Häufungspunkt und Berührpunkt einer Menge – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

MotivationBearbeiten

Wie im Artikel „Häufungspunkt einer Folge“ bereits erklärt wurde, muss zwischen dem Begriff des Häufungspunktes einer Menge und dem des Häufungspunktes einer Folge sorgfältig unterschieden werden. Im Folgenden wollen wir den Häufungspunkt einer Menge näher untersuchen. Daher soll der Begriff „Häufungspunkt“ in diesem Artikel als Häufungspunkt einer Menge verstanden werden.

Wie der Name Häufungspunkt einer Menge schon erahnen lässt, soll ein Häufungspunkt der Menge   ein Punkt sein, um den sich die Elemente der Menge häufen. Diese vage Formulierung möchten wir etwas konkretisieren.

Wenn sich Elemente der Menge   um den Punkt   häufen, so sollten wir zumindest fordern, dass in jedem noch so kleinen offenen Intervall um den Punkt   mindestens ein Element von   liegt. Falls dies nicht der Fall wäre, würden wir eine kleine Zahl   finden, so dass für jeden Punkt   gilt:  .

Das würde jedoch bedeuten, dass die Punkte aus   dem Häufungspunkt   nicht beliebig nahe kommen könnten, was jedoch unserer Intuition eines Häufungspunktes widersprechen würde.

Halten wir fest, dass wir mindestens Folgendes für einen Häufungspunkt   der Menge   fordern: Für jedes   gibt es ein  , sodass  . Nun fragen wir uns, ob diese Definition ausreichend ist.

Betrachte man dazu die Menge   als Beispiel. Nach der bisherigen Definition wäre   ein Häufungspunkt der Menge  . Dies wollen wir kurz überprüfen: Sei  . Da   ist, können wir direkt unser   als Element der Menge   hernehmen. Nun folgt, dass  . Dies zeigt, dass   ein Häufungspunkt unserer Menge wäre. Dies ist aber nicht wirklich zufriedenstellend, da sich die Elemente von   nicht wirklich um   häufen.

Um dieses Szenario zu vermeiden, verschärfen wir unsere Definition etwas. Wir nennen   einen Häufungspunkt der Menge  , falls für jedes   ein von   verschiedenes Element   gibt, sodass   gilt. Mit dieser Definition ist nun   kein Häufungspunkt der Menge   mehr. Dies ist ersichtlich, da wir für   kein von   verschiedenes Element der Menge   finden, sodass   gilt. Nachher werden wir sehen, dass aus dieser Definition schon folgt, dass es für jedes   unendlich viele Elemente   gibt, für die   gilt.

Bisher haben wir gesehen, dass Mengen mit einem Element keine Häufungspunkte haben. Wie sieht es aus, wenn wir die Menge   betrachten? Wie oben bereits bewiesen wurde, kann   kein Häufungspunkt sein.

Hat die Menge   dann überhaupt Häufungspunkte? Sehen wir uns zuerst das Intervall   an. Sei also   und   . Egal wie klein   ist, nach Definition des Intervalls wird immer entweder   oder   in   liegen. Wir haben also gerade gezeigt, dass alle Punkte im Intervall   Häufungspunkte sind.

Dies sind auch genau alle Häufungspunkte, da sämtliche Punkte außerhalb von   in diesem Fall nicht durch Punkte aus   angenähert werden können (Wie könnte man das durch eine geeignete Wahl von   beweisen?). Könnte sich dieses Ergebnis ändern, wenn wir   betrachten?

Wozu brauchen wir überhaupt Häufungspunkte? Später werden wir Ableitungen einer Funktion   in einem Punkt   definieren und dabei wird es wichtig sein, dass jeder Punkt   ein Häufungspunkt ist, damit die Ableitung an diesem Punkt definiert werden kann.

Häufungspunkt einer MengeBearbeiten

Nun schreibe man die vorherigen Überlegungen sauber auf.

Definition (Häufungspunkt einer Menge)

Eine Zahl   ist Häufungspunkt einer Menge  , wenn es für jedes   ein Element   gibt mit   und  .

Eigenschaften von HäufungspunktenBearbeiten

To-Do:

Beweise noch etwas zu technisch.

Zuerst möchten wir den Zusammenhang zwischen Häufungspunkten von Mengen und Folgen darstellen.

Satz (Jeder Häufungspunkt einer Menge ist der Grenzwert einer Folge der Menge)

Ein Punkt   ist genau dann ein Häufungspunkt der Menge  , falls es eine Folge   in   gibt, für welche   für alle   und   gilt.

Beweis (Jeder Häufungspunkt einer Menge ist der Grenzwert einer Folge der Menge)

Es ist zu beachten, dass die Aussage des Satzes eine Äquivalenz von Aussagen ist. Wir müssen also zwei Richtungen zeigen. Beginnen wir mit der Richtung von links nach rechts.

" ": Sei   ein Häufungspunkt der Menge  . Für festes   setzen wir   Da   ein Häufungspunkt ist, gibt es nun ein Element   mit   und   Da dieses Element von   und damit im Speziellen von   abhängt, nenne ich es   Nun verfahren wir so für jedes  . Wir erhalten eine Folge   Nun zeigen wir, dass diese Folge in der Tat gegen den Häufungspunkt   strebt. Erinnern wir uns dazu nochmals an die Definition des Grenzwertes einer Folge. Sei   beliebig. Wählen wir ein   mit   Sei nun  , also auch   Nun folgt nach Konstruktion unserer Folge   Nach Definition des Grenzwertes zeigt dies, dass der Grenzwert der Folge   der Häufungspunkt   ist.

Nun beweisen wir die Richtung von rechts nach links.

" ": Sei  . Sei außerdem   eine Folge in   die gegen   konvergiert und für die   für alle   gilt. Da   gilt, gibt es ein   mit  . Außerdem gilt  , was den Satz beweist.

Nun möchten wir rechtfertigen, dass ein Häufungspunkt einer Menge wirklich seinen Namen verdient hat und sich die Elemente der Menge um ihn häufen.

Satz (Die Elemente einer Menge häufen sich um die Häufungspunkte der Menge)

Sei   ein Häufungspunkt der Menge  . Für jedes   gibt es eine Menge   mit unendlich(!) vielen Elementen, sodass für alle   gilt  .

Beweis (Die Elemente einer Menge häufen sich um die Häufungspunkte der Menge)

Wir beweisen die Aussage per Widerspruch. Die Kontraposition lautet: Es gibt ein  , sodass für jede unendliche Menge   gilt: Es existiert ein   mit  . Diese Aussage kann nun auch in folgende Aussage umgeformt werden: Es existiert ein  , sodass die Menge   endlich ist. Warum? Hätte   unendlich viele Elemente, dann müsste nach der Kontraposition ein   mit   existieren. Dies kann aber nach Definition von   nicht sein. Nun wählen wir   Da die Menge   endlich ist und   gilt   Daraus können wir nun folgern, dass für alle   mit   gilt   Dies jedoch widerspricht der Tatsache, dass   ein Häufungspunkt von   ist. ↯

Wie sieht es aus, wenn   nur endlich viele Elemente enthält? Dann kann jede  -Umgebung eines Häufungspunktes   von   nur endlich viele Elemente in   enthalten. Somit ist unser zweiter Satz nicht erfüllt und wir folgern:

Satz (Endliche Menge hat keine Häufungspunkte)

Eine Menge   mit endlich vielen Elementen hat keine Häufungspunkte.

Zur Übung könnte man sich überlegen, wie man diesen Satz direkt aus der Definition beweisen kann.

BerührpunktBearbeiten

To-Do:

Motivation von Berührpunkten fehlt

Wie wir gerade gesehen haben, gibt es Punkte, die keine Häufungspunkte sind, jedoch der Grenzwert einer Folge aus der Menge. Diese Punkte sind also fast Häufungspunkte. Sie liegen beliebig nahe an der Menge, jedoch häufen sich die Elemente der Menge nicht um sie. Um diese Punkte auch in einer Definition zu erfassen, führen wir das Konzept des Berührpunktes ein, welches eine Abschwächung eines Häufungspunktes ist.

Definition (Berührpunkt)

Sei   eine Menge. Eine Zahl   nennt man Berührpunkt der Menge  , falls es eine Folge aus   gibt, die gegen   konvergiert.

Eigenschaften von BerührpunktenBearbeiten

Lass uns jetzt ein paar einfache Eigenschaften von Berührpunkten beweisen. Aus der Definition sehen wir sofort, dass jeder Punkt einer Menge   ein Berührpunkt dieser Menge ist.

Satz (Jeder Punkt einer Menge ist ein Berührpunkt dieser Menge)

Jeder Punkt   einer Menge   ist Berührpunkt von  .

Beweis (Jeder Punkt einer Menge ist ein Berührpunkt dieser Menge)

Sei   ein beliebiger Punkt. Nun müssen wir zeigen, dass es eine Folge aus   gibt, die gegen   konvergiert. Welche Folge könnte es sein? Wählen wir dafür die konstante Folge, für die jedes Folgeglied den Wert   hat. Im Speziellen konvergiert diese Folge gegen   und liegt in  .

Nun kümmern wir uns um die Beziehung zwischen Berührpunkten und Häufungspunkten. Konkret stellen wir uns die Fragen: Ist jeder Häufungspunkt ein Berührpunkt? Ist jeder Berührpunkt ein Häufungspunkt? Die Antwort auf die erste Frage ist einfach:

Satz (Jeder Häufungspunkt ist ein Berührpunkt)

Jeder Häufungspunkt   einer Menge   ist Berührpunkt von  .

Beweis (Jeder Häufungspunkt ist ein Berührpunkt)

Jeder Häufungspunkt   von   ist ein Grenzwert einer Folge in  . Daher folgt sofort, dass jeder Häufungspunkt auch ein Berührpunkt von   ist.

Kommen wir zur Antwort auf die Frage: Ist jeder Berührpunkt ein Häufungspunkt? Dafür denken wir an das Beispiel in der Motivation mit  : Hier ist die Menge der Häufungspunkte leer, die Menge der Berührpunkte enthält aber mindestens den Punkt  , wie wir gerade bewiesen haben. Es ist also bereits klar, dass die Menge der Häufungspunkte von   strikt kleiner als die Menge der Berührpunkte sein kann. Können wir noch mehr sagen? Wenn wir uns nochmal genau die Definitionen von Häufungspunkten und Berührpunkten   anschauen, dann sehen wir, dass diese sich nur darin unterscheiden, ob   im Wertebereich der approximierenden Folge   liegen darf oder nicht. Daher folgern wir:

Satz (Beziehung zwischen Häufungspunkt und Berührpunkt)

Jeder Punkt   einer Menge   ist genau dann Häufungspunkt von  , wenn er Berührpunkt von   ist.

Beweis (Beziehung zwischen Häufungspunkt und Berührpunkt)

Falls   ein Berührpunkt von   ist, dann gibt es eine Folge in  , die gegen   konvergiert. Daher folgt sofort, dass   ein Häufungspunkt von   ist. Nun nehmen wir an, dass   ein Häufungspunkt von   ist. Wie oben bewiesen folgt direkt, dass es eine Folge   in   mit   für alle   und   gibt. Daher folgt, dass   ein Berührpunkt von   ist.

BeispieleBearbeiten

Beispiel (Häufungspunkte und Berührpunkte von Intervallen)

Die Menge der Häufungspunkte eines beliebigen offenen Intervalls   ( ) ist das abgeschlossene Intervall  . Ebenso ist die Menge der Berührpunkte von   das abgeschlossene Intervall  .

Beispiel (Berühr- und Häufungspunkte einer Vereinigungsmenge)

Die Menge der Berührpunkte von   ist  , während die Menge der Häufungspunkte das abgeschlossene Intervall   ist.

Satz (Häufungspunkte der rationalen Zahlen)

Die Menge der Häufungspunkte der rationalen Zahlen ist  .

Beweis (Häufungspunkte der rationalen Zahlen)

Sei   ein Häufungspunkt von   und sei  . Da die rationalen Zahlen   dicht in den reellen Zahlen   liegen, gibt es ein   mit   und  , was beweist, dass   ein Häufungspunkt von   ist. Dies zeigt ebenso, dass die Menge der Berührpunkte von   die Menge der rationalen Zahlen ist.

To-Do:

Q ist dicht in R

Frage: Bestimme die Berühr- und Häufungspunkte folgender Teilmengen von  .

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

  1. Berührpunkte:  , Häufungspunkte:  
  2. Berührpunkte:  , Häufungspunkte:  
  3. Berührpunkte:  , Häufungspunkte:  
  4. Berührpunkte:  , Häufungspunkte: