Aufgabe (Häufungspunkte)
Bestimme alle Häufungspunkte der Folgen mit und .
Aufgabe (Lim inf und Lim sup)
Bestimme für die Folgen mit und den Limes inferior und den Limes superior.
Lösung (Lim inf und Lim sup)
- Zunächst gilt , da ist. Also ist nach unten beschränkt. ist daher gleich dem kleinsten Häufungswert von . Für die Teilfolge gilt
Also ist ein Häufungspunkt von . Weitere Häufungspunkte hat die Folge nicht, da alle weiteren Teilfolgen ebenfalls gegen konvergieren oder divergent sind. Somit ist .
Alternative Lösung: Für gilt , da die ungeraden Folgenglieder monoton gegen fallen. Daher ist
Für gilt
Nach einer Folgerung zum Archimedischen Axiom gibt es zu jedem ein mit . Also ist nach oben unbeschränkt, und daher .
- Für die Folge gilt
Also besitzt die Häufungspunkte und . Weitere Häufungspunkte besitzt nicht. Außerdem ist beschränkt, da alle Teilfolgen beschränkt sind. Insgesamt erhalten wir und .
Lösung (Lim inf und Lim sup 2)
-
Sei eine positive Folge mit
Wir müssen die folgende Ungleichung zeigen:
Sei ohne Einschränkung und . Da nach Definition der kleinste und der größte Häufungswert der Folge , gibt es zu jedem () ein mit
Für ein beliebiges mit folgt nun durch -maliges Anwenden der Ungleichung für :
Der Ausdruck in der Mitte ist nun ein Teleskopprodukt, bei dem nur der Nenner des ersten Faktors und der Zähler des letzten Faktors stehenbleiben. Alle anderen Terme kürzen sich gegenseitig weg:
Multiplizieren wir diese Ungleichung mit durch und ziehen anschließend die -te Wurzel, so erhalten wir
Für konvergiert die linke Seite gegen und die
rechte Seite gegen , wegen . Daher ist
und
Da beliebig klein gewählt werden kann, folgt
und
Da die Ungleichung immer per Definition gilt, folgt die Behauptung.
-
- Zunächst gilt für alle : , da Zähler und Nenner immer positiv sind. Also ist die Quotientenfolge nach unten durch null beschränkt. Ist nun ungerade und damit gerade, so folgt
für
Also gibt es eine Teilfolge der Quotientenfolge, die gegen null konvergiert, und somit ist
- Ist umgekehrt gerade und damit ungerade, so folgt
für
Also ist die Quotientenfolge nach oben unbeschränkt, und somit ist
- Ist ungerade, so folgt
und ebenso folgt für gerade
Also hat die Wurzelfolge die Häufungspunkte und , und damit gilt
und
-
Wegen gilt auch
Wegen der Ungleichung aus 1. und dem Der Sandwichsatz folgt
Daraus ergibt sich .
-
1. Grenzwert: Setzen wir , so gilt
Aus Teil 3. folgt .
2. Grenzwert: Hier setzen wir . Damit gilt
Erneut mit Teil 3. folgt .
3. Grenzwert: Hier setzen wir schließlich . Damit gilt
Wieder mit Teil 3. folgt .
Hinweis
In diesem Beispiel aus Teil 2 gilt die Ungleichung aus Teil 1 in der 'scharfen' Variante:
Hinweis
Durch Übergang zum Kehrwert erhält man aus den Grenzwerten aus Teil 4 ebenso die Grenzwerte: