Satz vom Minimum und Maximum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Im Folgenden werden wir uns mit stetigen Funktionen auf kompakten Intervallen beschäftigen. Dies sind Intervalle, die abgeschlossen und beschränkt, also von der Form , sind. Wir werden sehen, dass solche Funktionen immer beschränkt sind und ihr Maximum und Minimum annehmen. Dieser Satz wird Satz vom Minimum und Maximum genannt. Er wird in der Mathematik verwendet, die Existenz von Extrema stetiger Funktionen zu beweisen.

MotivationBearbeiten

Motivation und Intuition hinter dem Satz vom Maximum und Minimum

Nehmen wir eine stetige Funktion  , die auf einem kompakten Intervall   definiert ist. Wir betrachten also eine Funktion  . Diese Funktion besitzt an der Stelle   den Funktionswert   und an der Stelle   den Funktionswert  .

Nun ist   für jede Stelle zwischen   und   definiert. Nun können Graphen stetiger Funktionen, die keine Unterbrechungen im Definitionsbereich besitzen, ohne Absetzen des Stifts gezeichnet werden. Der Graph von   verbindet also die beiden Punkte   und   durch einen durchgehenden Pfad ohne Sprünge. Der folgende Graph zeigt ein Beispiel für eine mögliche Funktion  :

Wir stellen fest, dass im obigen Beispiel die Funktionen   beschränkt ist. Auch nimmt   ihr Maximum und ihr Minimum als Funktionswerte an:

Ist dies immer so? Probiere selbst, die Punkte   und   über einen Graphen zu verbinden, wobei du beim Zeichnen den Stift nicht absetzen darfst. Ist es möglich, so den Graphen einer unbeschränkten Funktion zu zeichnen?

Nein. Egal wie groß oder wie klein die Funktionswerte werden, irgendwann muss man umkehren, um den Endpunkt des Graphen zu erreichen. So bleibt die Funktion beschränkt. In der folgenden Grafik sehen wir, dass der Graph von   zwar sehr große Werte annimmt – jedoch bleibt er beschränkt. Um den Endpunkt zu erreichen, muss man beim Zeichnen des Graphen irgendwann umkehren, wodurch der Graph nicht ins Unendliche wachsen kann:

Wenn wir die Punkte   und   ohne Absetzen des Stifts miteinander verbinden, dann bleibt nach unserer Überlegung die Funktion beschränkt. Außerdem scheint sie immer ihr Maximum und ihr Minimum anzunehmen. Weil die beiden Randpunkte   und   des Intervalls   zum Definitionsbereich dazugehören, muss die Funktion dort einen konkreten Wert besitzen. Damit ist die Funktion am Rand „gefangen“ und kann dort nicht gegen Unendlich streben. Die Stetigkeit von   verhindert wiederum ein Streben der Funktion innerhalb des Definitionsbereichs gegen Unendlich, weil der Graph zusammenhängend gezeichnet sein muss. Diese intuitive Erklärung ist natürlich noch weit von einem formalen Beweis entfernt. Für ein erstes Verständnis des Satzes ist sie aber nützlich.

Satz vom Minimum und MaximumBearbeiten

Satz (Satz vom Minimum und Maximum)

Erklärung des Satzes vom Minimum und Maximum. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Jede auf einem kompakten Intervall   definierte stetige Funktion ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an. Sei also   mit   und   eine stetige Funktion. Es gibt Argumente  , so dass für alle Argumente   die Ungleichung   erfüllt ist.

Beispiel (Satz vom Minimum und Maximum)

 
Graph der Funktion   mit  . Diese Funktion besitzt ein Maximum und ein Minimum, welche sie auch als Funktionswert annimmt.

Betrachten wir   mit  . Der Definitionsbereich   ist ein kompaktes Intervall. Außerdem ist   stetig als Komposition der stetigen Funktionen  ,  ,   und   mit den Definitionsbereichen  . Damit besitzt   ein Maximum und ein Minimum.

Beweis (Satz vom Minimum und Maximum)

Beweis des Satzes vom Maximum und Minimum

Sei   eine stetige Funktion mit   und  . Zunächst werden wir beweisen, dass   nach oben beschränkt ist und sein Maximum annimmt. Auf analoge Art und Weise kann die Beschränktheit nach unten und die Annahme des Minimums als Funktionswert gezeigt werden.

Hierzu betrachten wir das Bild  . Dies ist die Menge aller Funktionswerte, die   annimmt. Nun nehmen wir das Supremum   der Menge  , wobei wir das uneigentliche Supremum   explizit erlauben. Wenn   nach oben unbeschränkt ist, dann ist   und ansonsten ist   (weil   ist, kann der Fall   nicht auftreten).

Nun wissen wir, dass es eine Folge in   gibt, die gegen   konvergiert (für jede nicht leere Menge   gibt es eine Folge aus  , die gegen   konvergiert). Damit gibt es eine Folge   von Argumenten aus   mit  .

Nun können wir den Satz von Bolzano-Weierstraß anwenden. Dieser besagt, dass jede Folge aus einem Intervall der Form   mit   und   eine konvergente Teilfolge besitzt. Damit besitzt auch   eine konvergente Teilfolge  . Sei   der Grenzwert der konvergenten Teilfolge  . Wegen   für alle   ist auch   und damit  . Also ist   ein Argument der Funktion  . Weil die Funktion   stetig ist, gilt nach dem Folgenkriterium der Stetigkeit

 

  ist ein Funktionswert von   und damit eine reelle Zahl. Dies zeigt, dass   nach oben beschränkt ist. Außerdem haben wir gezeigt, dass   den Wert   an der Stelle   annimmt. Damit ist   für alle   und somit   das Maximum aller Funktionswerte von  .

Die Voraussetzungen des SatzesBearbeiten

Voraussetzungen des Satzes vom Maximum und Minimum

Schauen wir uns die Voraussetzungen des Satzes zum Minimum und zum Maximum an. Diese sind

  •   ist eine stetige Funktion
  •   ist auf einem kompakten Intervall   definiert

Sind diese Prämissen notwendig oder können sie so abgeschwächt werden, dass der Satz vom Minimum und Maximum trotzdem gilt?

Zur Stetigkeits-VoraussetzungBearbeiten

 
Funktion   auf dem Intervall   mit  

Zunächst stellen wir fest, dass die Stetigkeit entscheidend dafür ist, dass   innerhalb des Definitionsbereichs „nicht ausschert“ und gegen   oder   strebt. Wenn wir jede Funktion   zulassen, finden wir Funktionen, die den Satz vom Maximum und Minimum nicht erfüllen. So ist die folgende Funktion unbeschränkt, welche an der Stelle   unstetig ist:

 

Die Prämisse, dass   stetig ist, kann also nicht wegfallen.

Zur Intervall-VoraussetzungBearbeiten

 
Funktion   auf  

Aber auch die Form des Definitionsbereichs ist wichtig. So müssen wir fordern, dass die Funktion an den Randpunkten des Definitionsbereichs definiert ist (die beiden Randpunkte des Intervalls also zum Definitionsbereich gehören), damit die Funktion dort „eingefangen wird“. Fällt ein Randpunkt aus dem Definitionsbereich weg (wenn wir also halboffene oder offene Intervalle als Definitionsbereich betrachten), dann finden wir Gegenbeispiele. An der offenen Seite des Definitionsbereich kann die Funktion nämlich gegen Unendlich streben. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion  .

Auch bei einem unbeschränkten Definitionsbereich können Gegenbeispiele gefunden werden. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion  . Es kann allerdings auch vorkommen, dass eine beschränkte stetige Funktion auf einem beschränkten Definitionsbereich weder Maximum noch Minimum annimmt.

Frage: Besitzt eine stetige und beschränkte Funktion   auf einem beschränkten Definitionsbereich immer ein Maximum und Minimum?

Nein. Ein Beispiel ist die Funktion  ,  . Es gilt:  . Also besitzt sie weder Maximum, noch Minimum.

Auch Lücken im Definitionsbereich können es einer stetigen Funktion erlauben, „an der Lücke gegen Unendlich zu streben“. Ein Beispiel hierfür ist die stetige und unbeschränkte Funktion  . Weil Null nicht zum Definitionsbereich   dazugehört, ist diese Funktion wohldefiniert und stetig. Sie ist aber unbeschränkt und erfüllt somit nicht die Konklusion des Satzes vom Minimum und Maximum.

Ausblick: Verallgemeinerung des SatzesBearbeiten

Doch bedeutet dies, dass für den Satz vom Minimum und Maximum der Definitionsbereich ein Intervall sein muss? Nein. Nimm den Definitionsbereich   mit   und eine beliebige auf   definierte stetige und reellwertige Funktion  . Wenn wir   auf   beziehungsweise   einschränken, dann können wir den Satz vom Minimum und Maximum anwenden. Damit sind sowohl   und   beschränkt und nehmen ihr Maximum und Minimum an. Somit ist aber auch die gesamte Funktion   beschränkt. Ihr Maximum ist der Größere der beiden Maxima von   und   und somit nimmt auch   sein Maximum an (analog für das Minimum). Unsere Erkenntnis: Jede stetige Funktion auf dem Definitionsbereich   erfüllt die Konklusion des Satzes vom Minimum und Maximum. Damit ist es möglich, den Satz des Minimums und Maximums auf andere Definitionsbereiche zu verallgemeinern. Später werden wir uns damit beschäftigen, wie es geht.

Im Beweis sehen wir, dass an nur einer Stelle der Definitionsbereich erwähnt wird. Dies ist dort, wo der Satz von Bolzano-Weierstraß verwendet wird. Mit diesem wird gezeigt, dass jede Folge aus dem Definitionsbereich eine konvergente Teilfolge besitzt. Solange also der Satz von Bolzano-Weierstraß für den Definitionsbereich erfüllt ist, kann der Beweis vollzogen werden.

Dies ermöglicht eine Verallgemeinerung des obigen Satzes. Es gibt nämlich mehr reelle Mengen außer Intervalle der Form  , für die der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt. Eine solche Menge wird eine folgenkompakte Menge genannt. Die Definition einer folgenkompakten Menge aus den reellen Zahlen ist genau die, dass für sie der Satz von Bolzano-Weierstraß erfüllt ist:

Definition (Folgenkompaktheit)

Eine Teilmenge der reellen Zahlen nennt man genau dann folgenkompakt, wenn jede Folge aus dieser Menge eine konvergente Teilfolge besitzt.

Sobald der Definitionsbereich   einer stetigen Funktion   folgenkompakt ist, muss die Funktion   den Satz vom Minimum und vom Maximum erfüllen. In der Topologie wird Folgenkompaktheit näher untersucht.

Übungsaufgabe: Bild von Polynomen geraden GradesBearbeiten

Übungsaufgabe: Bild von Polynomen geraden Grades

Aufgabe (Bild von Polynomen)

Sei

 

eine Polynomfunktion mit   und  . Außerdem sei der Grad von  , also  , gerade. Zeige: Für den Wertebereich von   gilt

 

Dabei ist   im Fall   und   im Fall   eine reelle Zahl.

Beweis (Bild von Polynomen)

Wir beweisen die Aussage für nur für den Fall  . Der Fall   kann analog bewiesen werden. Zunächst stellen wir fest, dass das Polynom   als Komposition stetiger Funktionen stetig auf   ist. Die Vermutung liegt nahe, dass wir den Satz vom Maximum und Minimum verwenden. Jedoch ist   kein kompaktes Intervall. Deswegen müssen wir den Definitionsbereich geschickt einschränken. Nun gilt  , da   gerade ist. Daraus folgt:

 

Nehmen wir ein beliebigen Funktionswert von   – zum Beispiel  . Wegen   gibt es ein  , so dass   für alle   ist. Analog gibt es wegen   ein  , so dass   für kleineren Argumente   als   ist. Sowohl auf   als auch auf   ist das Polynom   größer als der Funktionswert  .

Betrachten wir nun das Intervall  . Da das Polynom auf   größer als   ist, kann   kein Element dieser Menge sein und damit ist  . Analog ist  . Damit ist   ein nicht leeres, abgeschlossenes und beschränktes Intervall. Wir können nun den Satz vom Maximum und Minimum anwenden. Das Polynom   besitzt auf   ein Minimum  , welches es als Funktionswert annimmt. Nun ist   (wegen  ) und damit ist   ein globales Minimum des Polynoms.

Aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktion folgt, dass das Bild von   ein Intervall ist (siehe Folgerung aus dem Zwischenwertsatz). Wegen   und weil   ein globales Minimum von   ist, muss das Bild von   von der Form   sein.

Übungsaufgabe: Stetige Funktion auf [0,1]Bearbeiten

Übungsaufgabe: Stetige Funktion auf [0,1]

Aufgabe (Keine stetige Funktion auf kompakten Intervallen nimmt alle ihre Funktionswerte genau zweimal an)

Zeige, dass es keine stetige Funktion   gibt, die alle ihre Funktionswerte genau zweimal annimmt. Es gibt also keine stetige Funkion  , so dass es für alle   genau zwei Zahlen   mit   gibt.

Lösung (Keine stetige Funktion auf kompakten Intervallen nimmt alle ihre Funktionswerte genau zweimal an)

Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Sei also   eine stetige Funktion, die alle Ihre Funktionswerte genau zweimal annimmt. Da   stetig und   ein kompaktes Intervall ist, ist   beschränkt und nimmt sein Maximum   als Funktionswert an. Nach Voraussetzung wird das Maximum auch genau zweimal angenommen. Also gibt es zwei Argumente   mit  . Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit  .

Nun muss   auf den Intervall   ein Minimum   besitzen. Da   das Maximum von   ist, ist es auch das Maximum von  . Es folgt  . Da im Fall   die Funktion   auf dem Intervall   konstant wäre und damit alle Funktionswerte unendlich oft annehmen würde, ist  .

Da   durch   auf dem Intervall   angenommen wird und da an den Rändern dieses Intervalls der Funktionswert gleich   ist, gibt es ein   mit   mit  . Außerdem wird   an noch einer anderen Stelle   angenommen.   liegt nun entweder außerhalb des Intervalls   oder innerhalb.

Fall 1:  

Nehmen wir den Fall, dass   kein Element von   ist und betrachten ohne Beschränkung der Allgemeinheit den Fall, dass   ist. Betrachten wir den Mittelwert   zwischen   und  . Dieser Wert wird nach dem Zwischenwertsatz zwischen   und   durch die Funktion angenommen, denn es ist  . Analog wird   im Bereich   und im Intervall   angenommen. Damit wird   an drei Stellen angenommen, was den Voraussetzungen widerspricht:

Fall 2:  

Betrachten wir nun den Fall, dass   innerhalb des Intervalls   liegt. Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass   ist. Im Intervall   nimmt   ein Maximum   an. Weil   das Minimum auf   ist, ist  . Da außerdem   bereits zweimal als Funktionswert angenommen wird, muss   sein. Nun ist   das Maximum von  , welches bereits an   und   angenommen wird und deswegen ist  .

Nach dem Zwischenwertsatz wird   wegen   im Intervall   angenommen. Außerdem wird wegen   ein Argument aus   auf   abgebildet. Damit wird der Funktionswert   mindestens dreimal angenommen: Einmal im offenen Intervall  , einmal in   und einmal in  . Dies stellt einen Widerspruch dar:

Die Aussage der Aufgabe lässt sich im Übrigen noch auf verschiedene Weisen verallgemeinern:

  1. Es gibt auf einem allgemeinen kompakten Intervall   keine stetige Funktion, die jeden ihrer Werte genau zweimal annimmt.
  2. Ebenso gibt es keine stetige Funktion  , die jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt.
  3. Schließlich kann man zeigen, dass es für jedes  ,   keine stetige Funktion   gibt, die jeden ihrer Werte genau   Mal annimmt.

Verständnisaufgabe: Gib jeweils ein Beispiel:

  1. Eine stetige Funktion  , die jeden ihrer Funktionswerte genau einmal annimmt.
  2. Funktion  , die jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt.

Lösungen:

  1.   mit  
  2.   mit