage „es gibt zwei verschiedene  -te Wurzeln von  “ auf einen Widerspruch führen. Nehmen wir also an, dass es zwei verschiedene nicht-negative reelle Zahlen   und   mit   und  . Da   ist, gilt entweder   oder  .

Betrachten wir nun den Fall  . Da   ist, folgt mit dem Hilfssatz von oben  . Nun ist aber nach Voraussetzung   und  . Damit erhalten wir den Widerspruch

 

Damit kann nicht   sein. Auch im Fall   kommen wir analog zu einem Widerspruch. Dies zeigt, dass es höchstens eine Wurzel von   geben kann.

Existenz der WurzelBearbeiten

Exkurs: Das Dilemma der griechischen MathematikBearbeiten

 
Wurzel 2 im rechtwinkligem Dreieck
 
Wurzel 2 als unendliche Dezimalzahl

Ich möchte dir nun zeigen, dass die Existenz der Wurzel nicht selbstverständlich ist: Beispielsweise gibt es in der Grundmenge der rationalen Zahlen keine Zahl, die die Potenzgleichung   löst. Damit gibt es in den rationalen Zahlen keine Wurzel von  .

Bereits den alten Griechen war dies bekannt.

  tritt zum Beispiel beim Einheitsquadrat auf, denn es ist die Länge der Diagonale eines Quadrates mit einer Kantenlänge von Maß  . Nach dem Satz des Pythagoras   über rechtwinklige Dreiecke erhalten wir für   die Gleichung  . Wenn wir diese nach   durch Wurzelziehen umstellen, dann ergibt sich für die Diagonale   die Länge  . Damit kann   auch mit Hilfe von Zirkel und Lineal bestimmt werden:

Wir wollen nun durch einen Widerspruchsbeweis zeigen, dass   keine rationale Zahl ist. Hierzu nehmen wir an, dass   rational ist. In diesem Fall existieren teilerfremde Zahlen   und   mit

 

Die Voraussetzung, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind, ist gleichbedeutend damit, dass der Bruch bereits vollständig gekürzt vorliegt. Durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung erhalten wir:

 

  muss also das Doppelte von   sein und ist somit eine gerade Zahl. Nun ist das Quadrat einer Zahl genau dann gerade, wenn die Zahl selbst gerade ist. Demnach muss auch   gerade sein und es gibt damit ein   mit  . Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, so folgt:

 

Kannst du erkennen, welches Problem nun auftritt? Da   gerade ist, muss auch   gerade sein. Somit kann man den Bruch   durch   kürzen. Dies widerspricht jedoch der Annahme, dass   und   teilerfremd sind. Wir hatten nämlich   und   so gewählt, dass   vollständig gekürzt ist. Es folgt, dass   keine rationale Zahl sein kann.

Frage: Warum ist das Quadrat   einer Zahl genau dann gerade, wenn   gerade ist?

Zunächst zeigen wir: Ist eine Zahl gerade, so ist auch ihr Quadrat gerade. Sei   eine gerade Zahl. Dann gibt es eine natürliche Zahl   mit  . Es folgt

 

Damit ist das Quadrat von   auch eine gerade Zahl. Nun zeigen wir die Rückrichtung (die wir für unseren Beweis benötigen): Ist das Quadrat einer Zahl gerade, so ist auch die Zahl selbst gerade. Dies beweisen wir mittels Kontraposition, indem wir zeigen: Ist eine Zahl ungerade, so ist auch ihr Quadrat ungerade. Sei also   eine ungerade Zahl. Damit gibt es eine natürliche Zahl   mit  . Es folgt

 

Damit ist   eine ungerade Zahl.

Baustelle: Beweis der Existenz einer WurzelBearbeiten

Wir haben uns gerade überlegt, dass in den rationalen Zahlen Wurzeln nicht immer existieren müssen. In   hingegen werden wir sehen, dass dies schon der Fall ist. Die Struktur-Eigenschaft, die   von   unterscheidet, ist die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Diese hatten wir über rationale bzw. allgemeine Intervallschachtelungen definiert. Um also die Existenz einer Wurzel in den reellen Zahlen beweisen zu können, müssen wir das Intervallschachtelungsprinzip verwenden.

In einem ersten Schritt beweisen wir, dass   eine reelle Zahl ist bzw. dass es eine nicht-negative reelle Zahl   mit   gibt. Um das Intervallschachtelungsprinzip anwenden zu können, müssen wir eine Intervallschachtelung   konstruieren, die als einziges Element   enthält.

Da wir allerdings nicht wissen, wo genau   auf dem Zahlenstrahl liegt, müssen wir einen Trick anwenden, der darin besteht, "simultan" zur Intervallschachtelung   für   eine Intervallschachtelung   für   zu konstruieren, denn   ist die Zahl, für die   gilt, und von   wissen wir ja, wo sie genau auf dem Zahlenstrahl liegt. Bei diesem "simultanen" Verfahren müssen wir allerdigs sicherstellen, dass   für alle   gilt, denn dadurch stellen wir auch sicher, dass die gesuchte Zahl   in allen Intervallen   enthalten bzw.   für alle   ist.

Fangen wir also mit den Anfangsintervallen   bzw.   an und setzen dabei als untere Grenze  , so dass   ist. Als obere Grenze setzen wir  , so dass   ist. Damit sind   und   unsere ersten beiden Intervalle.

Nun wählen wir die Standardmethode für Intervallschachtelungen, indem wir für die nächsten beiden Intervalle unserer Schachtelung das Intervall   "halbieren". Für   müssen wir uns nun zwischen   und   entscheiden. Wir wissen bereits, dass   Grundbedingung für   ist. Also entscheiden wir uns für  , denn tatsächlich ist  . Damit sind   und   unsere neuen Intervalle.

Dieses Prinzip setzen wir nun beliebig fort. Für   ergibt sich  , denn   und  .

Ganz allgemein definieren wir unsere Intervallschachtelung   folgendermassen:

Setze   und für  :  , und  

Dann ist   tatsächlich eine Intervallschachtelung, denn zum Einen gilt (nach Konstruktion)   für alle  . Zum Anderen ist

 

Daher gibt es nach einer Folgerung zum archimedischen Axiom zu jedem   ein   mit  . Damit gibt es genau eine reelle Zahl  , die von der Intervallschachtelung approximiert wird.

Wir müssen nun aber noch zeigen, dass tatsächlich   gilt. Dies folgt leider noch nicht automatisch, da wir in der Konstruktion der Intervallschachtelung   die Bedingung   und nicht   benutzt hatten. Zunächst zeigen wir, dass   ebenfalls eine Intervallschachtelung ist. Einerseits ist wieder nach Konstruktion   für alle  . Andererseits gilt

 

Da nun   eine Intervallschachtelung war, existiert zu jedem   aber auch ein   mit  . Damit gilt aber

 

Also ist   ebenfalls eine Intervallschachtelung. Diese hat nun ebenfalls genau ein Element  , das in allen Intervallen enthalten ist. Wir hatten   aber nun so konstruiert, dass   in allen Intervallen enthalten ist. Daraus folgt nun  . Damit ist nun  .

Also haben wir mit Hilfe einer Intervallschachtelung gezeigt, dass   in   existiert.

Ganz analog können wir nun folgenden Satz beweisen:

Satz (Existenz der Wurzel)

Ist   und  , so existiert die  -te Wurzel von  .

Zusammenfassung des Beweises (Existenz der Wurzel)

Wir verallgemeinern den Beweis von oben. Wir konstruieren dazu zwei Intervallschachtelungen   und  , so dass   die Zahl   und   die  -te Wurzel   approximiert.

Beweis (Existenz der Wurzel)

Die Fälle   und   sind trivial. Es gilt   für alle   und   für alle  . Daher ist   für alle   und   für alle  .

Sei nun also   und betrachten wir zunächst den Fall  . Den anderen Fall   werden wir später auf diesen zurückführen.

Wir konstruieren nun (analog zu oben) eine Intervallschachtelung   wie folgt:  , und für alle   sei für  

 

Dann gilt genau wie oben   und   für alle  . Nach der Folgerung zum archimedischen Axiom gibt es zu jedem   ein   mit  . Also ist   eine Intervallschachtelung, die eine reelle Zahl   approximiert.

Nun ist aber   ebenfalls eine Intervallschachtelung, denn es gilt  , sowie unter Verwendung der Formel

 

können wir folgern:

 

Da   eine Intervallschachtelung ist, gibt es zu jedem   ein   mit  . Dann gilt aber

 

Sei   die reelle Zahl, die in allen Intervallen   enthalten ist. Da wir   aber so konstruiert hatten, dass   gilt für alle  , gilt  . Dann gilt aber  .

Betrachten wir noch den Fall  : Es gilt  . Mit dem eben gezeigten gibt es daher ein   mit  . Damit gilt dann aber  . Also ist  .

To-Do:

Vertiefung: Wurzel im KomplexenBearbeiten

In der Grundmenge der komplexen Zahlen   besitzt die Potenzgleichung   für   genau   Lösungen – auch wenn   eine negative Zahl ist. Jede dieser Lösungen wird dann Wurzel der Potenzgleichung   genannt. Während also im Reellen eine Zahl nur eine  -te Wurzel besitzt, besitzt diese Zahl im Komplexen mehrere  -te Wurzeln.