Endomorphismus, Automorphismus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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EndomorphismusBearbeiten

To-Do:

genau erklären, warum Endomorphismen wichtig sind und was ds besondere an ihnen ist

Definition (Endomorphismus)

Ein Endomorphismus ist ein  -Vektorraumhomomorphismus   von einem  -Vektorraum   auf sich selbst, d.h.  .

Beispiele für Vektorraum-EndomorphismusBearbeiten

Beispiel (Endomorphismus)

Die Abbildung   ist ein Endomorphismus.

Anschauung: Endomorphismen skalieren den RaumBearbeiten

To-Do:

Anschauung erklären, dass lineare Abbildungen den Raum skalieren. Dies sieht man daran, dass jedes Gitter durch eine lineare Abbildung skaliert wird.

AutomorphismusBearbeiten

Definition (Automorphismus)

Ein Automorphismus ist ein bijektiver Endomorphismus, also insbesondere ein Isomorphismus.

Beispiele für Vektorraum-AutomorphismenBearbeiten

To-Do:

Linearität nachrechnen, wer es für nötig hält.

Aufgabe (Automorphismus)

Zeige, dass die Abbildung   ein Automorphismus ist.

Lösung (Automorphismus)

Linearität lässt sich leicht nachrechnen. Da Definitions- und Zielbereich gleich sind, ist   also ein Endomorphismus.

Wir wollen nun zeigen, dass   bijektiv ist. Dazu müssen wir zeigen, dass   injektiv und surjektiv ist.

Wir beginnen mit der Injektivität. Seien   und   mit  . Dann gilt für  , dass  , also   und somit  . Dies zeigt die Injektivität.

Nun zeigen wir die Surjektivität. Sei dazu  . Definiere  . Dann gilt  . Also ist   surjektiv.

Wir haben also gezeigt, dass   ein Automorphismus ist.

Endomorphismenring und AutomorphismengruppeBearbeiten

Satz (Endomorphismenring)

Sei   ein Körper,   ein  -Vektorraum. Die Menge   ist ein Ring mit der Addition   und Multiplikation  .

Beweis (Endomorphismenring)

To-Do:

Beweis

Satz (Die (Nicht-)Kommutativität des Endomorphismenringes)

Sei   ein Körper und   ein  -Vektorraum. Dann ist   genau dann kommutativ, wenn  .

Beweis (Die (Nicht-)Kommutativität des Endomorphismenringes)

To-Do:

beweis

Satz (Automorphismengruppe)

Sei   ein Körper,   ein  -Vektorraum. Die Menge   bildet eine Gruppe bezüglich der Komposition  .

Es gilt zudem  .

Beweis (Automorphismengruppe)

To-Do:

Beweis