Definition der Potenz mit rationalem Exponenten
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Im letzten Kapitel haben wir einige Rechenregeln für die Wurzel hergeleitet. Dabei haben wir u.a. die Regel
gezeigt. In der Potenzschreibweise der Wurzel lautet diese
Wurzelziehen und Potenzieren lassen sich also vertauschen. Daher definieren wir allgemein:
Definition (Potenz mit rationalen Expoenenten)
Für reelles
und rationales
definieren wir
![{\displaystyle a^{r}=a^{\tfrac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96ba8ccad3ebc4e212ae003f3034b352afadaf7)
und
Außerdem setzen wir
.
Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten
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Beweis (Rechenregeln)
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien
und
, dann gelten:
Regel 1:
Regel 2:
Regel 3:
Regel 4:
Regel 5:
Ausblick: Potenzen mit reellen Exponenten
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Später werden wir noch Potenzen mit reellen Exponenten definieren. Dafür benötigen wir allerdings die Exponentialfunktion
und die (natürliche) Logarithmusfunktion
. Mit diesen ist dann für positive
und reelle
:
Wir werden sehen, dass auch für diese Verallgemeinerung dieselben Rechenregeln gelten.