Potenzgleichungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Lösungen der PotenzgleichungBearbeiten

To-Do:

@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten

In diesem Abschnitt sollen die bisherigen Ergebnisse aus dem Kapitel zur Wurzel genutzt werden, um alle reellen Lösungen einer Potenzgleichung   zu bestimmen.

1. Fall: a ist 0Bearbeiten

Hier ist   die einzige Lösung der Gleichung   für alle  . Zum einen folgt aus  , dass null eine Lösung der Potenzgleichung ist. Zum anderen ist   für alle  , da ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null stets wieder ungleich null ist. Damit ist   die einzige Lösung von  .

2. Fall: a positiv und n geradeBearbeiten

Sei   und   mit   eine gerade Zahl. Für diesen Fall benötigen wir die Hilfaussage  , falls   eine reelle Zahl ist. Diese folgt direkt aus der Definition des Betrags: Ist  , so ist  , und daher  . Ist andererseits  , so ist  , und somit  .

Damit folgt für unsere Potenzgleichung

 

Nun ist aber  . Also ist nach der Definition der Wurzel  . Damit ergeben sich als Lösung der Potenzgleichung   genau die beiden Lösungen:

  und  

3. Fall: a negativ und n geradeBearbeiten

In diesem Fall hat die Gleichung   keine Lösung, wie wir oben schon erwähnt hatten. Es gilt nämlich   für alle reellen  . Damit gilt aber auch  .

4. Fall: a positiv und n=2k+1 ungeradeBearbeiten

In diesem Fall hat die Gleichung   die eindeutige Lösung

 

Nach Definition der Wurzel ist   die einzige positive Lösung der Potenzgleichung  . Weitere negative Lösungen kann diese nicht haben, denn für jedes   gilt

 

5. Fall: a negativ und n=2k+1 ungeradeBearbeiten

In diesem Fall hat die Gleichung   die eindeutige Lösung

 

Aufgabe (Lösung der Potenzgleichung)

Begründe dies, indem du den 5. Fall auf den 4. Fall zurückführst.

Lösung (Lösung der Potenzgleichung)

Zunächst gilt  . Da   ungerade ist, folgt  . Also ist die Potenzgleichung äquivalent zu

 

Da  , ist dies nach Fall 4 äquivalent zu  , also zu  . Dies bedeutet aber

 

Verständnisfrage: Wie lauten die Lösungen der folgenden Potenzgleichungen, falls vorhanden:

  •  
  •  
  •  
  •  

Antworten:

  • Die Lösungen lauten   und  .
  •   hat keine Lösung.
  • Die Lösung lautet  .
  • Die Lösung lautet  .

Anwendung: abc-FormelBearbeiten

Wir wollen nun die aus der Schule bekannte abc-Formel zur Berechung der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen. Wir suchen also alle reellen  , die für beliebige   die Gleichung

 

erfüllen. Um diese zu bestimmen, wandeln wir die quadratische Gleichung in eine Potenzgleichung 2. Grades (d.h.  ) um. Dazu verwenden wir das aus der Schule ebenfalls bekannte Prinzip der quadratischen Ergänzung.

 

Setzen wir nun   und  , so erhalten wir die Potenzgleichung  . Diese ist lösbar, falls

 

ist, und hat nach dem 2. Fall von oben dann die Lösungen   und  . Also ist

  und  

Nach den Rechenregeln für Wurzeln ist

 

Wir erhalten damit die zwei Lösungen

  und  

Anmerkungen zur abc-Formel:

  • Die Zahl  , welche man bei den Lösungen unter der Wurzel vorfindet, nennt sich Diskriminante. Mit dem oben Gezeigten gilt
 
  • Setzen wir  ,   und  , so erhalten wir die Lösungen der Gleichung   mit der pq-Formel:
 

Aufgabe (Lösung quadratischer Gleichungen)

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Beweis (Lösung quadratischer Gleichungen)

  1. Mit der abc-Formel erhalten wir  . Also lauten die Lösungen   und  .
  2. Mit der pq-Formel erhalten wir  . Also erhalten wir als einzige Lösung der Gleichung  .
  3. Hier ist  . Also besitzt die Gleichung keine Lösung.
  4. Es gilt  . Also lauten die Lösungen   und  .
  5. Es gilt  . Also lauten die Lösungen   und  .
To-Do:

@Benutzer:Stephan Kulla: Abschnitt Korrektur lesen.