Vektoren und Vektorräume in der Schule – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Vektoren werden in der Schulmathematik als Elemente der Ebene oder des Raumes aufgefasst. Die Hochschulmathematik abstrahiert diesen Begriff und fasst Vektoren allgemeiner auf. In diesem Kapitel wiederholen wir, dass Vektoren in der Schulmathematik auszeichnet.

Vektorielle Größen in den NaturwissenschaftenBearbeiten

Größen, die durch Länge und Richtung im Raum definiert sind, nennt man auch Vektoren. Sie sind in den Naturwissenschaften essentiell, insbesondere in der Physik und in technischen Disziplinen.

So unterscheidet man in den Naturwissenschaftenzwischen skalaren und vektoriellen Größen. Skalare Größen sind durch ihren reellen Zahlenwert und ihre zugehörige Einheit bestimmt. So beschreibt die Angabe  , welche aus dem Zahlenwert   und der Einheit   besteht, eine Masse eindeutig. Zwei Gegenstände, deren Masse gleich   ist, haben dieselbe Masse.[1] Beispiele skalarer Größen in der Physik sind Temperatur, Druck, Energie, Dichte, Arbeit.

Größen, die durch einen Betrag und eine Richtung gegeben sind, heißen vektorielle Größen bzw. Vektoren. Sie werden nicht durch einen Zahlenwert un der Einheit allein beschrieben. Eine vektorielle Größe benötigt noch die Angabe der Richtung, in die sie wirkt. Zwei Vektoren sind nur gleich, wenn neben dem Betrag dieser Größe (angegeben durch Zahlenwert und Einheit) auch deren Richtungen identisch sind. Beispiele vektorieller Größen in der Physik sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Drehmoment, Drehimpuls.

Eine Kraft von   ist noch nicht vollständig bestimmt, solange wir nicht ihre Wirkungsrichtung kennen. Angenommen, zwei Kräfte von   werden auf ein Objekt ausgeübt. Die erste nennen wir   und wirkt senkrecht nach unten. Die andere hingegen wirkt senkrecht nach oben und heißt  . Dann ist   und beide Kräfte stimmen nicht überein, obwohl sie den gleichen Betrag haben. Die Addition der Kräfte führt zu der resultierenden Kraft von  . Zur Beschreibung solcher Größen werden Vektoren benötigt.[1]

Wir werden später sehen, dass Vektoren mathematisch viel allgemeiner definiert werden. Auch andere Objekte, wie Abbildungen, Folgen und vieles mehr können als Vektoren aufgefasst werden.

Vektoren in der GeometrieBearbeiten

Wir wollen nun kurz die Nutzung der Vektoren in der Geometrie, so wie sie dir aus der Schule bekannt sind, wiederholen.[2]

Stelle dir zwei unterschiedliche Punkte   und   in der Ebene vor. Wir zeichnen nun einen Pfeil von   nach   und schreiben dafür   und bezeichnen diesen Pfeil als Vektorpfeil.

Hinweis

Diesen Vektor findet man in der Literatur auch oft nur als Buchstabe beschrieben, also statt   wird zum Beispiel   geschrieben.

Der Pfeil ist vollständig bestimmt durch seine Länge und seine Richtung, die durch die Angabe (der Pfeil führt von   nach  ) eindeutig festgelegt ist. Die Pfeillänge eines Vektors entspricht dabei seinem Betrag, während die Pfeilspitze in die Richtung des Vektors weist.

 
Ein Vektor von Startpunkt A nach Endpunkt B und seine Länge

Hinweis

Alle Vektorpfeile  , die zu   parallel sind und die gleiche Länge haben, nennen wir parallelgleich. Für parallelgleiche Vektorpfeile schreiben wir  . Die Menge aller parallelgleichen Vektorpfeile bezeichnen wir als Vektor und jeder Vektorpfeil dieser Menge heißt Repräsentant des Vektors. Der Einfachheit halber nennen wir einen Repräsentanten   der Menge Vektor selbst einen Vektor.

Ein ähnliches Vorgehen mit Repräsentanten gibt es bei Brüchen:

  sind Repräsentanten des Bruchs mit dem Wert  . Auch hier nennen wir die Repräsentanten der Einfachheit halber selbst Bruch.

Wir können zusammenfassend folgendes definieren:

Definition (gleiche, parallele und inverse Vektoren)

Die Vektoren   und   heißen parallelgleich, wenn sie in Richtung und Länge übereinstimmen.

Zwei Vektoren   und   mit gleicher Richtung (Orientierung) heißen zueinander parallel.

Zwei Vektoren mit entgegengesetzter Richtung (Orientierung) nennt man antiparallel.

Der zu einem Vektor   gehörende Vektor   heißt inverser Vektor oder Gegenvektor und besitzt die gleiche Länge wie der Vektor  , ist jedoch antiparallel.

 
Gegenvektoren oder inverse Vektoren

Zusammenfassend können wir also sagen, Vektoren in der Ebene sind Objekte (Pfeile), die eine Parallelverschiebung in der Ebene beschreiben. Der zugehörige Vektorraum wird als   bezeichnet. In der Geometrie werden die Vektoren durch einen Pfeil dargestellt. Wir können einen Vektor durch einen Buchstaben mit Pfeil notieren, wie z. B.  . Ein Pfeil hat immer eine Länge und eine Richtung. Algebraisch wird die Richtung durch einen Spaltenvektor mit zwei Komponenten angegeben,  .


Was bedeutet dieses? Wir betrachten einen Punkt   in einem rechtwinkeligen kartesischen Koordinatensystem. Der Punkt in dieser Ebene wird beschrieben durch einen sogenannten Ortsvektor, der vom Nullpunkt   zum Punkt   geht. Dabei wird der Punkt angegeben durch seine Entfernung   vom Nullpunkt auf der  -Achse und seine Entfernung   vom Nullpunkt auf der  -Achse. Wir schreiben dann  . Um den Punkt   ins Koordinatensystem einzuzeichnen, gehen wir also vom Nullpunkt des Koordinatensystems zunächst   Längeneinheiten auf der  -Achse nach rechts (und erreichen auf der  -Achse den Punkt   mit den Koordinaten   und von dort   Längeneinheiten senkrecht nach oben (also parallel zur  -Achse). Dieser Endpunkt ist dann der Punkt   und hat die Koordinaten  .

To-Do:
  • Bild dazu noch anfertigen

Damit wir die Länge des Ortsvektors   bestimmen können, betrachten wir das rechtwinkelige Dreieck  . Der Ortsvektor   ist die Hypotenuse dieses rechtwinkeligen Dreiecks und hat die Länge  . Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

 

Also ist die Länge des Ortsvektors

 

Da wir an der (positiven) Länge des Ortsvektors interessiert sind, benötigen wir nur den Betrag der Wurzel, also die positive Wurzel.

To-Do:
  • Bildnotation an den Text anpassen
 
Ein Vektor von Startpunkt A nach Endpunkt B und seine Länge

Addition von VektorpfeilenBearbeiten

Die Vektoren   und   werden zur Addition durch Pfeile mit einem gemeinsamen Anfangspunkt dargestellt und zu einem Parallelogramm ergänzt. Der diagonale Pfeil   vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke stellt dann die Summe der beiden Vektoren dar. In der Physik verwendet man diese Konstruktion beim Kräfteparallelogramm.

In der Mathematik wird die Addition von Vektorpfeilen   auch so erklärt: Zunächst wird der Pfeil   gezeichnet. An die Pfeilspitze wird er zu   parallele Pfeil   abgetragen. Der Vektorpfeil, der vom Ursprungspunkt des Vektorpfeils   zum Endpunkt des Vektorpfeils   führt ist der Vektorpfeil  . Bei dieser Beschreibung wird berücksichtigt, dass der zum Vektor   parallele, gleich lange Vektor   den selben Vektor darstellt. Also  . Damit ist obige Addition eindeutig definiert.

Wir können die Vektoren auch in ihrer Koordinatenschreibweise darstellen, nämlich als   und  . Dann bedeutet obiges Vorgehen, wir verlängern die Koordinate   um die Koordinate   und erhalten  . Ebenso verlängern wir die Koordinate   um die Koordinate   und erhalten  . Bei der Addition addieren wir also einfach die Koordinaten und erhalten so die Koordinaten des Vektors der Summe  . Auch hier wird wieder berücksichtigt, dass parallele gleichlange Vektorpfeile den selben Vektor darstellen.


 
Addition von Vektorpfeilen

Skalare MultiplikationBearbeiten

Die zweite Operation, die skalare Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (einem Skalar), ist dir sicher auch aus der Schule bekannt. Sie bedeutet die Streckung, die Verkürzung oder die Umorientierung der Vektorpfeile.

Betrachten wir einen Vektor  . Die Länge von   ist  . Verdoppeln wir nun die Länge dieses Vektors, so erhalten wir  . Das bedeutet aber für die doppelte Länge müssen wir sowohl die  Komponente als auch die  Komponente verdoppeln. Damit gilt:  .

Damit wird ein Vektor verdoppelt, indem wir zweimal die Länge des Vektors in dieselbe Richtung gehen. Man sagt auch der Vektor wird um den Faktor 2 gestreckt. Allgemein wird der Vektor   um den Faktor   gestreckt, wenn   gilt.

Wählt man  , dann wird der Vektor um diesen Faktor gekürzt. Wenn z.B. der Vektor   halbiert wird, dann gilt  . Diese Operation nennt mann dann Verkürzung oder Stauchung des Vektors. Allgemein wird die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl eine skalare Multiplikation genannt. Ist die reelle Zahl, mit der der Vektor multipliziert wird, negativ, dreht sich die Richtung des Vektors um.

 
Skalarmultiplikation: der Vektor w wird mit der Zahl 2 multipliziert und der Vektor v mit der Zahl -1

Wenn wir einen Vektor in entgegengesetzter Richtung zurückgehen, gelangen wir wieder an den Ausgangspunkt des Vektors. Das heißt  . Obwohl dieses Ergebnis kein Vektor ist, wird er als Nullvektor erklärt, dies ist ein Vektor ohne Länge. Man benötigt ihn, damit die Vektoren bzgl. der Addition eine Gruppe sind.

Alles oben Gesagte gilt analog auch für den euklidischen Raum  .

Vektoren im dreidimensionalen RaumBearbeiten

To-Do:

Mit vorherigem Abschnitt zusammennehmen und auch genetisch herleiten.

Wenden wir uns Vektoren im dreidimensionalem Raum   zu. Ein solcher Vektor   kann durch Angabe seiner drei Komponenten beschrieben werden:

 

So ist der folgende Vektor   durch die Angabe der drei Koordinaten  ,   und   eindeutig definiert:

Addition im  Bearbeiten

Die Addition und die skalare Multiplikation (wie Streckungen und Stauchungen) im   funktionieren analog wie in der Ebene  . Zwei Vektoren   und   aus dem   werden addiert, indem man ihre Komponenten addiert:

 

Auch die Subtraktion wird komponentenweise durchgeführt:

 

Skalare MultiplikationBearbeiten

Ein Vektor   wird mit einem Skalierungsfaktor   multipliziert, indem jede Komponente des Vektors mit   multipliziert wird:

 

Der Vektor   ist  -mal so lang wie der Vektor  . Dies bedeutet konkret:

  • Für   wird der Vektor verkleinert.
  • Für   wird der Vektor vergrößert.
  • Für   hat   die gleiche Richtung wie  .
  • Für   hat   die Gegenrichtung von  .

Im Besonderen ist   und  .

Kollineare VektorenBearbeiten

Zwei Vektoren, von denen einer ein Vielfaches des anderen ist, sind parallel und man nennt sie kollineare Vektoren. So sind die Vektoren   und   kollinear, denn  .