Gleichungen: Umformungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Gleichungen sind Aussagen oder Aussageformen, die die Gleichheit zwischen zwei Termen ausdrücken. Die allgemeine Form von Gleichungen ist

$T_{1}=T_{2}$

wobei $T_{1}$ und $T_{2}$ Terme sind.

Ungleichungen machen vergleichende Aussagen über zwei Terme. Hier steht an der Stelle des Gleichheitszeichens $=$ eines der Ordnungsrelationen $\geq$, $\leq$, $<$ oder $>$.

Umformungen

Durch Umformungen kann eine Gleichung $T_{1}=T_{2}$ in eine neue Gleichung $S_{1}=S_{2}$ umgeformt werden. Dabei muss gelten, dass immer dann, wenn $T_{1}=T_{2}$ erfüllt ist, zwangsläufig auch die Gleichung $S_{1}=S_{2}$ erfüllt sein muss. Man schließt also aus der Annahme der Gleichung $T_{1}=T_{2}$ auf die neue Gleichung $S_{1}=S_{2}$.

Eine Gleichungsumformung von $T_{1}=T_{2}$ nach $S_{1}=S_{2}$ ist also nichts anderes als die Implikation $T_{1}=T_{2}\Rightarrow S_{1}=S_{2}$, welche wahr sein muss (also eine Tautologie sein muss).

Ein Beispiel: Immer dann, wenn $2x=8$ ist, ist $(2x)^{2}=64$ (es ist $2x=8\Rightarrow (2x)^{2}=64$). Damit kann die Gleichung $(2x)^{2}=64$ aus der Gleichung $2x=8$ geschlossen werden beziehungsweise $2x=8$ in $(2x)^{2}=64$ umgeformt werden.

Ein häufiges Problem ist das Separieren/Isolieren („auf eine Seite bringen“) einer Variablen aus einer Ausgangsgleichung. Hier hat man eine Ausgangsgleichung mit mindestens einer Variablen gegeben, von der man weiß, dass sie erfüllt sein muss (Beispiel: $3s+t=s-t$). Nun möchte man wissen, welche Werte eine bestimmte Variable (in Abhängigkeit der anderen Variablen) annehmen kann, sodass die Ausgangsgleichung mit diesen Werten erfüllt ist (Welche Werte für $s$ erfüllen die Ausgangsgleichung $3s+t=s-t$?). Hier kann man schrittweise die Ausgangsgleichung in andere Gleichungen umformen, bis man eine Gleichung erhält, in der die gewünschte Variable auf einer Seite separiert ist. So können wir $3s+t=s-t$ folgendermaßen nach $s$ umformen:

${\begin{array}{lrll}&3s+t&=s-t&{\color {Gray}\left|\ -t{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &3s&=s-2t&{\color {Gray}\left|\ -s{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &2s&=-2t&{\color {Gray}\left|\ {}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &s&=-t\end{array}}$

Insgesamt haben wir so die Implikation $3s+t=s-t\Rightarrow s=-t$ bewiesen. Wir wissen damit, dass immer dann, wenn $3s+t=s-t$ ist, auch die Gleichung $s=-t$ erfüllt sein muss. Doch haben wir damit auch bewiesen, dass unter der Annahme von $s=-t$ die ursprüngliche Ausgangsgleichung $3s+t=s-t$ erfüllt ist?

Nein, dies haben wir nicht. Genauso, wie Implikationen im Allgemeinen nicht umkehrbar sind, sind auch Gleichungsumformungen im Allgemeinen nicht umkehrbar. So ist $2x=8\Rightarrow (2x)^{2}=64$ eine nicht umkehrbare Gleichung. Es ist also $(2x)^{2}=64\nRightarrow 2x=8$.

Frage: Wieso ist die Umformung $2x=8\Rightarrow (2x)^{2}=64$ nicht umkehrbar?

Nicht immer dann, wenn $(2x)^{2}=64$ gilt, gilt auch die Gleichung $2x=8$. So ist für $x=-4$ zwar $(2x)^{2}=(2\cdot (-4))^{2}=64$, aber $2x=2\cdot (-4)=-8\neq 8$. Damit ist die Implikation $(2x)^{2}=64\Rightarrow 2x=8$ falsch, also $(2x)^{2}=64$ nicht in $2x=8$ umformbar.

Oben haben wir gezeigt, dass $3s+t=s-t$ in $s=-t$ umformbar ist, aber noch nicht, dass aus $s=-t$ auch immer die Gleichung $3s+t=s-t$ folgt. Dies müssen wir nachholen (obige Umformung in umgekehrter Reihenfolge, da jeder Einzelschritt umkehrbar ist):

${\begin{array}{lrll}&s&=-t&{\color {Gray}\left|\ {}\cdot 2{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &2s&=-2t&{\color {Gray}\left|\ +s{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &3s&=s-2t&{\color {Gray}\left|\ +t{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &3s+t&=s-t\end{array}}$

Als Quintessenz dieses Abschnitts solltest du dir merken:

Hinweis

Gleichungsumformungen $T_{1}=T_{2}\Rightarrow S_{1}=S_{2}$ sind im Allgemeinen nicht umkehrbar.

Frage: Du hast die Ausgangsgleichung $T_{1}(x)=T_{2}(x)$ ($T_{1}(x)$ und $T_{2}(x)$ sind Terme, bei denen in mindestens einem Term die Variable $x$ vorkommt). Aus ihr hast du die Lösungen $x=S_{1}$, $x=S_{2}$ bis $x=S_{n}$ durch einfache Gleichungsumformungen gewonnen ($S_{1},\ldots S_{n}$ sind Terme ohne Variable $x$). Du hast also gezeigt $T_{1}(x)=T_{2}(x)\Rightarrow x=S_{1}\lor x=S_{2}\lor \dots \lor x=S_{n}$. Sind dann $S_{1}$ bis $S_{n}$ alle Lösungen der Ausgangsgleichung $T_{1}(x)=T_{2}(x)$ für die Variable $x$? Wieso?

Nein, dies ist nicht der Fall. Zwar folgt aus $T_{1}(x)=T_{2}(x)$ die Aussage $x=S_{1}\lor x=S_{2}\lor \dots \lor x=S_{n}$, und damit sind $x=S_{1}$ bis $x=S_{n}$ mögliche Kandidaten für Lösungen. Jedoch müssen sie die Ausgangsgleichung nicht lösen.

Ein Beispiel: Du weißt, dass es keine reelle Zahl $x$ gibt, die die Gleichung $x^{2}=-1$ löst. Jedoch kannst aus der Ausgangsgleichung $x^{2}=-1$ Gleichungsumformungen durchführen, die dich auf die Pseudolösungen $x=1$ und $x=-1$ führen:

${\begin{array}{lrlcll}&x^{2}&=-1&&&{\color {Gray}\left|\ {\text{Quadrieren}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &x^{4}&=1&&&{\color {Gray}\left|\ {\text{vierte Wurzel ziehen}}\right.}\\[0.3em]\Rightarrow \ &x&={\sqrt[{4}]{1}}&\lor &x=-{\sqrt[{4}]{1}}\\[0.3em]\Rightarrow \ &x&=1&\lor &x=-1\end{array}}$

Wenn du nur einfache Gleichungsumformungen verwendest, musst du also immer überprüfen, ob deine gefunden Lösungen auch wirklich die Ausgangsgleichung lösen.

Äquivalenzumformungen

Oben hast du gesehen, dass nicht alle Gleichungsumformungen umkehrbar sind. Deswegen werden all diejenigen Umformungen, die umkehrbar sind, unter dem Begriff Äquivalenzumformung zusammengefasst. Äquivalenzumformungen sind also diejenigen Umformungen $T_{1}=T_{2}\Rightarrow S_{1}=S_{2}$, bei denen auch die Umkehrung $S_{1}=S_{2}\Rightarrow T_{1}=T_{2}$ erfüllt ist. Es gilt so insgesamt die Äquivalenz $T_{1}=T_{2}\Leftrightarrow S_{1}=S_{2}$ (daher der Name „Äquivalenzumformung“).

Wir können die Lösungen für $s$ aus der Gleichung $3s+t=s-t$ direkt durch Äquivalenzumformung gewinnen (und sparen uns so den sonst notwendigen Rückweg):

${\begin{array}{lrll}&3s+t&=s-t&{\color {Gray}\left|\ -t{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Leftrightarrow \ &3s&=s-2t&{\color {Gray}\left|\ -s{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Leftrightarrow \ &2s&=-2t&{\color {Gray}\left|\ {}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\text{ auf beiden Seiten}}\right.}\\[0.3em]\Leftrightarrow \ &s&=-t\end{array}}$

Frage: Welche der folgenden Gleichungsumformungen sind Äquivalenzumformungen?

• Addition mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
• Subtraktion mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
• Multiplikation mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
• Division mit einem beliebigen Term ungleich Null auf beiden Seiten
• beide Seiten quadrieren
• beide Seiten hoch drei nehmen
• auf beiden Seiten den Betrag nehmen

Umformung	Äquivalenzumformung	keine Äquivalenzumformung
Addition mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten	✔
Subtraktion mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten	✔
Multiplikation mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten		✘
Division mit einem beliebigen Term ungleich Null auf beiden Seiten	✔
beide Seiten quadrieren		✘
beide Seiten hoch drei nehmen	✔
auf beiden Seiten den Betrag nehmen		✘

Frage: Wieso ist die Multiplikation mit einem Term keine Äquivalenzumformung?

Wenn man beide Seiten einer Gleichung mit Null multipliziert, so ist die resultierende Gleichung stets $0=0$, also immer wahr. Dies ist auch dann der Fall, wenn die ursprüngliche Gleichung falsch ist bzw. nicht erfüllbar ist.

Beispiel: Es gibt keine reelle Zahl $x$ mit $x^{2}=-1$. So ist $x^{2}=-1$ nicht aus $0=0$ herleitbar (aus einer wahren Aussage können keine falschen Aussagen hergeleitet werden). Jedoch ist $x^{2}=-1\Rightarrow 0\cdot x^{2}=0\cdot (-1)\Rightarrow 0=0$ eine gültige Gleichungsumformung. Diese ist aber nicht umkehrbar, da ihre Umkehrung $0=0\Rightarrow x^{2}=-1$ lauten würde, was aber für alle $x\in \mathbb {R}$ eine falsche Aussage ist.

Frage: Welche Eigenschaften muss eine Funktion $f$ erfüllen, damit

• $T_{1}=T_{2}\Rightarrow f\left(T_{1}\right)=f\left(T_{2}\right)$ eine gültige Gleichungsumformung ist?
• $T_{1}=T_{2}\Rightarrow f\left(T_{1}\right)=f\left(T_{2}\right)$ eine Äquivalenzumformung ist?

Für jede Funktion $f$ ist $T_{1}=T_{2}\Rightarrow f\left(T_{1}\right)=f\left(T_{2}\right)$ eine gültige Gleichungsumformung. Denn eine Funktion ordnet jedem Argument $x$ einen eindeutigen Funktionswert $f(x)$ zu. Dies bedeutet insbesondere, dass, wenn $T_{1}=T_{2}$ ist, auch $f\left(T_{1}\right)=f\left(T_{2}\right)$ sein muss, also $T_{1}=T_{2}\Rightarrow f\left(T_{1}\right)=f\left(T_{2}\right)$ erfüllt ist.

Für eine Funktion $f$ ist $T_{1}=T_{2}\Rightarrow f\left(T_{1}\right)=f\left(T_{2}\right)$ genau dann eine Äquivalenzumformung, wenn $f$ injektiv ist. Gerade haben wir gesehen, dass $T_{1}=T_{2}\Rightarrow f\left(T_{1}\right)=f\left(T_{2}\right)$ eine gültige Gleichungsumformung ist. Sie ist eine Äquivalenzumformung, wenn auch $f\left(T_{1}\right)=f\left(T_{2}\right)\Rightarrow T_{1}=T_{2}$ eine gültige Gleichungsumformung ist. Diese Forderung ist aber nichts anderes als die Definition der Injektivität für die Funktion $f$.