Lim sup und Lim inf – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Der Limes superior und der Limes inferior ist der größte und der kleinste Häufungspunkt einer Folge. Diese dienen als partiellen Ersatz für den Grenzwert, wenn dieser nicht existiert.

MotivationBearbeiten

Der Grenzwert einer Folge ist diejenige Zahl, gegen die eine Folge im Unendlichen strebt. In jeder Umgebung um den Grenzwert liegen fast alle Folgenglieder und damit befinden sich nur endlich viele Folgenglieder außerhalb einer beliebigen Umgebung:

Auch, wenn nicht jede Folge einen Grenzwert besitzt, kann man sowohl bei konvergenten als auch bei divergenten Folgen einiges über ihr Verhalten im Unendlichen aussagen. Im Kapitel „Häufungspunkt einer Folge“ haben wir bereits das Konzept des Häufungspunkts als Verallgemeinerung des Grenzwerts kennengelernt. Der Häufungspunkt ist eine Zahl, gegen die ein Teil der Folge strebt und um die sich deswegen die Folgenglieder „häufen“. Damit können sie benutzt werden, um das Verhalten einer Folge im Unendlichen zu beschreiben.

Durch Angabe des größten und des kleinsten Häufungspunkts können wir den Bereich einschränken, wo sich diese Häufungspunkte befinden. Der größte Häufungspunkt wird dabei Limes superior und der kleinste Limes inferior genannt. Dabei verwenden wir für den größten Häufungspunkt einer Folge   den Ausdruck   und für den kleinsten Häufungspunkt  .

Das abgeschlossene Intervall   zwischen dem kleinsten und größten Häufungspunkt ist eine Art „verallgemeinertes Grenzwertintervall“. Wir können nämlich zeigen, dass sich bei beschränkten Folgen in jeder Umgebung um dieses Intervall fast alle Folgenglieder befinden. Außerhalb einer solchen Umgebung befinden sich nur endlich viele Folgenglieder. In der folgenden Abbildung ist dies für eine Epsilon-Umgebung   um dieses Intervall illustriert. Außerhalb dieses "Schlauchs" befinden sich nur endlich viele Folgenglieder und innerhalb fast alle:

DefinitionBearbeiten

Wir wollen eine Folge genauer durch die Bestimmung des kleinsten und größten Häufungspunkts beschreiben. Dadurch schwächen wir den Grenzwertbegriff ab und gewinnen einen anderen Blick auf die Folge. Der größte Häufungspunkt wird Limes superior genannt und wird bei einer Folge   mit   bezeichnet. Der kleinste Häufungspunkt ist der Limes inferior und wird als   beschrieben:

Definition (Limes superior)

Der Limes superior einer Folge   ist bei nach oben beschränkten Folgen der größte Häufungspunkt dieser Folge und wird mit   bezeichnet. Bei nach oben unbeschränkten Folgen schreiben wir  .

Definition (Limes inferior)

Der Limes inferior einer Folge   ist bei nach unten beschränkten Folgen der kleinste Häufungspunkt dieser Folge und wird mit   bezeichnet. Bei nach unten unbeschränkten Folgen setzen wir  .

To-Do:

Nach unten beschränkte Folgen haben nicht unbedingt einen kleinsten Häufungspunkt. Die Definition ist nur für in beide Richtungen beschränkte Folgen korrekt. Ansonsten kann nicht nur  , sondern auch   gelten. Daher: Definition zunächst nur für beschränkte Folgen, und dann die Ausweitung auf beliebige Folgen als Motivation für die alternative Definition nehmen. Außerdem ist nicht von vornherein klar, warum die Menge aller Häufungspunkte ein Minimum bzw. Maximum und nicht nur ein Infimum bzw. Supremum hat.

BeispieleBearbeiten

Beispiel

Wir zerlegen die Folge   in ihre eigenen Bestandteile, indem wir dazu die Folgen   und   definieren.

Die Teilfolgen der divergenten Folge   haben die Häufungspunkte   und  .

Die Folge   ist dahingegen bestimmt divergent mit  .

Wir fügen nun die "Grenzwerte" von   und   zusammen. Aufgrund von   ergibt sich die nach unten unbeschränkte Folge  . Da   gilt, erhalten wir die nach oben unbeschränkte Folge  .

Somit gilt   und  .

Beispiel

Ist  , so ist  . Da die Folge   konvergiert, hat sie nur den Häufungspunkt  . Daher ist

 

Beispiel

Ist  , so ist  . Also ist   nach oben unbeschränkt. Somit ist  . Des Weiteren ist   nach unten (durch  ) beschränkt und besitzt keine Häufungspunkte, da   fast alle   sind. Daher ist auch  .

Zusammenhang mit GrenzwertBearbeiten

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn der Limes superior und der Limes inferior existieren und übereinstimmen:

Satz (Limes superior/inferior und Konvergenz)

Eine Folge   konvergiert genau dann, wenn gilt:

 

Wie kommt man auf den Beweis? (Limes superior/inferior und Konvergenz)

Wir müssen die Äquivalenz

 

zeigen.

Die Hin-Richtung " " des Beweises ist einfach. Da jede konvergente Folge beschränkt ist, folgt sie unmittelbar aus der Definition von   und  .

Für die Rück-Richtung " " verwenden wir die alternativen Umgebungs-Definitionen von Grenzwert und Häufungspunkt. Zur Erinnerung:

Eine Folge   konvergiert genau dann gegen  , wenn   fast alle  , und eine Folge   hat den Häufungspunkt  , wenn   unendlich viele  .

Beweis (Limes superior/inferior und Konvergenz)

Beweisschritt 1: " "

Konvergiert   gegen  , so ist   beschränkt, und   ist der einzige Häufungspunkt der Folge. Nach Definition ist daher

 

Beweisschritt 2: " "

Gelte  .

Da   der größte Häufungspunkt von   ist, liegen nach den alternativen Definitionen eines Häufungspunktes und des Grenzwertes für alle   unendlich viele Folgenglieder in   und fast alle Folgenglieder in  .

Da   der kleinste Häufungspunkt von   ist, liegen für alle   unendlich viele Folgenglieder in   und fast alle Folgenglieder in  .

Also liegen für alle   fast alle Folgenglieder in  , d.h.   konvergiert gegen  .

To-Do:

An ursprünglichen Autor: Alternativen Widerspruchsbeweis für eine Richtung ergänzen, evtl. Skizze zum Satz ergänzen

Hinweis

Der Satz lässt sich auch auf bestimmt divergente Folgen übertragen. Es gilt

 

Aufgabe (Limes superior/inferior und unbestimmte Divergenz)

Beweise die Aussage für  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Limes superior/inferior und unbestimmte Divergenz)

Wieder müssen wir beide Richtungen zeigen. Die Hinrichtung " " folgt wieder direkt aus der Definition. Die Rückrichtung " " ist hier auch wieder etwas aufwendiger.

Beweis (Limes superior/inferior und unbestimmte Divergenz)

Beweisschritt 1:  . Gelte  . Dann ist   nach oben unbeschränkt und nach unten beschränkt. Damit ist   (und  ). Außerdem kann   keinen Häufungspunkt   haben. Daher gilt auch  .

Beweisschritt 2:  . Gelte  . Dann ist   nach oben unbeschränkt und nach unten beschränkt. Da   ist, hat   keine Häufungspunkte. Daraus können wir nun   folgern. Wir müssen also zeigen:

Sei   eine nach unten beschränkt reelle Folge, die keinen Häufungspunkt in   besitzt, dann konvergiert   uneigentlich gegen  .

Dies können wir am bestem mit einem Widerspruchsbeweis machen: Gelte   sei nach unten beschränkt und   konvergiert nicht uneigentlich gegen  , d.h.

 

Also gibt es unendlich viele   mit  . Aus diesen kann man eine beschränkte Teilfolge   bilden. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es eine konvergente Teilfolge   von  . Da eine Teilfolge einer Teilfolge wieder eine Teilfolge (der ursprünglichen Folge) ist, besitzt   damit eine konvergente Teilfolge und somit einen Häufungspunkt.

To-Do:

Diese Aufgabe in Aufgabenteil auslagern, und evtl. Hilfsaufgabe als eigene Teilaufgabe formulieren

Alternative Charakterisierung von Limes Superior und Limes InferiorBearbeiten

Ist   beschränkt, so lassen sich   und   auch wie folgt charakterisieren:

Satz (Alternative Definition von lim sup und lim inf)

Ist   eine beschränkte reelle Folge, so gilt

 

BeispieleBearbeiten

Da diese Charakterisierungen von   und   am Anfang etwas abstrakt wirken, wollen wir sie zunächst an zwei Beispielen veranschaulichen:

Beispiel

Sei zunächst  . Entscheidend ist es nun,   und   zu bestimmen. Dies ist hier aber nicht allzu schwer. Da die Folge   nur die Werte   annimmt, und beide unendlich oft, ist   und   für alle  . Damit ergibt sich

 

und

 

Beispiel

Ist  , so ist

 

Daraus folgt dann

 

Verständnisaufgabe: Bestimme analog  .

Es gilt

 

Und daher ist ebenfalls

 

Beweis des SatzesBearbeiten

Wie kommt man auf den Beweis? (Alternative Charakterisierung von lim sup und lim inf)

Zunächst zeigen wir, dass   konvergiert. Da   monoton fallend und beschränkt ist, folgt dies aus dem Monotoniekriterium. Anschließend müssen wir noch zeigen, dass   tatsächlich gegen  , also den größten Häufungswert von  , konvergiert. Dies machen wir, indem wir   und   zeigen.

Analog zeigen wir, dass   monoton steigend und beschränkt ist und gegen  , also den kleinsten Häufungspunkt von  , konvergiert.

Beweis (Alternative Charakterisierung von lim sup und lim inf)

Da   nach Voraussetzung beschränkt ist, ist auch   insbesondere nach unten beschränkt. Weiter gilt

 

Also ist   monoton fallend. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert  . Wir nennen den Grenzwert  .

Weiter setzen wir   (größter Häufungspunkt von  ). Nun müssen wir noch zeigen:  . Dies machen wir, indem wir   und   zeigen.

Da   Häufungspunkt von   ist, existiert zu jedem   ein   mit  , so dass  . Da   beliebig war, ist daher   für alle  . Nach dem Monotoniekrieterium für Grenzwerte ist auch  .

Verständnisaufgabe: Zeige ähnlich  .

Da   Häufungspunkt von   ist, existiert zu jedem   ein   mit  , so dass  . Daher ist   für alle  . (Vorsicht: Da in   das Supremum gebildet wird, kann hier nicht   gefolgert werden!) Da aber   beliebig war, folgt daraus  .

Alternativ kann man, an Stelle von  , auch direkt zeigen, dass   ein Häufungspunkt von   ist. Zusammen mit   folgt dann, dass es der größte Häufungspunkt von   ist.

To-Do:

Die Aufgabe sollte kein Teil des Beweises sein

Rechenregeln für Limes Superior und Limes InferiorBearbeiten

Satz (Monotonieregel)

Seien   und   beschränkte reelle Folgen mit   für alle  . Dann gilt

 
und
 

Beweis (Monotonieregel)

Sei   der größte Häufungspunkt von   und   der größte Häufungspunkt von  . Diese existieren nach Bolzano-Weierstraß, da die Folgen nach Voraussetzung beschränkt sind. Sei   gegeben. Da   der größte Häufungspunkt von   ist, gibt es ein  , so dass für alle  :  . Wegen   gilt aber auch für alle  :  . Also muss   gelten. Da   beliebig war, folgt  .

Aufgabe (Monotonieregel)

Zeige analog  .

Satz (Zusammenhang limsup und liminf)

Sei   eine beschränkte reelle Folge. Dann gilt

 

Beweis (Zusammenhang limsup und liminf)

Sei   der größte Häufungspunkt von  . Wir müssen zeigen, dass   gilt, also dass   der kleinste Häufungspunkt von   ist. Dies tun wir in zwei Schritten:

  1. Wir zeigen:   ist ein Häufungspunkt von  
  2. Wir zeigen:   ist der kleinste Häufungspunkt von  

Beweisschritt 1: Wegen   gibt es eine Teilfolge   von   mit  . Mit den Rechenregeln für Grenzwerte gilt dann  . Also konvergiert die Teilfolge   von   gegen  , d.h.   ist Häufungspunkt von  .

Beweisschritt 2: Sei   ein beliebiger Häufungspunkt von  , dann gibt es eine Teilfolge   von   mit  . Mit den Grenzwertregeln folgt dann aber  . Also ist   ein Häufungspunkt von  . Da   der größte Häufungspunkt von   war, folgt  . Dies ist äquivalent zu  .

Da   ein beliebiger Häufungspunkt von   war, folgt daraus, dass   der kleinste Häufungspunkt von   ist. Also gilt  , und genau das wollten wir zeigen.

Satz (Summenregel)

Seien   und   reelle Folgen. Dann gilt

 

Beweis (Summenregel)

Beweisschritt 1: Zunächst zeigen wir die 2. Ungleichung  :

Sei  ,   und   ein beliebiger Häufungspunkt von  . Dann gibt es eine Teilfolge   von   mit  .

Sei nun   beliebig. Da   der größte Häufungspunkt von   und   der größte Häufungspunkt von   ist, gibt es ein  , so dass für alle   gilt:   und  . Also gilt für alle   auch  . Nach der Monotonieregel für Grenzwerte gilt damit  . Da   beliebig war, folgt daraus  . Da nun   ein beliebiger Häufungspunkt von   war, gilt

 

Beweisschritt 2: Nun zeigen wir die erste Ungleichung  . Dafür verwenden wir die 2. Ungleichung, die wir gerade bewiesen haben, und die limsup/liminf-Regel ( ) von oben. Es gilt

 

Dies ist aber äquivalent zur ersten Ungleichung  .

Aufgabe (Beispiel zur Summenregel)

Finde konkrete Folgen   und   mit

 

Lösung (Beispiel zur Summenregel)

Beispielsweise können wir

 

und

 

wählen. Dann ist

 

und

 

Also haben   und   jeweils die Häufungspunkte   und  . Außerdem ist

 

Somit hat   die Häufungspunkte   und  . Damit gilt