In diesem Abschnitt sollen die bisherigen Ergebnisse aus dem Kapitel zur Wurzel genutzt werden, um alle reellen Lösungen einer Potenzgleichung zu bestimmen.
Hier ist die einzige Lösung der Gleichung für alle . Zum einen folgt aus , dass null eine Lösung der Potenzgleichung ist. Zum anderen ist für alle , da ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null stets wieder ungleich null ist. Damit ist die einzige Lösung von .
Sei und mit eine gerade Zahl. Für diesen Fall benötigen wir die Hilfaussage , falls eine reelle Zahl ist. Diese folgt direkt aus der Definition des Betrags: Ist , so ist , und daher . Ist andererseits , so ist , und somit .
Damit folgt für unsere Potenzgleichung
Nun ist aber . Also ist nach der Definition der Wurzel . Damit ergeben sich als Lösung der Potenzgleichung genau die beiden Lösungen:
Wir wollen nun die aus der Schule bekannte abc-Formel zur Berechung der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen. Wir suchen also alle reellen , die für beliebige die Gleichung
erfüllen. Um diese zu bestimmen, wandeln wir die quadratische Gleichung in eine Potenzgleichung 2. Grades (d.h. ) um. Dazu verwenden wir das aus der Schule ebenfalls bekannte Prinzip der quadratischen Ergänzung.
Setzen wir nun und , so erhalten wir die Potenzgleichung . Diese ist lösbar, falls
ist, und hat nach dem 2. Fall von oben dann die Lösungen und . Also ist
und
Nach den Rechenregeln für Wurzeln ist
Wir erhalten damit die zwei Lösungen
und
Anmerkungen zur abc-Formel:
Die Zahl , welche man bei den Lösungen unter der Wurzel vorfindet, nennt sich Diskriminante. Mit dem oben Gezeigten gilt
Setzen wir , und , so erhalten wir die Lösungen der Gleichung mit der pq-Formel:
Aufgabe (Lösung quadratischer Gleichungen)
Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:
Beweis (Lösung quadratischer Gleichungen)
Mit der abc-Formel erhalten wir . Also lauten die Lösungen und .
Mit der pq-Formel erhalten wir . Also erhalten wir als einzige Lösung der Gleichung .
Hier ist . Also besitzt die Gleichung keine Lösung.