Gleichungen: Umformungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Gleichungen sind Aussagen oder Aussageformen, die die Gleichheit zwischen zwei Termen ausdrücken. Die allgemeine Form von Gleichungen ist

wobei und Terme sind.

Ungleichungen machen vergleichende Aussagen über zwei Terme. Hier steht an der Stelle des Gleichheitszeichens eines der Ordnungsrelationen , , oder .

UmformungenBearbeiten

Durch Umformungen kann eine Gleichung   in eine neue Gleichung   umgeformt werden. Dabei muss gelten, dass immer dann, wenn   erfüllt ist, zwangsläufig auch die Gleichung   erfüllt sein muss. Man schließt also aus der Annahme der Gleichung   auf die neue Gleichung  .

Eine Gleichungsumformung von   nach   ist also nichts anderes als die Implikation  , welche wahr sein muss (also eine Tautologie sein muss).

Ein Beispiel: Immer dann, wenn   ist, ist   (es ist  ). Damit kann die Gleichung   aus der Gleichung   geschlossen werden beziehungsweise   in   umgeformt werden.

Ein häufiges Problem ist das Separieren/Isolieren („auf eine Seite bringen“) einer Variablen aus einer Ausgangsgleichung. Hier hat man eine Ausgangsgleichung mit mindestens einer Variablen gegeben, von der man weiß, dass sie erfüllt sein muss (Beispiel:  ). Nun möchte man wissen, welche Werte eine bestimmte Variable (in Abhängigkeit der anderen Variablen) annehmen kann, sodass die Ausgangsgleichung mit diesen Werten erfüllt ist (Welche Werte für   erfüllen die Ausgangsgleichung  ?). Hier kann man schrittweise die Ausgangsgleichung in andere Gleichungen umformen, bis man eine Gleichung erhält, in der die gewünschte Variable auf einer Seite separiert ist. So können wir   folgendermaßen nach   umformen:

 

Insgesamt haben wir so die Implikation   bewiesen. Wir wissen damit, dass immer dann, wenn   ist, auch die Gleichung   erfüllt sein muss. Doch haben wir damit auch bewiesen, dass unter der Annahme von   die ursprüngliche Ausgangsgleichung   erfüllt ist?

Nein, dies haben wir nicht. Genauso, wie Implikationen im Allgemeinen nicht umkehrbar sind, sind auch Gleichungsumformungen im Allgemeinen nicht umkehrbar. So ist   eine nicht umkehrbare Gleichung. Es ist also  .

Frage: Wieso ist die Umformung   nicht umkehrbar?

Nicht immer dann, wenn   gilt, gilt auch die Gleichung  . So ist für   zwar  , aber  . Damit ist die Implikation   falsch, also   nicht in   umformbar.

Oben haben wir gezeigt, dass   in   umformbar ist, aber noch nicht, dass aus   auch immer die Gleichung   folgt. Dies müssen wir nachholen (obige Umformung in umgekehrter Reihenfolge, da jeder Einzelschritt umkehrbar ist):

 

Als Quintessenz dieses Abschnitts solltest du dir merken:

Hinweis

Gleichungsumformungen   sind im Allgemeinen nicht umkehrbar.

Frage: Du hast die Ausgangsgleichung   (  und   sind Terme, bei denen in mindestens einem Term die Variable   vorkommt). Aus ihr hast du die Lösungen  ,   bis   durch einfache Gleichungsumformungen gewonnen (  sind Terme ohne Variable  ). Du hast also gezeigt  . Sind dann   bis   alle Lösungen der Ausgangsgleichung   für die Variable  ? Wieso?

Nein, dies ist nicht der Fall. Zwar folgt aus   die Aussage  , und damit sind   bis   mögliche Kandidaten für Lösungen. Jedoch müssen sie die Ausgangsgleichung nicht lösen.

Ein Beispiel: Du weißt, dass es keine reelle Zahl   gibt, die die Gleichung   löst. Jedoch kannst aus der Ausgangsgleichung   Gleichungsumformungen durchführen, die dich auf die Pseudolösungen   und   führen:

 

Wenn du nur einfache Gleichungsumformungen verwendest, musst du also immer überprüfen, ob deine gefunden Lösungen auch wirklich die Ausgangsgleichung lösen.

ÄquivalenzumformungenBearbeiten

Oben hast du gesehen, dass nicht alle Gleichungsumformungen umkehrbar sind. Deswegen werden all diejenigen Umformungen, die umkehrbar sind, unter dem Begriff Äquivalenzumformung zusammengefasst. Äquivalenzumformungen sind also diejenigen Umformungen  , bei denen auch die Umkehrung   erfüllt ist. Es gilt so insgesamt die Äquivalenz   (daher der Name „Äquivalenzumformung“).

Wir können die Lösungen für   aus der Gleichung   direkt durch Äquivalenzumformung gewinnen (und sparen uns so den sonst notwendigen Rückweg):

 

Frage: Welche der folgenden Gleichungsumformungen sind Äquivalenzumformungen?

  • Addition mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
  • Subtraktion mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
  • Multiplikation mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
  • Division mit einem beliebigen Term ungleich Null auf beiden Seiten
  • beide Seiten quadrieren
  • beide Seiten hoch drei nehmen
  • auf beiden Seiten den Betrag nehmen

Umformung Äquivalenzumformung keine Äquivalenzumformung
Addition mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
Subtraktion mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
Multiplikation mit einem beliebigen Term auf beiden Seiten
Division mit einem beliebigen Term ungleich Null auf beiden Seiten
beide Seiten quadrieren
beide Seiten hoch drei nehmen
auf beiden Seiten den Betrag nehmen

Frage: Wieso ist die Multiplikation mit einem Term keine Äquivalenzumformung?

Wenn man beide Seiten einer Gleichung mit Null multipliziert, so ist die resultierende Gleichung stets  , also immer wahr. Dies ist auch dann der Fall, wenn die ursprüngliche Gleichung falsch ist bzw. nicht erfüllbar ist.

Beispiel: Es gibt keine reelle Zahl   mit  . So ist   nicht aus   herleitbar (aus einer wahren Aussage können keine falschen Aussagen hergeleitet werden). Jedoch ist   eine gültige Gleichungsumformung. Diese ist aber nicht umkehrbar, da ihre Umkehrung   lauten würde, was aber für alle   eine falsche Aussage ist.

Frage: Welche Eigenschaften muss eine Funktion   erfüllen, damit

  •   eine gültige Gleichungsumformung ist?
  •   eine Äquivalenzumformung ist?

Für jede Funktion   ist   eine gültige Gleichungsumformung. Denn eine Funktion ordnet jedem Argument   einen eindeutigen Funktionswert   zu. Dies bedeutet insbesondere, dass, wenn   ist, auch   sein muss, also   erfüllt ist.

Für eine Funktion   ist   genau dann eine Äquivalenzumformung, wenn   injektiv ist. Gerade haben wir gesehen, dass   eine gültige Gleichungsumformung ist. Sie ist eine Äquivalenzumformung, wenn auch   eine gültige Gleichungsumformung ist. Diese Forderung ist aber nichts anderes als die Definition der Injektivität für die Funktion  .