Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In dem letzten Kapitel haben wir den Begriff des Grenzwerts einer Folge kennengelernt. Du hast auch gesehen, wie man die Konvergenz einer Folge mit Hilfe der Epsilon-Definition des Grenzwerts beweisen kann. Für den Konvergenzbeweis mit der Epsilon-Definition ist es aber notwendig, den Grenzwert der Folge zu kennen bzw. eine Vermutung zu haben, was der Grenzwert der Folge sein könnte.

Die Epsilon-Definition des Grenzwerts lautet nämlich: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $N\in \mathbb {N}$, so dass die Ungleichung $|a_{n}-a|<\epsilon$ für alle $n\geq N$ erfüllt ist. Dabei ist $a$ der Grenzwert der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Du siehst: In der Epsilon-Definition muss man den Grenzwert $a$ kennen. Doch wie können wir die Konvergenz einer Folge zeigen, wenn es sehr schwer oder sogar unmöglich ist, den Grenzwert der Folge zu bestimmen? Deshalb steht in diesem Kapitel folgende Frage im Vordergrund:

Wie kann man beweisen, dass eine Folge konvergiert, ohne den Grenzwert dieser Folge zu kennen?

Wie würdest du dieses Problem lösen? Ein erster Ansatz ist folgende Hypothese:

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn der Abstand zwischen benachbarten Folgengliedern beliebig klein wird.

Diese Hypothese ist plausibel. Ist aber dieses Kriterium ausreichend? Leider nicht! Nimm zum Beispiel die Folge

$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,\,2,\,2{\tfrac {1}{2}},\,3,\,3{\tfrac {1}{3}},\,3{\tfrac {2}{3}},\,4,\,4{\tfrac {1}{4}},\,4{\tfrac {2}{4}},\,\ldots \right)$

Die Folge wird beliebig groß und divergiert damit. Der Abstand benachbarter Folgenglieder wird aber beliebig klein. Hier siehst du, dass wir ein stärkeres Kriterium als unsere obige Hypothese benötigen. Cauchy-Folgen erfüllen genau dieses stärkere Kriterium.

Herleitung von Cauchy-Folgen

Nehmen wir die Epsilon-Eigenschaft des Grenzwerts und „spielen“ ein wenig damit herum. Wenn eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergiert, dann wissen wir aus der Epsilon-Definition der Konvergenz:

$\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\geq N:|a-a_{n}|<\epsilon$

Fixieren wir ein $\epsilon >0$. Es gibt dann einen von $\epsilon$ abhängigen Index $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$, so dass $|a-a_{n}|<\epsilon$ für alle $n\geq N_{\epsilon }$ ist. Seien nun $n,m\geq N_{\epsilon }$. Damit ist

${\begin{aligned}|a-a_{n}|&<\epsilon \\|a-a_{m}|&<\epsilon \end{aligned}}$

Insgesamt erhalten wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgende Abschätzung für $|a_{n}-a_{m}|$:

${\begin{aligned}|a_{n}-a_{m}|&=|(a_{n}-a)+(a-a_{m})|\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Dreiecksungleichung: }}|x+y|\leq |x|+|y|\right.}\\[0.5em]&\leq \underbrace {|a_{n}-a|} _{<\ \epsilon }+\underbrace {|a-a_{m}|} _{<\ \epsilon }\\&<2\epsilon \end{aligned}}$

Folgenglieder nach $a_{N_{\epsilon }}$ müssen also alle untereinander einen Abstand kleiner als $2\epsilon$ besitzen. Dies kann auch aus folgender Überlegung gefolgert werden: Alle Folgenglieder nach $a_{N_{\epsilon }}$ müssen in der $\epsilon$-Umgebung $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ liegen:

Die Epsilon-Umgebung von a

Obige Epsilon-Umgebung besitzt die Breite $2\epsilon$. Da alle Folgenglieder nach $a_{N_{\epsilon }}$ in dieser Umgebung liegen, muss ihr Abstand untereinander kleiner als $2\epsilon$ sein. Insgesamt haben wir also für die konvergente Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ folgendes gezeigt:

$\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n,m\geq N:|a_{n}-a_{m}|<2\epsilon$

Diesen Ausdruck können wir nun schöner schreiben. Hierzu setzen wir ${\tilde {\epsilon }}=2\epsilon$. Wenn $\epsilon$ alle positiven Zahlen durchläuft, dann durchläuft auch ${\tilde {\epsilon }}$ alle positiven Zahlen. Die Abbildung $x\mapsto 2x$ bildet nämlich $\mathbb {R} ^{+}$ bijektiv auf $\mathbb {R} ^{+}$ ab (diese Abbildung nutzen wir, wenn wir ${\tilde {\epsilon }}=2\epsilon$ setzen). Damit ist

$\forall {\tilde {\epsilon }}>0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n,m\geq N:|a_{n}-a_{m}|<{\tilde {\epsilon }}$

Folgen mit dieser Eigenschaft werden Cauchy-Folgen genannt. Du siehst, dass diese Definition nicht auf den Grenzwert einer Folge zugreift. Später werden wir sehen, dass eine reelle Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. So kann man die Konvergenz einer Folge beweisen, ohne den Grenzwert kennen zu müssen.

Hinweis

In den folgenden Abschnitten werden wir auch bei Cauchy-Folgen wieder $\epsilon$ anstelle von ${\tilde {\epsilon }}$ nutzen.

Definition von Cauchy-Folgen

Einführung und Erklärung von Cauchy-Folgen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Fassen wir das bisher Hergeleitete zusammen:

Definition (Cauchy-Folge)

Eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine natürliche Zahl $N\in \mathbb {N}$ gibt, so dass $|a_{n}-a_{m}|<\epsilon$ für alle $n,m\geq N$ ist.

Intuitiv gesprochen ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Abstände der Folgenglieder untereinander beliebig klein werden. Beachte, dass hier mehr als nur der Abstand direkt benachbarter Folgenglieder gemeint ist. Zur Illustration:

• 
  Eine Cauchy-Folge: Der Abstand der Folgenglieder untereinander wird beliebig klein
• 
  Keine Cauchy-Folge: Der Abstand der Folgenglieder untereinander wird nicht beliebig klein

Beispiel (Eine Cauchy-Folge)

Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}={\tfrac {1}{n}}$ ist eine Cauchy-Folge. Dazu müssen wir zeigen, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt, so dass für alle $n,m\geq N$ gilt

$|a_{n}-a_{m}|=\left|{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}\right|=\left|{\frac {m-n}{nm}}\right|={\frac {|m-n|}{nm}}<\epsilon$

Nehmen wir nun $n>m$ an. Der Fall $n<m$ funktioniert analog, mit vertauschten Rollen von $n$ und $m$. Es gilt

$|a_{n}-a_{m}|={\frac {|m-n|}{nm}}<{\frac {n}{nm}}={\frac {1}{m}}$

Wählen wir nun $N$ so groß, dass $N>{\tfrac {1}{\epsilon }}$ ist (geht immer nach dem archimedischen Axiom). Dann gilt ${\tfrac {1}{N}}<\epsilon$ und damit auch ${\tfrac {1}{m}}<\epsilon$ für alle $m\geq N$. Insgesamt folgt nun für alle $n,m\in \mathbb {N}$ mit $n>m\geq N$:

$|a_{m}-a_{n}|={\frac {|m-n|}{mn}}<{\frac {1}{m}}\leq {\frac {1}{N}}<\epsilon$

Also ist $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

Beispiel (Keine Cauchy-Folge)

Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}=n$ ist hingegen keine Cauchy-Folge. Zu jedem $\epsilon >0$ und $N\in \mathbb {N}$ können wir $n,m\geq N$ so weit auseinander wählen, dass $|a_{n}-a_{m}|\geq \epsilon$ ist. Wählen wir beispielsweise $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}$ und nehmen ein beliebiges $N\in \mathbb {N}$. Nun können wir $n=N+1$ und $m=N+2$ definieren. Es ist $n,m\geq N$ und

$|a_{m}-a_{n}|=|m-n|=|N+2-(N+1)|=1\geq {\tfrac {1}{2}}=\epsilon$

Damit erfüllt $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nicht die Cauchy-Definition für $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}$ und ist somit keine Cauchy-Folge.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge

Wir haben die Definition der Cauchy-Folge als Alternative zur Konvergenzdefinition hergeleitet. In den folgenden Abschnitten werden wir beweisen, dass bei reellwertigen Folgen jede Cauchy-Folge konvergiert und umgekehrt. Beginnen wir mit dem Beweis, dass konvergente Folgen Cauchy-Folgen sind:

Satz

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Wie kommt man auf den Beweis?

In der Einleitung haben wir eigentlich schon den Beweis für den Satz aufgeschrieben. Hier haben wir nämlich ausgehend von der Epsilon-Definition der Konvergenz die Definition einer Cauchy-Folge hergeleitet. Um den Beweis schöner zu schreiben, sollten wir aber nicht den Umweg über die neue Variable ${\tilde {\epsilon }}=2\epsilon$ gehen. Hierzu müssen wir einfach $|a_{n}-a|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$ und $|a_{m}-a|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$ fordern, damit am Ende der Abschätzung $\epsilon$ und nicht $2\epsilon$ rauskommt.

Beweis

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige konvergente Folge mit dem Grenzwert $a$. Sei $\epsilon >0$. Es gibt dann ein $N\in \mathbb {N}$, so dass für alle $n,m\in \mathbb {N}$ mit $n,m\geq N$

${\begin{aligned}|a-a_{n}|&<{\tfrac {\epsilon }{2}}\\|a-a_{m}|&<{\tfrac {\epsilon }{2}}\end{aligned}}$

gilt. Seien $n,m\geq N$ nun beliebig. Es ist

${\begin{aligned}|a_{n}-a_{m}|&=|(a_{n}-a)+(a-a_{m})|\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Dreiecksungleichung: }}|x+y|\leq |x|+|y|\right.}\\[0.5em]&\leq \underbrace {|a_{n}-a|} _{<\ {\tfrac {\epsilon }{2}}}+\underbrace {|a-a_{m}|} _{<\ {\tfrac {\epsilon }{2}}}<\epsilon \end{aligned}}$

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt

Genau wie bei konvergenten Folgen können wir folgenden Satz beweisen:

Satz (Cauchy-Folgen sind beschränkt)

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.

Dieser Satz verwundert nicht. Wir haben Cauchy-Folgen eingeführt, um mit ihnen die Konvergenz einer Folge zeigen zu können. Jede Cauchy-Folge soll nämlich konvergieren (wir werden sehen, dass dies für reelle Folgen tatsächlich gilt) und konvergente Folgen sind bekanntlich beschränkt. Der Beweis zum obigen Satz ist ähnlich wie der entsprechende Beweis bei konvergenten Folgen:

Beweis (Cauchy-Folgen sind beschränkt)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge. Wir wissen, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt, so dass $|a_{n}-a_{m}|<\epsilon$ für alle $n,m\geq N$ ist. Setzen wir wie beim Beschränktheitsbeweis konvergenter Folgen $\epsilon =1$. Wir erhalten ein $N\in \mathbb {N}$ mit $|a_{n}-a_{m}|<1$ für alle $n,m\geq N$. Setzen wir $m=N$, dann ist

$|a_{n}-a_{N}|<1$

für alle $n\geq N$. Damit liegen alle Folgenglieder $a_{n}$ für $n\geq N$ im Intervall $(a_{N}-1,a_{N}+1)$. Somit sind alle Folgenglieder ab dem Index $N$ nach oben durch $a_{N}+1$ und nach unten durch $a_{N}-1$ beschränkt:

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1},\,{\color {OliveGreen}\underbrace {a_{N},\,a_{N+1},\,a_{N+2},\,a_{N+3},\,\ldots } _{{\text{Diese Folgenglieder sind }}\leq a_{N}+1{\text{ und }}\geq a_{N}-1}})$

Vor $a_{N}$ liegen nur endlich viele Folgenglieder $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}$. Diese sind deswegen zwangsweise beschränkt. So sind sie nach oben durch $S=\max\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}\}$ und nach unten durch $s=\min\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}\}$ beschränkt. Wir haben:

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=({\color {Blue}\underbrace {a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}} _{{\text{Diese Folgenglieder sind }}\leq S{\text{ und }}\geq s}},{\color {OliveGreen}\underbrace {a_{N},\,a_{N+1},\,a_{N+2},\,a_{N+3},\,\ldots } _{{\text{Diese Folgenglieder sind }}\leq a_{N}+1{\text{ und }}\geq a_{N}-1}})$

Insgesamt ist die Folge damit nach oben durch $\max\{S,a_{N}+1\}$ und nach unten durch $\min\{s,a_{N}-1\}$ beschränkt.

Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren

Es folgt nun ein (Hilfs-)Satz, den wir später benötigen werden, um die Konvergenz einer (reellwertigen) Cauchy-Folge zu beweisen:

Satz (Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren)

Jede Cauchy-Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, die eine gegen $a$ konvergente Teilfolge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ besitzt, konvergiert gegen den Grenzwert $a$ der konvergenten Teilfolge.

Wie kommt man auf den Beweis? (Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Teilfolge der Cauchy-Folge mit dem Grenzwert $a$. Für die Cauchy-Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ wissen wir aus der Definition, dass die Folgenglieder beliebig nah beieinander liegen. Außerdem wissen wir für die konvergente Teilfolge, dass ihre Folgenglieder beliebig nah an $a$ liegen. Diese beiden Eigenschaften müssen wir nun zu einem Beweis kombinieren.

Sei also $\epsilon >0$. Wir müssen nun ein $N\in \mathbb {N}$ finden, so dass $|a_{n}-a|<\epsilon$ für alle $n\geq N$ ist. Beginnen wir mit der Ungleichung

$|a_{n}-a|<\epsilon$

Wenn das Folgenglied $a_{n}$ in der Teilfolge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ liegt, ist obige Abschätzung kein Problem, da wir hier wissen, dass diese Ungleichung für ausreichend große Indizes erfüllt ist. Herausfordernd ist der Fall, dass $a_{n}$ kein Glied der Teilfolge ist. Aus der Cauchy-Eigenschaft folgt aber, dass es in einer beliebigen Umgebung von $a_{n}$ Glieder der Teilfolge geben muss und diese liegen bekanntlich beliebig nahe an dem Grenzwert. Wir können also den Abstand $|a_{n}-a|$ über den Umweg des Teilfolgenglieds abschätzen. Dies können wir durch die Dreiecksungleichung erreichen:

${\begin{aligned}|a_{n}-a|&=\left|a_{n}-a_{n_{k}}+a_{n_{k}}-a\right|\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Dreiecksungleichung}}\right.}\\[0.5em]&\leq \left|a_{n}-a_{n_{k}}\right|+\left|a_{n_{k}}-a\right|\end{aligned}}$

Beide Beträge können wir beliebig klein machen. Wenn beide Beträge kleiner als ${\tfrac {\epsilon }{2}}$ sind, dann ist $|a_{n}-a|$ garantiert kleiner als $\epsilon$. Beginnen wir zunächst mit $\left|a_{n_{k}}-a\right|$. Hier finden wir ein $N_{1}$ mit $\left|a_{n_{k}}-a\right|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$ für alle $k\geq N_{1}$. Die Zahl $N_{1}$ existiert, weil die Teilfolge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergiert.

Nun zum zweiten Betrag: Es gibt ein $N_{2}$ mit $|a_{n}-a_{m}|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$ für alle $n,m\geq N_{2}$. Anstelle von $a_{m}$ haben wir $a_{n_{k}}$. Wir müssen also garantieren, dass $n_{k}\geq N_{2}$ ist. Generell ist $n_{k}\geq k$, da $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine steigende Folge natürlicher Zahlen ist. Damit können wir $k\geq N_{2}$ wählen, weil dann $n_{k}\geq k\geq N_{2}$ ist. Da aber $k$ auch größer als $N_{1}$ sein sollte, wählen wir ein $k\geq \max\{N_{2},N_{1}\}$. Beachte, dass es egal ist, welches $k\geq \max\{N_{2},N_{1}\}$ wir hier wählen.

Die Variable $n$ trat bisher nur im Term $|a_{n}-a_{m}|$ auf. Hier hatten wir gefordert, dass $n,m\geq N_{2}$ ist. Dementsprechend haben wir für $n$ die einzige Anforderung, dass es größer gleich $N_{2}$ sein muss. Also wählen wir im Konvergenzbeweis $N=N_{2}$.

Beweis (Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Teilfolge der Cauchy-Folge mit dem Grenzwert $a$. Sei $\epsilon >0$ beliebig. Aus der Cauchy-Eigenschaft folgt, dass es ein $N\in \mathbb {N}$ mit $|a_{n}-a_{m}|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$ für alle $n,m\geq N$ gibt. Außerdem gibt es ein ${\tilde {N}}\in \mathbb {N}$ mit $\left|a_{n_{k}}-a\right|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$ für alle $k\geq {\tilde {N}}$. Sei ${\tilde {k}}$ eine beliebige natürliche Zahl mit ${\tilde {k}}\geq \max\{N,{\tilde {N}}\}$. Sei $n\geq N$ beliebig. Es ist

${\begin{aligned}|a_{n}-a|&=\left|a_{n}-a_{n_{\tilde {k}}}+a_{n_{\tilde {k}}}-a\right|\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Dreiecksungleichung}}\right.}\\[0.5em]&\leq \left|a_{n}-a_{n_{\tilde {k}}}\right|+\left|a_{n_{\tilde {k}}}-a\right|\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \left|a_{n_{\tilde {k}}}-a\right|<{\tfrac {\epsilon }{2}}\right.}\\[0.5em]&<\left|a_{n}-a_{n_{\tilde {k}}}\right|+{\tfrac {\epsilon }{2}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ n_{\tilde {k}}\geq {\tilde {k}}\geq N\Rightarrow \left|a_{n}-a_{n_{\tilde {k}}}\right|<{\tfrac {\epsilon }{2}}\right.}\\[0.5em]&<{\tfrac {\epsilon }{2}}+{\tfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon \end{aligned}}$

Jede Cauchy-Folge konvergiert

Erklärung zur Konvergenz von Cauchy-Folgen (Lernvideo vom Kanal MJ Education).

Kommen wir nun zum eigentlichen Grund, warum es sich lohnt, Cauchy-Folgen zu studieren. Wir können nämlich zeigen, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Es gilt der Satz:

Satz (Cauchy-Folgen konvergieren)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge reeller Zahlen. Dann gibt es eine reelle Zahl $a$, gegen die $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert.

Weil in der Definition einer Folge ihr Grenzwert keine Rolle spielt, können wir mit dem obigen Satz die Konvergenz einer Folge nachweisen, ohne deren Grenzwert kennen zu müssen. Dies ist insbesondere in Beweisen hilfreich, bei denen die zu betrachtende Folge so allgemein ist, dass wir ihren Grenzwert nicht kennen können.

Bevor wir uns mit dem Beweis beschäftigen, möchten wir dir noch zeigen, wie wichtig die Grundmenge ist. Nehme hierzu von ${\sqrt {2}}=1{,}414213562\ldots$ die Folge der endlichen Dezimalbrüche:

${\begin{aligned}x_{1}&=1\\x_{2}&=1{,}4\\x_{3}&=1{,}41\\&\vdots \end{aligned}}$

Diese Folge konvergiert gegen ${\sqrt {2}}$ und ist damit nach dem Satz aus dem vorherigem Abschnitt eine Cauchy-Folge. Gehen wir nun davon aus, dass unsere Grundmenge $\mathbb {Q}$ und nicht $\mathbb {R}$ ist. Wir gehen also davon aus, dass es nur rationale Zahlen gibt. Obige Folge besteht nur aus rationalen Zahlen und ist damit eine valide Folge in unserer neuen Grundmenge. Sie ist auch in der neuen Grundmenge eine Cauchy-Folge (der Abstand der Folgenglieder untereinander hat sich beim Ändern der Grundmenge nicht geändert). Jedoch konvergiert obige Folge nicht mehr. Beim Ändern der Grundmenge haben wir nämlich den Grenzwert der Folge ${\sqrt {2}}$ entfernt, weil dieser Grenzwert irrational ist. In unserer neuen Grundmenge $\mathbb {Q}$ gibt es keine Zahl, gegen die die Folge konvergiert. Durch das Ändern der Grundmenge wurde die Folge damit divergent.

Wir sehen, wie wichtig die Grundmenge für den obigen Satz ist. Wir sehen auch, dass wir im Beweis die Vollständigkeit von $\mathbb {R}$ benutzen müssen, denn das Vollständigkeitsaxiom ist das einzige Axiom, was $\mathbb {R}$ von $\mathbb {Q}$ unterscheidet. Wenn wir die Vollständigkeit nicht benutzen würden, dann müsste der Satz auch in $\mathbb {Q}$ gelten, was er ja nicht tut. Das Vollständigkeitsaxiom werden wir in Form des Satzes von Bolzano-Weierstraß verwenden. In dem Beweis dieses Satzes hatten wir das Vollständigkeitsaxiom bereits verwendet.

Beweis (Cauchy-Folgen konvergieren)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchyfolge. Wir hatten in diesem Kapitel bereits bewiesen, dass diese Folge beschränkt ist. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß muss damit $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Teilfolge besitzen. Eine Cauchyfolge mit einer konvergenten Teilfolge konvergiert nach dem obigen Satz.