Rechenregeln der Wurzel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Rechenregeln für WurzelnBearbeiten

Nun zeigen wir, dass die Potenzschreibweise der  -ten Wurzel tatsächlich Sinn ergibt. Für Wurzeln gelten nämlich, analog zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten, die folgenden Rechenregeln:

Satz (Rechenregeln für Wurzeln)

Sind   und  , so gilt

  1.   und  
  2. Verallgemeinerung von 1:  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

In Potenzschreibweise lauten die Regeln:

  1.   und  
  2. Verallgemeinerung von 1:  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Wir können uns merken, dass wir mit Wurzel-Potenzen genau wie mit ganzzahligen Potenzen rechnen können. Um die Rechenregeln 2, 3, 4 und 5 beweisen zu können, müssen wir zunächst einmal zeigen, dass   für   gilt.

Hilfssatz zum Beweis der Rechenregeln für Wurzeln

Satz

Für   und   gilt:  

Beweis

Statt   können wir die äquivalente Umformung   beweisen, zeigen also, dass  

Es ist:

 

Beweis (Rechenregeln für Wurzeln)

Regel 1: Die erste Teilregel folgt unmittelbar aus der Definition der  -ten Wurzel von  . Laut Definition ist die  -te Wurzel einer nicht-negativen reellen Zahl   die nicht-negative reelle Zahl   (also  ), für die gilt:  . Und daraus folgt – ersetzt man das   durch   –, dass   gilt.

Auch die zweite Teilregel ergibt sich unmittelbar aus der Wurzeldefinition. Sei hierzu  . Da   als nicht-negativ vorausgesetzt wird, ist auch   nicht-negativ. Laut Definition ist die  -te Wurzel einer nicht-negativen reellen Zahl   die nicht-negative reelle Zahl   (also  ), für die gilt:  . Durch Rücksubstitution ergibt sich:   bzw. (da   nicht-negativ ist)  . Somit ist:  . Also ist  .

Regel 2: Wir beweisen zunächst einmal die Gültigkeit der auf beiden Seiten mit   potenzierten Gleichung und dürfen dann aufgrund des Hilfssatzes folgern, dass sie auch ohne die Potenz gilt. Es ist:

 

Damit ist

 

Durch Anwendung des Hilfsatzes erhalten wir nun die zu beweisende Gleichung  .

Regel 3: Wir beweisen wiederum die Gültigkeit der auf beiden Seiten mit   potenzierten Gleichung und dürfen dann aufgrund des Hilfssatzes folgern, dass sie auch ohne die Potenz gilt:

 

Durch Anwendung des Hilfsatzes erhalten wir nun die zu beweisende Gleichung  .

Regel 4:

Aufgabe

Beweise Regel 4.

Beweis

Wiederum zeigen wir die Gültigkeit der auf beiden Seiten mit   potenzierten Gleichung:

 

Daraus folgt (siehe Hilfssatz), dass  .

Regel 5: Auch in diesem Fall zeigen wir zunächst die Gültigkeit der auf beiden Seiten mit   potenzierten Gleichung

 

Daraus folgt (siehe Hilfssatz), dass  .

Regel 6: Es gilt

 

Nützliche UngleichungenBearbeiten

Ungleichung vom arithmetischen, geometrischen und harmonischem MittelBearbeiten

Definition (Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel)

Für positive reelle Zahlen   und   ist das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel definiert als

 ,  ,  

Es gilt die folgende Ungleichung

Satz (AGHM-Ungleichung)

Für positive reelle   und   gilt

  oder ausgeschrieben  

Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn   ist.

Beweis (AGHM-Ungleichung)

1.Ungleichung: Es gilt

 

2.Ungleichung:

Aufgabe (AGM-Ungleichung)

Zeige die 2. Ungleichung.

Beweis (AGM-Ungleichung)

Hier gilt

 

Gleichheit: Es gilt

 , sowie  

MonotonieungleichungBearbeiten

Aufgabe (Nützliche Wurzel-Ungleichung)

Zeige für   und  :

 

Zusammenfassung des Beweises (Nützliche Wurzel-Ungleichung)

Wir zeigen beide Ungleichungen mittels Widerspruch, indem wir   bzw.   annehmen.

Bei der ersten Ungleichung benötigen wir die Aussage  , bei der zweiten den Binomischen Lehrsatz für einen Widerspruch.

Beweis (Nützliche Wurzel-Ungleichung)

Ungleichung 1: Wir nehmen an, es gilt  . Wegen   müsste dann aber gelten  . Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung  .

Ungleichung 2: Hier nehmen wir an, es gilt  . Wegen   müsste dann aber gelten

 

Dies ist ein Widerspruch.

Bemerkungen zur UngleichungBearbeiten

  1. Ist  ,   oder  , so gilt "=", in allen anderen Fällen "<".
  2. Die Ungleichung hat durchaus praktische Anwendungen. Die erste Ungleichung besagt, dass die Wurzelfunktion (streng) monoton steigend ist. Mit Hilfe der zweiten Ungleichung lässt sich die Wurzelregel für Grenzwerte und die Stetigkeit der Wurzelfunktion beweisen.
To-Do:

Gegebenenfalls sollte hier beweisen werden, dass die Wurzelfunktion stetig ist.