Potenzen mit rationalem Exponenten – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Definition der Potenz mit rationalem Exponenten

Im letzten Kapitel haben wir einige Rechenregeln für die Wurzel hergeleitet. Dabei haben wir u.a. die Regel ${\sqrt[{k}]{a^{l}}}=({\sqrt[{k}]{a}})^{l}$ gezeigt. In der Potenzschreibweise der Wurzel lautet diese

$(a^{l})^{\tfrac {1}{k}}=(a^{\tfrac {1}{k}})^{l}$

Wurzelziehen und Potenzieren lassen sich also vertauschen. Daher definieren wir allgemein:

Definition (Potenz mit rationalen Expoenenten)

Für reelles $a>0$ und rationales $r={\tfrac {p}{q}}$ definieren wir

$a^{r}=a^{\tfrac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$ und $a^{-r}=a^{-{\tfrac {p}{q}}}={\tfrac {1}{\sqrt[{q}]{a^{p}}}}$

Außerdem setzen wir $0^{r}=0$.

Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten

Satz (Rechenregeln)

Für $a,b>0$ und $r,s\in \mathbb {Q}$ gilt

1. $a^{r}a^{s}=a^{r+s}$
2. ${\tfrac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}$
3. $(a^{r})^{s}=a^{rs}$
4. $a^{r}b^{r}=(ab)^{r}$
5. ${\tfrac {a^{r}}{b^{r}}}=\left({\tfrac {a}{b}}\right)^{r}$

Beweis (Rechenregeln)

Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien $r={\tfrac {p}{q}}$ und $s={\tfrac {p}{q'}}$, dann gelten:

Regel 1:

${\begin{aligned}a^{r}a^{s}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{\tfrac {p'}{q'}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'+p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'+p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}+{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}+{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r+s}\end{aligned}}$

Regel 2:

${\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{a^{s}}}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\frac {1}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\frac {1}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&={\frac {\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{\frac {a^{pq'}}{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'-p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'-p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}-{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r-s}\end{aligned}}$

Regel 3:

${\begin{aligned}(a^{r})^{s}&=(a^{\tfrac {p}{q}})^{\tfrac {p'}{q'}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q'}]{({\sqrt[{q}]{a^{p}}})^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln und Potenz vertauschen}}\right.\\&=\left({\sqrt[{q'}]{\sqrt[{q}]{a^{p}}}}\right)^{p'}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&=\left({\sqrt[{qq'}]{a^{p}}}\right)^{p'}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln und Potenz vertauschen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{(a^{p})^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pp'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pp'}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}\cdot {\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{rs}\end{aligned}}$

Regel 4:

${\begin{aligned}a^{r}b^{r}&=a^{\tfrac {p}{q}}b^{\tfrac {p}{q}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{(ab)^{p}}}\\&=(ab)^{\tfrac {p}{q}}\\&=(ab)^{r}\end{aligned}}$

Regel 5:

${\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{b^{r}}}&={\frac {a^{\tfrac {p}{q}}}{b^{\tfrac {p}{q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\frac {\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{\frac {a^{p}}{b^{p}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{({\frac {a}{b}})^{p}}}\\&=({\frac {a}{b}})^{\tfrac {p}{q}}\\&=({\frac {a}{b}})^{r}\end{aligned}}$

Ausblick: Potenzen mit reellen Exponenten

Später werden wir noch Potenzen mit reellen Exponenten definieren. Dafür benötigen wir allerdings die Exponentialfunktion $\exp$ und die (natürliche) Logarithmusfunktion $\ln$. Mit diesen ist dann für positive $a$ und reelle $r$:

$a^{r}=\exp(r\ln(a))$

Wir werden sehen, dass auch für diese Verallgemeinerung dieselben Rechenregeln gelten.