Häufungspunkt einer Folge – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Achtung: Verschiedene Arten von Häufungspunkten

Beim Begriff „Häufungspunkt“ müssen wir aufpassen. Es gibt nämlich zwei verschiedene Arten von Häufungspunkten in der Mathematik: Häufungspunkte von Folgen und Häufungspunkte von Mengen. Obwohl beide Begriffe eng miteinander verwandt sind, müssen wir zwischen ihnen unterscheiden. In Vorlesungen und Übungen sollte man sich immer klar machen, um welche Art von Häufungspunkt es gerade geht.

In diesem Kapitel werden Häufungspunkte von Folgen vorgestellt. Wenn wir also im Folgenden das Wort „Häufungspunkt“ benutzen, dann ist damit der Häufungspunkt einer Folge gemeint.

Einleitendes Beispiel

Wir stoßen auf den Begriff des Häufungspunkts, wenn wir uns das Grenzwertverhalten bestimmter Folgen anschauen. Nehmen wir die Folge $a_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {n}{n+1}}$. Sie hat die Folgenglieder

$\left((-1)^{n}{\tfrac {n}{n+1}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(-{\tfrac {1}{2}},\,{\tfrac {2}{3}},\,-{\tfrac {3}{4}},\,{\tfrac {4}{5}},\,-{\tfrac {5}{6}},\,{\tfrac {6}{7}},\,\ldots \right)$

Im Diagramm sieht die Folge so aus:

Erste Folgenglieder der Folge (-1)^n*n/(n+1)

Wir sehen zunächst, dass die Folge keinen Grenzwert besitzt. Es gibt nämlich keinen eindeutigen Wert, gegen den sie strebt. Dennoch können wir ein gewisses Grenzwertverhalten ausmachen: Ein Teil der Folge scheint gegen $1$ und der andere Teil gegen $-1$ zu streben.

Für dieses „Streben eines Teils der Folge“ gibt es den Begriff des Häufungspunkts. Wir werden sehen, dass $1$ und $-1$ die beiden Häufungspunkte der Folge $a_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {n}{n+1}}$ sind. Fassen wir also zusammen:

Häufungspunkte sind Werte, gegen die ein Teil einer Folge strebt.

Diese intuitive Beschreibung müssen wir noch in eine mathematisch exakte Definition umformulieren.

Definition des Häufungspunkts

Wie kann man die Intuition „Streben eines Teils einer Folge“ allein durch mathematische Begriffe ausdrücken? Im letzten Kapitel haben wir das Konzept einer Teilfolge kennengelernt. Es liegt nahe, die Umschreibung „Teil einer Folge“ durch den Begriff „Teilfolge“ zu ersetzen. Genauso können wir „Streben eines Teils einer Folge“ durch "Streben einer Teilfolge" ersetzen.

Wir müssen noch konkretisieren, was "Streben einer Teilfolge" gegen einen Wert sein soll. Die Konvergenz einer Folge beschreibt die intuitive Idee, dass eine Folge gegen einen Grenzwert strebt. Wir können also die Umschreibung

„…ein Teil einer Folge strebt gegen einen Wert“

durch folgende Formulierung ersetzen:

„…eine Teilfolge konvergiert gegen einen Wert“

So erhalten wir folgende Definition des Häufungspunkts:

Definition (Häufungspunkt einer Folge)

Eine Zahl $a$ ist Häufungspunkt einer Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, wenn es eine Teilfolge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gibt, die gegen diese Zahl $a$ konvergiert.

Beispiele

Im einführenden Beispiel hatten wir intuitiv festgestellt, dass die Folge $a_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {n}{n+1}}$ die Häufungspunkte $1$ und $-1$ besitzt. Können wir dies auch mit unserer Definition des Häufungspunkts nachweisen? Finden wir also zwei Teilfolgen von $a_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {n}{n+1}}$, die einmal gegen $1$ und einmal gegen $-1$ konvergieren? Zur Wiederholung: Die Folge $a_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {n}{n+1}}$ besitzt die Folgenglieder:

$-{\tfrac {1}{2}},\,{\tfrac {2}{3}},\,-{\tfrac {3}{4}},\,{\tfrac {4}{5}},\,-{\tfrac {5}{6}},\,{\tfrac {6}{7}},\,\ldots$

Im Diagramm ergibt sich folgendes Bild der Folge:

Folge a_n=(-1)^n*n/(n+1) mit zwei Teilfolgen

Anscheinend strebt die Teilfolge der geraden Folgenglieder gegen $1$. Schauen wir uns diese Teilfolge an:

${\cancel {-{\tfrac {1}{2}}}},\,{\color {OliveGreen}{\tfrac {2}{3}}},\,{\cancel {-{\tfrac {3}{4}}}},\,{\color {OliveGreen}{\tfrac {4}{5}}},\,{\cancel {-{\tfrac {5}{6}}}},\,{\color {OliveGreen}{\tfrac {6}{7}}},\,\ldots$

Diese Teilfolge ${\color {OliveGreen}(c_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ besitzt die explizite Bildungsvorschrift

$c_{k}=a_{2k}=(-1)^{2k}{\tfrac {2k}{2k+1}}={\tfrac {2k}{2k+1}}$

Und tatsächlich: Mit Hilfe der Grenzwertsätze können wir nachweisen, dass diese Folge gegen $1$ konvergiert:

${\begin{aligned}\lim _{k\rightarrow \infty }c_{k}&=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {2k}{2k+1}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {2k}{2k\left(1+{\frac {1}{2k}}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+{\frac {1}{2k}}}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[1em]&={\frac {\lim _{k\rightarrow \infty }1}{\lim _{k\rightarrow \infty }1+\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2k}}}}={\frac {1}{1+0}}=1\end{aligned}}$

$1$ ist also ein Häufungspunkt der Folge $a_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {n}{n+1}}$, weil es mit $(c_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine gegen $1$ konvergente Teilfolge gibt. Um nachzuweisen, dass $-1$ ein Häufungspunkt der Folge ist, können wir uns die Teilfolge der ungeraden Folgenglieder anschauen:

${\color {Blue}-{\tfrac {1}{2}}},\,{\cancel {\tfrac {2}{3}}},\,{\color {Blue}-{\tfrac {3}{4}}},\,{\cancel {\tfrac {4}{5}}},\,{\color {Blue}-{\tfrac {5}{6}}},\,{\cancel {\tfrac {6}{7}}},\,\ldots$

Auch hier können wir mit den Grenzwertsätzen nachweisen, dass diese Teilfolge gegen $-1$ konvergiert. Dass $1$ und $-1$ die beiden Häufungspunkte der Folge sind, erkennt man auch, wenn man alle Folgenglieder auf der Zahlengeraden einzeichnet. Hier sind die Häufungspunkte die Zahlen, bei denen sich die Glieder der Folge „häufen“:

1 und -1 sind Häufungspunkte der gegebenen Folge (a_n)

Verständnisfrage: Wie lautet die explizite Bildungsvorschrift der Teilfolge mit den ungeraden Folgengliedern?

Die Indexfolge der ungeraden Indizes ist $n_{k}=2k-1$. Damit lautet die explizite Bildungsvorschrift der Teilfolge $(d_{k})_{k\in \mathbb {N} }$:

$d_{k}=a_{n_{k}}=a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}{\frac {2k-1}{(2k-1)+1}}={\frac {1-2k}{2k}}$

Verständnisfrage: Weise für die Teilfolge nach, dass sie gegen $-1$ konvergiert.

Es ist

${\begin{aligned}\lim _{k\rightarrow \infty }d_{k}&=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1-2k}{2k}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {2k\left({\frac {1}{2k}}-1\right)}{2k}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {{\frac {1}{2k}}-1}{1}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[1em]&={\frac {\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2k}}-\lim _{k\rightarrow \infty }1}{\lim _{k\rightarrow \infty }1}}={\frac {0-1}{1}}=-1\end{aligned}}$

Alternative Definition des Häufungspunkts

Umgebungsdefinition des Häufungspunkts

Den Grenzwert einer Folge hatten wir dadurch charakterisiert, dass in jeder Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder liegen. Für Häufungspunkte gibt es eine ähnliche Charakterisierung: Eine Zahl ist Häufungspunkt einer Folge, wenn in jeder Umgebung um den Punkt unendlich viele Folgenglieder liegen. Der Unterschied zum Grenzwert liegt darin, dass sich in jeder Umgebung um den Häufungspunkt nur unendlich viele und nicht fast alle Folgenglieder befinden müssen.

Zur Erinnerung: Eine $\epsilon$-Umgebung einer Zahl $h$ ist ein offenes Intervall $(h-\epsilon ,h+\epsilon )$ mit $\epsilon >0$.

Damit $h$ ein Häufungspunkt der Folge sein kann, müssen sich also unendlich viele Folgenglieder in jedem Intervall der Form $(h-\epsilon ,h+\epsilon )$ befinden. Nun liegt ein Folgenglied $a_{n}$ genau dann im offenen Intervall $(h-\epsilon ,h+\epsilon )$, wenn $|a_{n}-h|<\epsilon$ ist. Also muss es unendlich viele Indizes $n\in \mathbb {N}$ mit $|a_{n}-h|<\epsilon$ geben. Die alternative Definition des Häufungspunkts lautet:

Definition (Umgebungsdefinition des Häufungspunkts)

Eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ besitzt den Häufungspunkt $h\in \mathbb {R}$, wenn sich in jeder Umgebung von $h$ unendlich viele Folgenglieder von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ befinden. Für alle $\epsilon >0$ muss es also unendlich viele Indizes $n\in \mathbb {N}$ mit $|a_{n}-h|<\epsilon$ geben.

Diese Definition zeigt, dass der Häufungspunktbegriff eine Abschwächung des Grenzwertbegriffs ist. Bei Grenzwerten müssen in jeder $\epsilon$-Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder liegen. Nur endlich viele Folgenglieder dürfen sich außerhalb befinden. Demgegenüber müssen bei Häufungspunkten nur unendlich viele Folgenglieder in jeder $\epsilon$-Umgebung sein. Es können also auch unendlich viele Folgenglieder außerhalb der $\epsilon$-Umgebung liegen.

Beispiel (Alternative Definition des Häufungspunkts)

Als Beispiel betrachten wir die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=((-1)^{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Diese hat $1$ als Häufungspunkt. Für jedes noch so kleine $\epsilon >0$ liegen nämlich alle Folgenglieder mit geradem Index $a_{2k}$, also unendlich viele, in der Umgebung $(1-\epsilon ,1+\epsilon )$. Formal schreiben wir dafür $a_{2k}=(-1)^{2k}=1\in (1-\epsilon ,1+\epsilon )$ für alle $k\in \mathbb {N}$ und alle $\epsilon >0$.

Allerdings liegen nicht fast alle Folgenglieder für alle $\epsilon >0$ in $(1-\epsilon ,1+\epsilon )$. Für $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}$ zum Beispiel liegen auch unendlich viele Folgenglieder außerhalb dieser Umgebung, nämlich alle mit ungeradem Index $a_{2k-1}$. Formal: $a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1\notin ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}})=(1-\epsilon ,1+\epsilon )$ für alle $k\in \mathbb {N}$.

Beweis der Äquivalenz

Nun müssen wir beweisen, dass beide Definitionen äquivalent sind. Genau dann, wenn eine Zahl nach der Teilfolgen-Definition ein Häufungspunkt ist, muss sie auch nach der Umgebungsdefinition Häufungspunkt der Folge sein (und umgekehrt). Wir müssen also folgenden Satz beweisen:

Satz (Äquivalenz der beiden Häufungspunkt-Definitionen)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge. Für eine Zahl $h\in \mathbb {R}$ sind folgende Definitionen äquivalent:

• $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ besitzt eine gegen $h$ konvergente Teilfolge.
• In jeder Umgebung von $h$ liegen unendlich viele Folgenglieder von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Beweis (Äquivalenz der beiden Häufungspunkt-Definitionen)

Beweisschritt 1: Wenn es eine gegen $h$ konvergente Teilfolge gibt, dann liegen in jeder $\epsilon$-Umgebung von $h$ unendlich viele Folgenglieder.

Wir wissen, dass eine Teilfolge der Folge gegen $h$ konvergiert. Sei nun $U$ eine beliebige Umgebung von $h$. Aus der Definition der Konvergenz folgt, dass fast alle Folgenglieder der Teilfolge in der Umgebung liegen müssen. Nun sind aber fast alle Folgenglieder der Teilfolge unendlich viele Folgenglieder der ursprünglichen Folge. Jedes Folgenglied der Teilfolge ist nämlich auch ein Folgenglied der ursprünglichen Folge. Damit haben wir gezeigt, dass in $U$ unendlich viele Folgenglieder liegen.

Beweisschritt 2: Wenn in jeder Umgebung von $h$ unendlich viele Folgenglieder liegen, dann gibt es eine gegen $h$ konvergente Teilfolge.

Wir wissen, dass in jeder Umgebung von $h$ unendlich viele Folgenglieder liegen. Diesen Umstand müssen wir ausnutzen, um eine Teilfolge zu finden, die gegen $h$ konvergiert. Hierfür wählen wir immer kleiner werdende Umgebungen, zum Beispiel die offenen Intervalle

$U_{n}=\left(h-{\tfrac {1}{n}},h+{\tfrac {1}{n}}\right)$

Wir haben also folgende Folge von Intervallen:

${\begin{aligned}U_{1}&=\left(h-1,h+1\right)\\U_{2}&=\left(h-{\tfrac {1}{2}},h+{\tfrac {1}{2}}\right)\\U_{3}&=\left(h-{\tfrac {1}{3}},h+{\tfrac {1}{3}}\right)\\U_{4}&=\left(h-{\tfrac {1}{4}},h+{\tfrac {1}{4}}\right)\\&\ \vdots \end{aligned}}$

Wir wissen, dass jedes dieser offenen Intervalle unendlich viele Folgenglieder besitzt. Dies müssen wir ausnutzen, um eine gegen $h$ konvergente Teilfolge $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zu finden. Diese Teilfolge können wir folgendermaßen rekursiv definieren:

• $t_{1}$ ist irgendein Folgenglied in $U_{1}$.
• Seien $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-1}$ bereits bestimmt. Als nächstes Folgenglied $t_{n}$ der Teilfolge wählen wir irgendein Folgenglied aus $U_{n}$, sodass der Index von $t_{n}$ in der ursprünglichen Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ größer als alle Indizes von $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-1}$ ist. (Dies ist notwendig, damit $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auch wirklich eine Teilfolge ist.)

Wegen $t_{n}\in U_{n}$ ist $|h-t_{n}|<{\tfrac {1}{n}}$, da für alle $x\in U_{n}$ die Ungleichung $|h-x|<{\tfrac {1}{n}}$ gilt. Dies beweist, dass $\lim _{n\to \infty }t_{n}=h$ ist.

Zusammenhang Grenzwert – Häufungspunkte

Häufungspunkte als Verallgemeinerung von Grenzwerten

Aus beiden Definitionen des Häufungspunkts folgt direkt, dass jeder Grenzwert auch Häufungspunkt ist. Nach Definition konvergiert eine Folge genau dann, wenn in jeder Umgebung um den Häufungspunkt fast alle Folgenglieder liegen. Damit liegen aber auch in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder, denn „fast alle Folgenglieder“ bedeutet „alle Folgenglieder bis auf endlich viele Ausnahmen“ und dies impliziert „unendlich viele Folgenglieder“. Dies zeigt, dass jeder Grenzwert auch Häufungspunkt ist:

Satz (Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt)

Bei konvergenten Folgen ist der Grenzwert der Folge auch ein Häufungspunkt.

Frage: Warum ist jeder Grenzwert auch nach der Teilfolgen-Definition ein Häufungspunkt?

Wir wissen: Wenn eine Folge konvergiert, muss jede Teilfolge der Folge gegen den Grenzwert konvergieren. Damit gibt es aber eine Teilfolge der Folge, die gegen den Grenzwert konvergiert. Wir können schlicht eine beliebige wählen. Nach der Teilfolgen-Definition des Häufungspunkts ist damit jeder Grenzwert auch Häufungspunkt.

Umgekehrt ist aber nicht jeder Häufungspunkt ein Grenzwert. Im einführenden Beispiel hatten wir eine Folge mit zwei Häufungspunkten kennengelernt. Jedoch wissen wir, dass es höchstens einen Grenzwert pro Folge geben kann. Der Grenzwert ist eindeutig. Die Häufungspunkte im einführenden Beispiel sind demnach keine Grenzwerte.

Halten wir fest: Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt, aber nicht jeder Häufungspunkt ist Grenzwert. Damit ist der Begriff des Häufungspunkts eine Verallgemeinerung des Grenzwertbegriffs. Außerdem können wir festhalten: Da jeder Grenzwert ein Häufungspunkt ist und eine konvergente Folge genau einen Grenzwert besitzt, müssen alle Folgen divergieren, die keinen oder mehr als einen Häufungspunkt besitzen:

Satz

Jede Folge mit mehr als einem oder mit keinem Häufungspunkt divergiert.

Frage: Konvergiert jede Folge mit genau einem Häufungspunkt? Beweise deine Aussage!

Nein, dem ist nicht so. Nehmen wir zum Beispiel die Folge

$a_{n}={\begin{cases}n,&n{\text{ ist gerade}}\\0,&n{\text{ ist ungerade}}\end{cases}}$

Diese Folge divergiert, weil sie unbeschränkt ist. Jedoch besitzt sie 0 als einzigen Häufungspunkt.

Häufungspunkte sind nicht eindeutig

Im Einführungsbeispiel hatten wir bereits gesehen, dass eine Folge mehr als einen Häufungspunkt besitzen kann. Dementsprechend sind Häufungspunkte anders als Grenzwerte nicht eindeutig. Es ist sogar möglich, dass eine Folge unendlich viele Häufungspunkte besitzt. Folgende Aufgabe zeigt, dass eine Folge im Extremfall sogar jede reelle Zahl als Häufungspunkt besitzen kann:

Aufgabe

Finde eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, die jede reelle Zahl als Häufungspunkt besitzt.

Beweis

Diese Aufgabe kann mit einem Trick gelöst werden. Wir wissen, dass $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q}$ gleichmächtig sind. Damit muss es eine surjektive Abbildung $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ geben. Fassen wir $f$ als Folge auf (wir setzen also $a_{n}=f(n)$).

Sei nun $x\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl und $U$ eine beliebige Umgebung um $x$. Diese Umgebung muss per Definition ein offenes Intervall $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ für ein $\epsilon >0$ besitzen. In diesem offenem Intervall liegen unendlich viele rationale Zahlen. Da $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ surjektiv ist, müssen damit auch unendlich viele Folgenglieder von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ liegen. Dies beweist, dass $x$ ein Häufungspunkt der Folge ist.

Vergleich Häufungspunkt – Grenzwert

Grenzwert	Häufungspunkt
Jede Teilfolge konvergiert gegen den Grenzwert.	Mindestens eine Teilfolge konvergiert gegen den Häufungspunkt.
In jeder $\epsilon$-Umgebung liegen fast alle Folgenglieder.	In jeder $\epsilon$-Umgebung liegen unendlich viele Folgenglieder.
Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert.	Es kann beliebig viele Häufungspunkte geben.
Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt.	Es gibt Häufungspunkte, die keine Grenzwerte sind.

Limes superior und Limes inferior

→ Hauptartikel: Lim sup und Lim inf

An dieser Stelle stellen wir noch zwei wichtige Häufungspunkte einer Folge vor. Sei $(a_{n})_{n\mathbb {N} }$ eine Folge, so bezeichnet man mit Limes superior, geschrieben $\limsup _{n\to \infty }a_{n}$, den größten Häufungspunkt der Folge, wenn die Folge nach oben beschränkt ist. Mit Limes inferior wird der kleinste Häufungspunkt bei nach unten beschränkten Folgen bezeichnet (in Formeln $\liminf _{n\to \infty }a_{n}$). Wir fordern außerdem, dass die Werte $+\infty$ und $-\infty$ für den Limes superior und Limes inferior angenommen werden können, wenn die Folge nach oben bzw. nach unten unbeschränkt ist. Damit kann jeder Folge (auch divergenten Folgen!) sowohl ein Limes superior als auch Limes inferior zugeordnet werden. Den Limes superior und Limes inferior werden wir im Kapitel „Lim sup und Lim inf“ behandeln.