Monotoniekriterium für Folgen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel werden wir beweisen, dass monotone und beschränkte Folgen konvergieren. Wenn du also zeigen kannst, dass eine Folge beschränkt und monoton ist, dann muss diese konvergieren. Das Schöne dabei: Für diesen Beweis musst du den Grenzwert der Folge nicht kennen!

So ist dieser Satz bei Konvergenzbeweisen für rekursiv definierte Folgen hilfreich, denn bei rekursiv definierten Folgen ist eine Abschätzung des Abstands zwischen dem Grenzwert und dem Folgenglied oft schwierig.

Konvergenz monotoner und beschränkter FolgenBearbeiten

Veranschaulichung der Konvergenz von monotonen beschränkten Funktionen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Satz (Monotoniekriterium für Folgen)

Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert.

Diesen Satz kannst du folgendermaßen nachvollziehen: Versuche, auf der Zahlengerade eine divergente, monotone und beschränkte Folge einzuzeichnen. Zur Erinnerung: Eine Folge ist monoton, wenn entweder immer   oder immer   gilt. Du wirst schnell merken, dass dies nicht möglich ist. Es macht also Sinn, dass dieser Satz gilt. Wie lässt er sich beweisen?

Beweis (Monotoniekriterium für Folgen)

 
Die Folge  

Beschränken wir uns zunächst auf monoton wachsende Folgen. Für monoton fallende Folgen ist der Beweis analog. Sei also   eine monoton steigende und beschränkte Folge. Zunächst müssen wir den Grenzwert dieser Folge bestimmen, um mit Hilfe der Epsilon-Definition des Grenzwerts die Konvergenz zu beweisen. Schauen wir uns hierzu die Folge   als Beispiel an:

 

Der Grenzwert ist also 1. In welcher Relation steht aber 1 zur Folge? Die Folgenglieder steigen und nähern sich dabei immer mehr dem Grenzwert an. Der Grenzwert sollte also gleich dem Supremum aller Folgenglieder sein. Und tatsächlich: 1 ist gleich dem Supremum aller Folgenglieder  .

Diese Überlegung lässt sich auf beliebige monoton steigende Folgen verallgemeinern. Generell sollte das Supremum aller Folgenglieder gleich dem gesuchten Grenzwert sein. Setzen wir also

 

Dieses Supremum existiert, weil   beschränkt und damit insbesondere die Menge der Folgenglieder nach oben beschränkt ist.

Führen wir nun den Grenzwertbeweis durch: Sei   beliebig. In Abhängigkeit zum gegebenen   müssen wir ein   finden, so dass   für alle   ist.

Wir wissen, dass es ein   geben muss, so dass   größer als   ist.   kann nämlich keine obere Schranke der Menge der Folgenglieder sein (  ist als Supremum die kleinste obere Schranke). Weil   keine obere Schranke der Folgenglieder ist, muss es mindestens ein größeres Folgenglied   als   geben. Außerdem ist  , da   als Supremum eine obere Schranke aller Folgenglieder ist. Wir haben somit

 

Hieraus folgt

 

Da unsere Folge monoton wächst, müssen alle Folgenglieder nach   größer gleich   sein. Es ist also   für alle  . Außerdem ist  , weil   eine obere Schranke der Folgenglieder ist. Für   haben wir

 

und damit

 

Dies zeigt, dass   Grenzwert der Folge ist und somit   konvergiert. Der Beweis für monoton fallende Folgen ist analog. Hier muss man entsprechend das Infimum wählen.

AnwendungsaufgabeBearbeiten

Aufgabe (Monotoniekriterium für Folgen)

Zeige, mit Hilfe des Monotoniekriteriums, dass die Folge   mit

 

konvergiert.

Lösung (Monotoniekriterium für Folgen)

1. Schritt: Monotonieverhalten von  .

Zunächst untersuchen wir, ob die Folge   monoton ist. Da es sich um eine „Summenfolge“ handelt, ist dazu die Differenz   besser geeignet, als der Quotient  . Es gilt

 

Also gilt   für alle  , d.h.   ist monoton fallend.

2. Schritt: Beschränktheit von  

Da   monoton fallend ist, müssen wir zur Anwendung des Monotoniekriteriums noch zeigen, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Nun gilt

 

Damit ist   nach unten durch   beschränkt.

Nach dem Monotoniekriterium konvergiert   damit.

Hinweis

Wir werden später, nach Einführung des Logarithmus zeigen, dass   ist.

Folgerung für allgemeine IntervallschachtellungenBearbeiten

To-Do:

@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten.

Wir können das Monotoniekriterium nun nutzen, um eine nützliche Folgerung für Intervallschachtellungen herzuleiten.

Zur Wiederholung: Eine allgemeine Intervallschachtelung ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen   mit den Eigenschaften

1. Alle Intervalle sind Teilmengen ihres Vorgängers:

 

2. Für jede reelle Zahl   gibt es ein Intervall   mit der Breite kleiner  :

 

Außerdem gilt: Zu jeder Intervallschachtellung gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist.

Wir untersuchen nun die beiden "Randfolgen" der Intervallschachtellung   und  .

  • Wegen   gilt
 , d.h.  , und  , d.h.  

Also ist   monoton steigend und   monoton fallend.

  • Wegen   und   ist   nach oben durch   und   nach unten durch   beschränkt.

Nach dem Monotoniekriterium konvergieren daher   und  . Mit Hilfe der zweiten Eigenschaft der Intervallschachtellung zeigen wir noch, dass die beiden Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Der Grenzwert ist dabei gleich der reellen Zahl, die in allen Intervallen liegt.

Da   eine Intervallschachtellung ist, gilt

 

Wegen   folgt damit auch   für alle  .

Insgesamt erhalten wir

 

Dies bedeutet nach Definition aber genau, dass   eine Nullfolge ist. Damit können wir nun mit Hilfe der Grenzwertsätze folgern, dass   und   gegen denselben Grenzwert konvergieren. Denn ist  , so gilt

 

Für den Grenzwert gilt nun

 

Also ist   beziehungsweise  .   ist daher die reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wir fassen dass gerade Bewiesene noch einmal zusammen:

Satz

Ist   eine Intervallschachtellung und   die Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Dann sind   und   konvergent, und es gilt

 

Anwendungsbeispiel: Intervallschachtellung für die eulersche ZahlBearbeiten

 
Intervallschachtelung zur Berechnung der eulerschen Zahl
To-Do:

@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten.

Betrachten wir als Beispiel die Intervallfolge   mit   und  .

Wir zeigen im Folgenden, dass es sich dabei um eine Intervallschachtellung handelt. Mit dem Satz aus dem vorherigen Abschnitt erhalten wir damit auch die Konvergenz der beien Folgen   und  . Zunächst einmal gilt

 

Damit ist   wohldefiniert.

Nun müssen wir die beiden Eigenschaften einer Intervallschachtellung zeigen. Zuerst zeigen wir für alle  :  . Diese machen wir in zwei Schritten:

  •   ist monoton steigend, d.h.  . Wir zeigen dazu   mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung.
 
  •   ist monoton fallend, d.h.  .

Aufgabe

Beweise dies.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir zeigen ähnlich zu oben   mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung.

Beweis

 

Da   monoton steigend und   monoton fallend ist, folgt  . Somit haben wir die erste Eigenschaft einer Intervallschachtellung gezeigt.

Nun müssen wir noch zeigen

 

Dazu schätzen wir den Ausdruck   geeignet nach oben ab.

 

Nun ist aber  , und daher

 

Nun ist  . Wählen wir also zu einem beliebigen   ein   mit  , so gilt

 

Also ist   tatsächlich eine Intervallschachtellung. Die in allen diesen Intervallen enthaltene Zahl heißt eulersche Zahl und wird mit   bezeichnet. Mit Hilfe der Intervallschachtelung lässt sich diese beliebig genau eingrenzen, wenn auch sehr langsam. Beispielsweise ist  . Tatsächlich ist  .

Mit dem Satz von oben gilt nun

 

Später werden wir noch   zeigen, was viele wohl aus der Schule noch wissen.