Lineare Abbildungen, Homomorphismus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Lineare Abbildungen sind spezielle Abbildungen zwischen Vektorräumen, die sich gut mit der Vektorraumstruktur vertragen. Sie sind eines der wichtigsten Konzepte der linearen Algebra und haben zahlreiche Anwendungen.

Motivation

Die Besonderheit linearer Abbildungen

Wir haben die Struktur der Vektorräume kennengelernt und verschiedene Eigenschaften von ihnen untersucht. Nun wollen wir Vektorräume nicht nur isoliert voneinander betrachten, sondern auch Abbildungen zwischen ihnen. Manche dieser Abbildungen vertragen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur und werden deswegen lineare Abbildungen oder Vektorraumhomomorphismen genannt.

Dass wir solche strukturerhaltenden Abbildungen untersuchen, ist eine typische Vorgehensweise der Algebra. Für viele algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper untersucht die Algebra die dazugehörigen strukturerhaltenden Abbildungen zwischen den jeweiligen algebraischen Strukturen – Gruppenhomomorphismen, Ringhomomorphismen und Körperhomomorphismus. Bei Vektorräumen sind die strukturerhaltenden Abbildungen die linearen Abbildungen bzw. die Vektorraumhomomorphismen.

Seien also $V$ und $W$ zwei Vektorräume. Wann ist eine Abbildung $f:V\to W$ strukturerhaltend bzw. verträgt sich gut mit den zugrundeliegenden Vektorraumstrukturen in $V$ und $W$? Wiederholen wir hierzu, was die Vektorraumstruktur ausmacht: Vektorräume sind Strukturen, in denen zwei Operationen möglich sind:

• Addition von Vektoren: Zwei Vektoren können miteinander addiert werden, wobei die Addition der Addition von Zahlen in ihren Eigenschaften ähnelt.
• Skalare Multiplikation: Vektoren mit einem Skalierungsfaktor aus einem Körper skaliert (gestaucht, gestreckt oder gespiegelt) werden.

Verträglichkeit der Addition

Beginnen wir mit der Addition von Vektoren: Wann verträgt sich eine Funktion $f:V\to W$ mit den Additionen $+_{_{V}}$ und $+_{_{W}}$ auf den jeweiligen Vektorräumen $V$ und $W$? Hier kann man folgende Hypothese aufstellen:

Eine Abbildung ist verträglich mit der Addition, wenn eine Summe durch die Abbildung erhalten bleibt. Wenn also $v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ im Vektorraum $V$ eine Summe ist, so bilden auch die Bilder von $v_{1}$, $v_{2}$ und $v_{3}$ im Vektorraum $W$ eine entsprechende Summe: $f(v_{3})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$

Eine mit der Addition verträgliche Abbildung erfüllt somit für alle $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ die Implikation:

$v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}\implies f(v_{3})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$

Diese Implikation kann in einer Gleichung zusammengefasst werden, indem die Prämisse $v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ in die zweite Gleichung eingsetzt wird. Es soll also für alle $v_{1},v_{2}\in V$ gelten:

$f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$

Diese Gleichung beschreibt die charakteristische Eigenschaft der linearen Abbildung, verträglich zur Vektoraddition zu sein. Wir können sie auch gut für Abbildungen $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ visualisieren. Eine Abbildung verträgt sich genau dann mit der Addition, wenn das durch die Vektoren $v_{1}$, $v_{2}$ und $v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ gegebene Dreieck im Definitionsbereich durch die Abbildung erhalten bleibt. Sprich: Auch die drei Vektoren $f(v_{1})$, $f(v_{2})$ und $f(v_{3})=f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})$ bilden ein (Additions-)Dreieck:

Abbildungen sind verträglich mit der Addition, wenn sie Dreiecke durch sie erhalten bleiben

Wenn $f$ sich nicht mit der Addition verträgt, gibt es Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ mit $f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})\neq f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$. Das durch $v_{1}$, $v_{2}$ und $v_{3}=v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ erzeugte Dreieck bleibt dann nicht erhalten, weil die Dreiecksseite $v_{1}+_{_{V}}v_{2}$ des Ausgangsdreiecks nicht auf die Dreiecksseite $f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$ des Zieldreiecks abgebildet wird:

Sind Abbildungen nicht verträglich mit der Addition, so bleibt mindestens ein Dreieck durch die Abbildung nicht erhalten.

Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation

Analog können wir uns überlegen, dass eine Abbildung $f:V\to W$ genau dann verträglich mit der skalaren Multiplikation, wenn diese durch die Abbildung erhalten bleibt. Es sollte also für alle $w,v\in V$ und für alle Skalare $\lambda \in K$ gelten:

$w=\lambda \cdot _{_{V}}v\implies f(w)=\lambda \cdot _{_{W}}f(v)$

Beachte, dass $\lambda$ ein Skalar und kein Vektor ist und damit nicht durch die betrachtete Funktion veändert wird. Damit wir in der obigen Implikation denselben Skalar verwenden können, müssen beide Vektorräume denselben zugrundeliegenden Körper haben. Sowohl der Definitionsbereich $V$ als auch der Wertebereich $W$ muss ein $K$-Vektorraum sein.

Lineare Abbildungen erhalten also Skalierungen. Aus $w=\lambda v$ folgt $f(w)=\lambda f(v)$. Für den Fall, dass $f(v)\neq 0$ ist, werden Geraden der Form $\{\lambda v:\lambda \in \mathbb {R} \}$ auf die Gerade $\{\lambda f(v):\lambda \in \mathbb {R} \}$ abgebildet. Obige Implikation kann in eine Gleichung zusammengefasst werden. Es soll also für alle $v\in V$ und $\lambda \in K$ gelten:

$f(\lambda \cdot _{_{V}}v)=\lambda \cdot _{_{W}}f(v)$

Für Abbildungen $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ bedeutet dies, dass ein skalierter Vektoren $\lambda \cdot _{_{V}}v$ auf die entsprechende Skalierung $\lambda \cdot _{_{W}}f(w)$ des Bildvektors abgebildet wird:

Lineare Abbildungen erhalten Skalierungen.

Wenn eine Abbildung nicht verträglich zur skalaren Multiplikation ist, so gibt es einen Vektor $v$ und einen Skalierungsfaktor $\lambda$, so dass $f(\lambda \cdot _{_{V}}v)\neq \lambda \cdot _{_{W}}f(v)$ ist:

Abbildung bei der eine Skalierung nicht erhalten bleibt. Eine solche Abbildung ist keine lineare Abbildung.

Zusammenfassung

Eine lineare Abbildung ist eine spezielle Abbildung zwischen Vektorräumen, die sich mit der Struktur der zugrundeliegenden Vektorräumen verträgt. Dies bedeutet insbesondere, dass eine lineare Abbildung $f:V\to W$ die beiden folgenden charakteristischen Eigenschaften besitzt:

• Verträglichkeit mit der Addition: $\forall v_{1},v_{2}\in V:\,f(v_{1}+_{_{V}}v_{2})=f(v_{1})+_{_{W}}f(v_{2})$
• Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation: $\forall v\in V,\lambda \in K:\,f(\lambda \cdot _{_{V}}v)=\lambda \cdot _{_{W}}f(v)$

Die Verträglichkeit mit der Addition nennt man Additivität und die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation wird Homogenität genannt.

Definition

Definition (Lineare Abbildung)

Seien $\color {Orange}V$ und $\color {Purple}W$ Vektorräume über demselben Körper $K$. Dabei seien ${\color {Orange}+_{{}_{V}}}\colon {\color {Orange}V}\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}+_{{}_{W}}}\colon {\color {Purple}W}\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die jeweiligen inneren Verknüpfungen. Weiter seien ${\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}\colon K\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}\colon K\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die skalaren Multiplikationen.

Nun sei $f\colon {\color {Orange}V}\to {\color {Purple}W}$ eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen. Wir nennen $f$ eine lineare Abbildung von ${\color {Orange}V}$ nach ${\color {Purple}W}$, wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

1. Additivität: Für alle $v_{1},v_{2}\in V$ gilt, dass
   $f\left(v_{1}{\color {Orange}+_{{}_{V}}}v_{2}\right)=f(v_{1}){\color {Purple}+_{{}_{W}}}f(v_{2})$
2. Homogenität: Für alle $v\in V$ und $\lambda \in K$ gilt, dass
   $f(\lambda {\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}v)=\lambda {\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}f(v)$

Hinweis

Wenn es aus dem Kontext klar ist, schreiben wir zukünftig auch einfach „$+$“ anstatt ${\color {Orange}+_{{}_{V}}}$ und ${\color {Purple}+_{{}_{W}}}$. Ebenso wird häufig „$\cdot$“ anstelle von ${\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}$ und ${\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}$ verwendet. Manchmal wird der Punkt für die skalare Multiplikation auch ganz weggelassen.

Hinweis

In der Literatur wird für den Begriff lineare Abbildung auch der Begriff Vektorraumhomomorphismus oder kurz Homomorphismus genutzt. Das altgriechische Wort homós steht für „gleich“, morphé steht für „Form“. Wörtlich übersetzt ist ein Vektorraumhomomorphismus also eine Abbildung zwischen Vektorräumen, welche die „Form“ der Vektorräume gleich lässt.

Erklärung zur Definition

Die charakteristischen Gleichungen der linearen Abbildung sind $f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})$ und $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$. Was bedeuten diese beiden Eigenschaften intuitiv? Nach der Additivitätseigenschaft ist es egal, ob man $v_{1}$ und $v_{2}$ zuerst addiert und dann abbildet oder ob man beide Vektoren erst abbildet und dann addiert. Beide Wege führen zum selben Ergebnis:

${\color {OliveGreen}\underbrace {f({\color {Blue}\underbrace {v_{1}+v_{2}} _{\text{Addition}}})} _{\text{Funktionsabbildung }}}={\color {Blue}\underbrace {{\color {OliveGreen}\underbrace {f(v_{1})} _{\text{Funktionsabbildung}}}+{\color {OliveGreen}\underbrace {f(v_{2})} _{\text{Funktionsabbildung}}}} _{\text{Addition}}}$

Was besagt die Homogenitätseigenschaft? Unabhängig davon ob man zuerst $v$ mit $\lambda$ multipliziert und dann abbildet oder den Vektor erst abbildet und dann mit $\lambda$ multipliziert, ist das Ergebnis das Gleiche:

${\color {OliveGreen}\underbrace {f({\color {Blue}\underbrace {\lambda \cdot v} _{\begin{array}{c}{\text{skalare Multiplikation}}\end{array}}})} _{\begin{array}{c}{\text{Funktionsabbildung }}\end{array}}}={\color {Blue}\underbrace {\lambda \cdot {\color {OliveGreen}\underbrace {f(v)} _{\text{Funktionsabbildung}}}} _{\text{skalare Multiplikation}}}$

Die charakteristischen Eigenschaften der linearen Abbildungen verdeutlichen also, dass die Reihenfolge der Funktionsabbildung und der Vektorraumoperationen egal ist.

Charakterisierung: Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet

Neben der definierenden Eigenschaft, dass lineare Abbildungen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur vertragen, können lineare Abbildungen auch über folgende Eigenschaft charakterisiert werden:

Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.

Dies ist eine wichtige Eigenschaft, weil über Linearkombinationen wichtige Struktureigenschaften von Vektoren wie die lineare Unabhängigkeit oder das Erzeugendensystemen definiert werden. Auch die Definition der Basis gründet sich auf den Begriff der Linearkombination. Den Zusammenhang zu den Linearkombinationen erkennt man, wenn man sich die beiden charakteristischen Gleichungen linearer Abbildungen anschaut:

${\begin{aligned}f(v_{1}+v_{2})&=f(v_{1})+f(v_{2})\\[0.5em]f(\lambda \cdot v)&=\lambda \cdot f(v)\end{aligned}}$

Wir können auf eine Linearkombination wie $3\cdot u+5\cdot w-2\cdot z$ für Vektoren $u,w$ und $z$ aus $V$ die beiden obigen Formeln schrittweise anwenden. So können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:

${\begin{aligned}&f(3\cdot u+5\cdot w-2\cdot z)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f(3\cdot u)+f(5\cdot w-2\cdot z)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f(3\cdot u)+f(5\cdot w)+f(-2\cdot z)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&3\cdot f(u)+5\cdot f(w)-2\cdot f(z)\end{aligned}}$

Die Linearkombination $3\cdot u+5\cdot w-2\cdot z$ wird durch $f$ auf $3\cdot f(u)+5\cdot f(w)-2\cdot f(z)$ abgebildet und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhält es sich bei anderen Linearkombinationen. Denn durch die Eigenschaft $f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})$ sind Summen und durch die Eigenschaft $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$ sind skalare Multiplikationen herausziehbar. Wir erhalten damit folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:

Satz (Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet)

Eine Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele $v_{1},\dots ,v_{n}\in V$ und $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K$ gilt:

$f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

Wie kommt man auf den Beweis? (Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet)

Wir wollen zeigen, dass für alle $v_{i}\in V$ und $\lambda _{i}\in K$ gilt: $f{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{V}v_{i}{\bigg )}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{W}f(v_{i})\iff f$ ist eine lineare Abbildung.

Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zu Nutze machen.

Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch Einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

Für die Rückrichtung wissen wir, dass $f$ eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollständige Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt. Dabei reduzieren wir die Linearkombination auf einzelne Additionen und Skalarmultiplikationen, auf die wir die Additivität und Homogenität anwenden können.

Beweis (Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet)

Beweisschritt: $\left(\forall v_{1},\dots ,v_{n}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)\right)\implies f$ ist eine lineare Abbildung.

Seien $v,v_{1},v_{2}\in V$ und $\lambda \in K$. Die beiden Terme $v_{1}+v_{2}$ und $\lambda \cdot v$ sind zwei Linearkombinationen in $V$. Wenn wir diese in die Formel ${\textstyle f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)}$ einsetzen, so erhalten wir

${\begin{aligned}f(v_{1}+v_{2})&=f(v_{1})+f(v_{2})\\[0.5em]f(\lambda \cdot v)&=\lambda \cdot f(v)\end{aligned}}$

Damit erfüllt $f$ die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt: $f$ ist eine lineare Abbildung $\implies \left(\forall v_{1},\dots ,v_{n}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)\right)$.

Sei $f$ eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über $n$:

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N}$ bewiesen werden soll:

$\forall v_{1},\dots ,v_{n}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

1. Induktionsanfang:

Wir fangen die Induktion bei $n=1$ an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

${\begin{aligned}&f\left(\lambda _{1}\cdot _{{}_{V}}v_{1}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&\lambda _{1}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{1}\right)\end{aligned}}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\forall v_{1},\dots ,v_{n}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

2b. Induktionsbehauptung:

$\forall v_{1},\dots ,v_{n},v_{n+1}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},\lambda _{n+1}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Seien $v_{1},\dots ,v_{n+1}\in V$ und $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n+1}\in K$. Dann

${\begin{aligned}&f\left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Summe aufteilen}}\right.}\\[0.3em]=&f\left(\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)+_{{}_{V}}\left(\lambda _{n+1}\cdot _{{}_{V}}v_{n+1}\right)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)+_{{}_{W}}f\left(\lambda _{n+1}\cdot _{{}_{V}}v_{n+1}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)+_{{}_{W}}\left(\lambda _{n+1}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{n+1}\right)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsannahme}}\right.}\\[0.3em]=&\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)\right)+_{{}_{W}}\left(\lambda _{n+1}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{n+1}\right)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Summe zusammenfassen}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)\end{aligned}}$

Beispiele

Streckung in $x$-Richtung

Unser erstes Beispiel ist die Streckung um den Faktor $\beta$ in $x$-Richtung in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Dabei wird jeder Vektor $a=(a_{x},a_{y})^{T}\in \mathbb {R} ^{2}$ abgebildet auf $f(a)=(\beta a_{x},a_{y})^{T}$. Die folgende Grafik zeigt diese Abbildung für $\beta =2$. Die $y$-Koordinate bleibt dabei gleich und die $x$-Koordinate wird verdoppelt:

Streckung eines Vektors

Schauen wir uns nun an, ob diese Abbildung verträglich mit der Addition ist. Nehmen wir also zwei Vektoren $a$ und $b$, bilden die Summe $a+b$ und strecken diese dann in $x$-Richtung. Das Ergebnis ist dasselbe, als wenn wir beide Vektoren zuerst in $x$-Richtung strecken und dann addieren:

Streckung der Summe zweier Vektoren

Das lässt sich auch mathematisch zeigen. Unsere Abbildung ist die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\ f(\left(x,y)^{T}\right)=(\beta x,y)^{T}$. Wir können nun die Eigenschaft $f(a+b)=f(a)+f(b)$ nachprüfen:

${\begin{aligned}f(a+b)&=f\left({\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{pmatrix}}\right)\\[0.5em]&=f\left({\begin{pmatrix}a_{x}+b_{x}\\a_{y}+b_{y}\end{pmatrix}}\right)\\[0.5em]&={\begin{pmatrix}\beta (a_{x}+b_{x})\\a_{y}+b_{y}\end{pmatrix}}\\[0.5em]&={\begin{pmatrix}\beta a_{x}+\beta b_{x}\\a_{y}+b_{y}\end{pmatrix}}\\[0.5em]&={\begin{pmatrix}\beta a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\beta b_{x}\\b_{y}\end{pmatrix}}\\[0.5em]&=f\left({\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}\right)+f\left({\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{pmatrix}}\right)\\[0.5em]&=f(a)+f(b)\\[1em]\end{aligned}}$

Schauen wir uns nun die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation an. Die folgende Grafik zeigt, dass es egal ist, ob der Vektor $a$ zuerst mit einem Faktor $\lambda$ skaliert und dann in $x$-Richtung gestreckt wird oder zuerst in $x$-Richtung gestreckt und dann mit $\lambda$ skaliert wird:

Streckung und Skalierung eines Vektors

Auch das lässt sich formal zeigen: Für $a\in \mathbb {R} ^{2}$ und $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt

${\begin{aligned}f(\lambda a)&=f\left(\lambda {\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}\lambda a_{x}\\\lambda a_{y}\end{pmatrix}}\right)\\[0.5em]&={\begin{pmatrix}\beta (\lambda a_{x})\\\lambda a_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda \beta a_{x}\\\lambda a_{y}\end{pmatrix}}\\[0.5em]&=\lambda {\begin{pmatrix}\beta a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}=\lambda f\left({\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}\right)\\[0.5em]&=\lambda f(a).\end{aligned}}$

Damit ist unser $f$ eine lineare Abbildung.

Drehungen

Im Folgenden betrachten wir eine Drehung $D_{\alpha }$ der Ebene um den Winkel $\alpha$ (gegen den Uhrzeigersinn gemessen) mit dem Ursprung als Drehzentrum. Es handelt sich dabei also um eine Abbildung $D_{\alpha }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, die jedem Vektor $v\in \mathbb {R} ^{2}$ den um den Winkel $\alpha$ gedrehten Vektor $D_{\alpha }(v)\in \mathbb {R} ^{2}$ zuordnet:

Drehung eines Vektors $v\in \mathbb {R} ^{2}$ um den Winkel $\alpha$

Wir wollen uns jetzt davon überzeugen, dass $D_{\alpha }$ eine lineare Abbildung ist. Dazu müssen wir zeigen:

1. $D_{\alpha }$ ist additiv: Für alle $v,w\in \mathbb {R} ^{2}$ ist $D_{\alpha }(v+w)=D_{\alpha }(v)+D_{\alpha }(w)$.
2. $D_{\alpha }$ ist homogen: Für alle $v\in \mathbb {R} ^{2}$ und $\lambda \in \mathbb {R}$ ist $D_{\alpha }(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot D_{\alpha }(v)$.

Überprüfen wir zunächst die Additivität, also die Gleichung $D_{\alpha }(v+w)=D_{\alpha }(v)+D_{\alpha }(w)$. Addieren wir zwei Vektoren $v,w\in \mathbb {R} ^{2}$ zuerst und drehen ihre Summe $v+w$ anschließend um den Winkel $\alpha$, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir erst die Vektoren um den Winkel $\alpha$ drehen und im Anschluss die gedrehten Vektoren $D_{\alpha }(v)$ und $D_{\alpha }(w)$ addieren. Dies machen wir uns an folgenden beiden Videos klar:

• Erst drehen, dann addieren
• Erst addieren, dann drehen

Kommen wir nun zur Homogenität: $D_{\alpha }(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot D_{\alpha }(v)$. Strecken wir zunächst einen Vektor $v\in \mathbb {R} ^{2}$ um einen Faktor $\lambda \in \mathbb {R}$ und drehen das Resultat $\lambda \cdot v$ danach um den Winkel $\alpha$, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir als Erstes die Drehung um den Winkel $\alpha$ durchführen und daraufhin das Ergebnis $D_{\alpha }(v)$ um den Faktor $\lambda$ skalieren. Auch dies wird durch zwei Videos ersichtlich:

• Erst drehen, dann skalieren
• Erst skalieren, dann drehen

Somit handelt es sich bei Drehungen im $\mathbb {R} ^{2}$ um lineare Abbildungen.

Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen unterschiedlicher Dimension

Ein Beispiel einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit unterschiedlicher Dimension ist die folgende Projektion des Raums $\mathbb {R} ^{3}$ auf die Ebene $\mathbb {R} ^{2}$:

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2};\quad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

Wir prüfen nun, ob die Vektoraddition erhalten bleibt. Also ob für Vektoren $a,b\in \mathbb {R} ^{3}$ gilt

$f(a+b)=f(a)+f(b)$

Dies können wir direkt nachweisen:

${\begin{aligned}f(a+b)&=f\left({\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}a_{x}+b_{x}\\a_{y}+b_{y}\\a_{z}+b_{z}\end{pmatrix}}\right)\\[0.5em]&={\begin{pmatrix}a_{x}+b_{x}\\a_{y}+b_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{pmatrix}}\\[0.5em]&=f\left({\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}\right)+f\left({\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{pmatrix}}\right)=f(a)+f(b).\end{aligned}}$

Nun überprüfen wir die Homogenität. Für alle $\lambda \in \mathbb {R}$ und $a\in \mathbb {R} ^{3}$ soll gelten:

$f(\lambda \cdot a)=\lambda \cdot f(a).$

Es ist

${\begin{aligned}f(\lambda \cdot a)&=f\left(\lambda \cdot {\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}\lambda a_{x}\\\lambda a_{y}\\\lambda a_{z}\end{pmatrix}}\right)\\[0.5em]&={\begin{pmatrix}\lambda a_{x}\\\lambda a_{y}\end{pmatrix}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}=\lambda \cdot f\left({\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}\right)\\[0.5em]&=\lambda \cdot f(a).\end{aligned}}$

Damit ist die Projektion $f$ eine lineare Abbildung.

Eine nichtlineare Abbildung

Als nächstes untersuchen wir, ob es auch nicht lineare Abbildungen gibt. Hierzu betrachten wir die Normabbildung auf der Ebene, die jedem Vektor seine Länge zuordnet:

$\|\cdot \|_{2}\,\colon \,\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ;\quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Diese Abbildung ist keine lineare Abbildung, denn sie erhält weder die Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation. Dies zeigen wir mit Hilfe eines Gegenbeispiels:

Wir betrachten die Vektoren $(1,0)^{T}$ und $(0,1)^{T}\in \mathbb {R} ^{2}$. Wenn wir die beiden Vektoren zuerst addieren und danach abbilden, so erhalten wir

$\left\|{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\|_{2}=\left\|{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\|_{2}={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}.$

Nun bilden wir die Vektoren zuerst ab und addieren dann die Ergebnisse:

$\left\|{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\|_{2}+\left\|{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\|_{2}={\sqrt {1^{2}+0^{2}}}+{\sqrt {0^{2}+1^{2}}}={\sqrt {1}}+{\sqrt {1}}=2$

Also gilt

$\left\|{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\|_{2}\neq \left\|{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\|_{2}+\left\|{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\|_{2}$

Damit ist gezeigt, dass die Normabbildung nicht additiv ist. Dies reicht schon aus um zu zeigen, dass die Normalabbildung nicht linear ist.

Alternativ hätten wir auch zeigen können, dass die Normalabbildung nicht homogen ist. Es gilt nämlich

$\left\|(-1)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\|_{2}=\left\|{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\right\|_{2}={\sqrt {(-1)^{2}+0^{2}}}=1\neq -1=(-1)\cdot \left\|{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\|_{2}.$

Angewandte Beispiele

Lineare Abbildungen werden in vielen Bereichen verwendet, ohne dass wir uns dessen bewusst sind:

1. Lineare Abbildungen sind eine der einfachsten Formen einer Abbildung. So werden komplexere Abbildungen häufig durch lineare Abbildungen approximiert.
2. Der bekannteste Fall, in dem uns lineare Abbildungen das Leben erleichtern, sind Computergrafiken. Jedes Skalieren eines Fotos oder einer Grafik ist eine lineare Abbildung. Auch verschiedene Bildschirmauflösungen wurden letztlich nur linear abgebildet.
3. Suchmaschinen nutzen Pageranks einer Website, um ihre Suchergebnisse zu sortieren. „Mathe für Nicht-Freaks“, eine zufällige Seite aus dem Internet, erhält so zum Beispiel ein Ranking. Um den Pagerank einer Seite zu bestimmen, wird eine sogenannte Markov-Kette verwendet, die wiederum eine lineare Abbildung ist.

Strukturerhaltung bei linearen Abbildungen

→ Hauptartikel: Eigenschaften Linearer Abbildungen

Eine lineare Abbildung bzw. ein Vektorraumhomomorphismus erhält die Struktur des Vektorraums beim Abbilden. Dies zeigt sich in folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung $f:V\to W$:

• Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet: $f(0)=0$
• Inverse werden auf Inverse abgebildet: $f(-v)=-f(v)$
• Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
• Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
• Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
• Urbilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
• Das Bild eines Spanns ist der Spann der einzelnen Bildvektoren: $f(\operatorname {span} (M))=\operatorname {span} (f(M))$ ($M\subseteq V$ ist eine beliebige Menge)

Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form $f(x)=mx+t$ mit $m,t\in \mathbb {R}$ eingeführt. Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für $t=0$. So ist zum Beispiel für $m=1$ und $t=2$:

$f(x+y)=x+y+2\neq x+y+2+2=f(x)+f(y)$

Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form $f(x)=mx$ mit $m\in \mathbb {R}$. Die Funktionen der Form $f(x)=mx+t$ aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen: Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms $t$.

Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken.

Wir können jede affine Abbildunge $x\mapsto A(x)$ immer in eine lineare Abbildung $x\mapsto L(x)$ und eine Translation $x\mapsto x+t$ zerlegen. Es gilt also $A(x)=L(x)+t$. Weil die Translationen $x\mapsto x+t$ einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das $x+t$ mitzuschleppen.

Übungsaufgaben

Identität ist lineare Abbildung

Aufgabe (Identität ist lineare Abbildung)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Beweise, dass die Identität $\operatorname {id} :V\to V$ mit $\operatorname {id} (v)=v$ eine lineare Abbildung ist.

Lösung (Identität ist lineare Abbildung)

Die Identität ist additiv: Seien $v,w\in V$, dann

$\operatorname {id} (v+w)=v+w=\operatorname {id} (v)+\operatorname {id} (w)$

Die Identität ist homogen: Seien $\lambda \in K$ und $v\in V$, dann

$\operatorname {id} (\lambda \cdot v)=\lambda \cdot v=\lambda \cdot \operatorname {id} (v)$

Nullabbildung ist lineare Abbildung

Aufgabe (Nullabbildung ist lineare Abbildung)

Seien $V,W$ zwei $K$-Vektorräume. Zeige, dass die Nullabbildung $f:V\to W$, die alle Vektoren $v\in V$ auf den Nullvektor $0_{{}_{W}}$ abbildet, linear ist.

Lösung (Nullabbildung ist lineare Abbildung)

$f$ ist additiv: Seien $v_{1},v_{2}$ Vektoren in $V$. Dann

$f(v_{1}+v_{2})=0_{{}_{W}}=0_{{}_{W}}+0_{{}_{W}}=f(v_{1})+f(v_{2})$

$f$ ist homogen: Sei $v\in V$ und sei $\lambda \in K$. So folgt

$f(\lambda \cdot v)=0_{{}_{W}}=\lambda \cdot 0_{{}_{W}}=\lambda \cdot f(v)$

Damit folgt, die Nullabbildung linear ist.

Lineare Abbildungen zwischen den reellen Zahlen

Aufgabe (Lineare Abbildungen zwischen den reellen Zahlen)

Sei $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto m\cdot x+t$ mit $m,t\in \mathbb {R}$. Zeige: $g$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn $t=0$.

Lösung (Lineare Abbildungen zwischen den reellen Zahlen)

Sei zunächst $g$ eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss $g(0)=0$ gelten. Da $g(0)=m*0+t$ ist, können wir auch $g(0)=t$ schreiben. $t=0$ muss deshalb gelten, da die lineare Abbildung ansonsten den Ursprung nicht auf den Ursprung abbildet.

Sei nun $t=0$. Wir zeigen $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto m\cdot x$ ist linear:

Beweisschritt: Additivität

Seien $x$ und $y$ zwei beliebige reele Zahlen. Es ist

${\begin{aligned}&g(x+y)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\right.}\\[0.3em]=&m\cdot (x+y)\\[0.3em]=&m\cdot x+m\cdot y\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\right.}\\[0.3em]=&g(x)+g(y)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Homogenität

Sei $x$ und $\lambda$ zwei reele Zahlen. Es ist

${\begin{aligned}&g(\lambda \cdot x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\right.}\\[0.3em]=&m\cdot (\lambda \cdot x)\\[0.3em]=&m\cdot \lambda \cdot x\\[0.3em]=&\lambda \cdot (m\cdot x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\right.}\\[0.3em]=&\lambda \cdot g(x)\end{aligned}}$

Also ist $g$ genau dann eine lineare Abbildung, wenn $t=0$ ist.