Körper – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Ein Körper ist eine algebraische Struktur mit Addition und Multiplikation. Körper sind Ringe, bei denen jedes Element außer der Null ein multiplikatives Inverses bestitzt.

EinführungBearbeiten

Wir haben bereits die algebraische Struktur der Ringe kennengelernt. Zwei wichtige Beispiele für Ringe sind die ganzen Zahlen   und die rationalen Zahlen  . Diese beiden haben jedoch einen entscheidenden Unterschied. Dazu betrachten wir die Gleichung  . Diese Gleichung ist nicht mit   lösbar. Lassen wir aber zu, dass   eine rationale Zahl ist, so ist die Gleichung auf einmal lösbar! Wir können nämlich die Gleichung umstellen zu  . Allgemein ist die Gleichung   mit   und   immer über   lösbar, indem wir   setzen.

Was ist hier der entscheidende Unterschied zwischen   und  ? Die Antwort lautet: Ist  , so dürfen wir in   durch   teilen. In   ist das zwar manchmal möglich, aber nicht immer. Deshalb teilt man in der Grundschule mit Rest.

Teilen dürfen bedeutet dabei: Für alle  ,   existiert ein  , sodass  . Durch   zu teilen ist nichts anderes, als mit   zu multiplizieren. Statt   schreiben wir auch oft   oder  .

Allgemeiner nennen wir Ringe, in denen man durch jedes Element ungleich   teilen darf, Körper.

DefinitionBearbeiten

Definition (Körper)

Ein Ring   heißt Körper, falls   ist und für alle   ein   existiert, sodass  .

Wir schreiben dann   für  .

Hinweis

Um die Schreibweise   zu rechtfertigen, müssen wir noch beweisen, dass es nur ein solches   gibt. Dies geschieht im übernächsten Abschnitt.

Warum fordern wir, dass   gilt? Der einzige Ring, bei dem   gilt, ist der Nullring. Wir wollen nicht, dass der Nullring ein Körper ist.

Hinweis

Wenn klar ist, in welchem Körper wir rechnen, schreiben wir oft wie in   einfach nur   statt  ,   statt  ,   statt   und   statt  .

Äquivalente CharakterisierungBearbeiten

Satz (Alternative Charakterisierungen eines Körpers)

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1.   bildet unter den Verknüfungen   und   einen Körper
  2. Unter der Addition   bildet   die abelsche Gruppe   und unter der Multiplikation   bildet   die abelsche Gruppe  . Es existiert eine wohldefinierte Erweiterung der Multiplikation   zu einer Abbildung  , sodass   und   sich distributiv verhalten.

Beweis (Alternative Charakterisierungen eines Körpers)

Wir beweisen   und  .

Beweisschritt:  

Sei   eine Menge und seien  ,   zwei Verknüpfungen auf  , sodass   unter den beiden Verknüpfungen einen kommutativen Ring bildet. Weiterhin existieren für alle Elemente   multiplikative Inverse. Aus Punkt 1 der Definition des Rings folgt, dass   eine abelsche Gruppe ist. Nach Punkt 2 der Definition ist   unter der Multiplikation ebenfalls abgeschlossen, die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ, und es gibt ein unter der Multiplikation neutrales Element  . Seien   beliebig. Sei  . Da es ein zu   multiplikatives Inverses   in   geben muss, gilt   und folglich  . Das Produkt   muss also in   liegen. Wir können daher die Multiplikation zu einer Abbildung   einschränken. Die Multiplikation * ist gemäß unserer Annahme assoziativ und kommutativ, denn  bildet einen kommutativen Ring. Da   haben wir in   ebenfalls ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation. Außerdem existieren nach unserer Annahme für alle Elemente aus   multiplikative Inverse. Folglich ist   eine abelsche Gruppe. Da   ein Ring ist, verhalten sich   und die Erweiterung von   zu   distributiv.

Beweisschritt:  

Sei   eine Menge und seien  ,   Operationen auf  , die folgende Eigenschaften erfüllen:

  1. Unter   bildet   eine abelsche Gruppe
  2.   ist mit der Verknüpfung   eine abelsche Gruppe.
  3. Außerdem existiert eine Erweiterung der Multiplikation zu einer Abbildung , und diese ist distributiv bezüglich der Addition in  .

Wir wollen zeigen, dass   unter   und   einen Körper bildet und sich jedes Element   ein multiplikatives Inverses gibt.

To-Do:

Beweis fertig schreiben

EigenschaftenBearbeiten

Wir haben bereits gesehen, dass die rationalen Zahlen   einen Körper bilden. In den rationalen Zahlen gelten einige Rechenregeln. Zum Beispiel verhalten sich Addition und Multiplikation assoziativ, kommutativ und distributiv. Diese gelten für alle Ringe und somit für alle Körper. Wir wollen jetzt noch einige weitere Eigenschaften betrachten, die nicht nur für  , sondern für alle Körper gelten.

Eindeutigkeit der neutralen ElementeBearbeiten

In   sind die Zahlen   bzw.   dadurch ausgezeichnet, dass die Addition bzw. Multiplikation mit ihnen "nichts tut". Sie haben diese Eigenschaft und sind jeweils die einzigen rationalen Zahlen mit dieser Eigenschaft. Ähnliche Eigenschaften sind etwa für Gruppen und Ringe bekannt. Sie gelten analog auch für Körper:

Satz (Eindeutigkeit der neutralen Elemente)

In einem Körper sind das neutrale Element   der Addition sowie das neutrale Element   der Multiplikation eindeutig bestimmt. In anderen Worten:   ist das einzige Element von  , sodass   für alle  . Und   ist das einzige Element von  , sodass   für alle  .

Beweis (Eindeutigkeit der neutralen Elemente)

Jeder Körper ist ein Ring. Die Aussage folgt also aus der entsprechenden Aussage für Ringe für die Addition und Multiplikation.

Multiplikation mit Null ergibt NullBearbeiten

Die rationale Zahl   hat nicht nur die Eigenschaft, dass sie durch Addition "nichts tut", sondern auch, dass   für alle   gilt. Multiplikation mit   "annuliert" also alle rationalen Zahlen. Analoges gilt in allen Körpern:

Satz (Multiplikation mit Null ergibt Null)

Für alle Elemente   eines Körpers   gilt  .

Beweis (Multiplikation mit Null ergibt Null)

Dies folgt aus der äquivalenten Aussage für Ringe.

e=== Existenz und Eindeutigkeit von inversen Elementen ===

Satz (Existenz und Eindeutigkeit der additiv Inversen)

Zu jedem Element eines Körpers existiert genau ein unter der Addition inverses Element.

Beweis (Existenz und Eindeutigkeit der additiv Inversen)

Ein Körper ist ein Ring und somit eine Gruppe bezüglich der Addition. Die Aussage gilt also, da in Gruppen jedes Element genau ein Inverses hat.

Satz (Existenz und Eindeutigkeit der multiplikativ Inversen)

Zu jedem Nicht-Null-Element eines Körpers existiert genau ein multiplikativ Inverses.

Beweis (Existenz und Eindeutigkeit der multiplikativ Inversen)

Wir wissen aus der alternativen Charakterisierung, dass die Nicht-Null-Elemente eine Gruppe bezüglich der Multiplikation bilden. Die Aussage gilt also, da in Gruppen jedes Element genau ein Inverses hat.

Satz (Die Null besitzt kein multiplikativ Inverses)

Das Nullelement eines Körpers ist nicht multiplikativ invertierbar.

Beweis (Die Null besitzt kein multiplikativ Inverses)

Es gilt für alle  :   (dies haben wir oben gesehen). Da in Körpern   ungleich   ist, kann   also kein multiplikativ Inverses haben.

Körper sind IntegritätsbereicheBearbeiten

Integritätsbereiche sind Ringe, die die schöne Eigenschaft haben, dass ein Produkt von zwei Elementen nur dann Null ergeben kann, wenn bereits einer der Faktoren gleich Null ist. Körper sind ebenfalls Ringe mit einer schönen Eigenschaft, nämlich, dass man durch jedes Element ungleich Null teilen darf. Es stellt sich die Frage, wie diese schönen Eigenschaften zusammenhängen. Ist eine Eigenschaft vielleicht schöner als die andere?

Die Antwort lautet: Die Körpereigenschaft ist schöner als die Integritätsbereicheigenschaft, denn jeder Körper ist Integritätsbereich, aber nicht umgekehrt. Wir wollen dies nun beweisen.

Satz (Körper sind Integritätsbereiche)

Sei   ein Körper. Dann gilt für zwei Elemente  , dass aus   bereits   oder   folgt. Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche.

Beweis (Körper sind Integritätsbereiche)

Seien   mit  . Falls  , so sind wir fertig. Im Falle   existiert ein zu   bezüglich der Multiplikation inverses Element  . Damit erhalten wir

 

Somit folgt aus  , dass   ist.

Ein Beispiel für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, sind die ganzen Zahlen  . Tatsächlich haben wir die Existenz von   und die Definition von Körpern dadurch motiviert, dass man in   eben nicht immer teilen darf. Im Abschnitt über Quotientenkörper zeigen wir allerdings, dass man jedem Integritätsbereich zu einem Körper erweitern kann. Dies verläuft analog dazu, wie man   zu   erweitert.

BeispieleBearbeiten

Aus der Schule bekannte Körper und Nicht-KörperBearbeiten

Aus der Schule sind die Zahlenbereiche der natürlichen Zahlen  , der ganzen Zahlen  , der rationalen Zahlen   und der reellen Zahlen   bekannt. Wir wissen bereits, dass   kein Ring ist. Daher kann es insbesondere kein Körper sein. Im Ringartikel haben wir gesehen, dass   ein Ring ist. Allerdings haben wir in der Einleitung gesehen, dass nicht alle Elemente von   in   invertierbar sind. Tatsächlich sind die einzigen Einheiten von   die Elemente   und  .

Die rationalen Zahlen   sind die kleinste "Erweiterung" von  , die ein Körper ist. Darauf werden wir im Abschnitt über Quotientenkörper noch näher eingehen.

Die reellen Zahlen bilden ebenfalls einen Körper. Um dies zu beweisen, muss man die sehr analytische Definition von   verwenden. Wir verweisen deshalb auf Standardwerke zur Analysis wie etwa "Analysis 1" aus der beliebten Lehrbuchreihe "Mathe für Nicht-Freaks".

Restklassenkörper von  Bearbeiten

Wir haben im Artikel über Ringe gesehen, dass   einen Ring bildet für alle  . Aber wann ist   ein Körper? Die Antwort lautet:

Satz (Wann ist   ein Körper?)

  ist genau dann ein Körper, wenn   eine Primzahl ist.

Beweis (Wann ist   ein Körper?)

Beweisschritt:  

Sei also   mit  . Wir müssen zeigen, dass   oder   gilt. Da   gilt, gilt in  :

 

  ist ein Körper, also insbesondere ein Integritätsbereich. Also gilt in  , dass   oder  . Ohne Einschränkung ist  . Daraus folgt, dass   ein Teiler von   ist. Andererseits ist aber   ein Teiler von   und beide Zahlen sind positiv. Also gilt   und somit  .

Da   und   beliebig waren, folgt, dass   eine Primzahl ist.

Beweisschritt:  

Sei   eine Primzahl. Wir schreiben deshalb von nun an   statt  . Wir wissen bereits, dass   ein Ring ist. Nach der Definition von Körpern müssen wir also zeigen, dass   in  , und dass jedes Nicht-Null-Element von   ein multiplikatives Inverses besitzt.

Es gilt  , da   kein Teiler von   ist (Primzahlen sind ungleich  ).

Sei nun   beliebig mit  . Wir definieren

 

Unser Ziel ist zu zeigen, dass   surjektiv ist. Denn dann liegt insbesondere   im Bild, d.h. es existiert ein  , sodass  . Dieses   ist dann das Inverse zu  .

Da Definitions- und Wertebereich von   endlich und gleichmächtig sind, reicht es zu zeigen, dass   injektiv ist.

Dazu: Seien   und   aus   mit  . Das heißt, dass  . Das ist per Definition äquivalent dazu, dass   ein Teiler von   ist. Da   eine Primzahl ist, folgt, dass   ein Teiler von   oder von   ist. Wir wissen aber, dass nach Voraussetzung   gilt. Also teilt   nicht  . Somit muss   ein Teiler von   sein. Das heißt   und wir haben die Injektivität gezeigt.

Quotientenkörper von IntegritätsbereichenBearbeiten

Wir haben in der Einleitung gesehen, dass   einen großen Vorteil gegenüber   besitzt. Genauer gesagt sind Gleichung wie   mit festen Werten   und   über   stets lösbar. Wir konstruieren dafür die Lösung  .

Da eine ganze Zahl   gleich der rationalen Zahl   ist, ist   eine Teilmenge von  . Außerdem kann man jede rationale Zahl als Bruch von zwei ganzen Zahlen auffassen. Wir erzeugen also   aus  . Gleichzeitig erweitern wir dadurch   zu  . Dies hat den Sinn, dass alle linearen Gleichungen lösbar werden.

Diese Darstellung von rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen ist aber bekanntlich nicht eindeutig, denn wir können Brüche kürzen und erweitern. Für   mit   gilt   für alle  . Zwei Brüche   und   sind gleich genau dann, wenn wir   zu   erweitern können. Wenn wir   zu   erweitern können, finden wir ein  , sodass   und  . Es gilt dann  . Umgekehrt gilt auch, dass  , falls   (weil dann  . Ganz allgemein gilt also: Zwei Brüche   und   (mit   sind genau dann gleich, wenn   gilt. Daher kann man   auffassen als die Menge   versehen mit der Äquivalenzrelation  .

Die Summe von zwei Brüchen   und   ergibt  .

Wir wollen dieses Konzept jetzt von   auf allgemeine Integritätsbereiche verallgemeinern. Wir tun dies nur für Integritätsbereiche, damit der Nenner des Produktes zweier Brüche ungleich   ist. Genauer: Seien   irgendein Ring und   mit  . Dann wollen wir natürlich definieren:

 

Die Zahlen   und   sind nach Voraussetzung ungleich  . Damit das Objekt rechts wieder ein valider Bruch ist, muss   gelten. Das ist genau dann sichergestellt, wenn   Integritätsbereich ist.

Wir wollen die allgemeine Konstruktion nun formal aufschreiben. Zunächst müssen wir die Menge der "Brüche" von Elementen von   definieren. Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner, die beide aus   stammen. Allerdings soll der Nenner ungleich Null sein. Eine erste Idee wäre also, Brüche einfach also Paare aus   zu definieren. Wir müssen allerdings beachten, dass Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, als gleich aufgefasst werden. Dies motiviert folgende Definition.

Satz (Eine Äquivalenzrelation)

Sei   ein Integritätsbereich. Wir definieren eine Relation auf   via  .

Dies ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis (Eine Äquivalenzrelation)

Wir müssen zeigen, dass   reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Beweisschritt:   ist reflexiv

Sei  . Dann ist  , also folgt  . Damit ist die Reflexivität von   gezeigt.

Beweisschritt:   ist symmetrisch

Seien   sodass  . Dann ist nach Definition  , also auch  . Das bedeutet aber, dass  . Damit ist die Symmetrie von   gezeigt.

Beweisschritt:   ist transitiv

Seien  , sodass  . Dies bedeutet, dass   und  . Dann ist aber  . Da   ein Integritätsbereich ist, und  , können wir kürzen, und es gilt  . Daher gilt  . Damit ist die Transitivität von   gezeigt.

Die Menge der Brüche soll die Grundlage des Quotientenkörpers werden. Auf der Menge der Brüche wollen wir nun eine Addition und die Multiplikation definieren. Diese orientieren sich an den entsprechenden Operationen auf   wie oben dargestellt.

Definition (Quotientenkörper)

Sei   ein Integritätsbereich mit der oben definierten Äquivalenzrelation  . Wir definieren (als Menge)

 

Weiterhin definieren wir zwei Operationen auf   wie folgt. Seien  . Definiere

 

und

 

Nun zeigen wir, dass die Menge der Brüche mit diesen Operationen tatsächlich einen Körper bildet. Dabei müssen wir insbesondere darauf achten, dass die Operationen wohldefiniert sind. In unserem Fall heißt das, dass die Operationen unabhängig von der Darstellung eines Bruches als Paar von Zähler und Nenner sind.

Satz (Der Quotientenkörper ist ein Körper)

Sei   ein Integritätsbereich. Dann ist   ein Körper.

Beweis (Der Quotientenkörper ist ein Körper)

Wir zeigen zunächst die Wohldefiniertheit der Operationen und zeigen dann die Körperaxiome.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit von  

Wir zeigen nur die Wohldefinierheit "im ersten Argument". Die Wohldefiniertheit "im zweiten Argument" folgt analog. Seien dazu   und  . Dies bedeutet  . Wir müssen zeigen:

 

Dies ist per Definition äquivalent zu

 

Da   und   ein Integritätsbereich ist dürfen wir   kürzen. Die Aussage ist also äquivalent zu

 

Ausmultiplizieren liefert

 

Ersetzen wir nun   auf der linken Seite durch   erhalten wir

 

Dies ist eine wahre Aussage. Alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen. Also haben wir die Aussage gezeigt.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit von  

Wir zeigen wieder nur die Wohldefinierheit "im ersten Argument". Die Wohldefiniertheit "im zweiten Argument" folgt wieder analog. Seien dazu   und  . Dies bedeutet  . Wir müssen zeigen:

 

Dies ist per Definition äquivalent zu

 

Ersetzen wir nun   auf der linken Seite durch   erhalten wir

 

Dies ist eine wahre Aussage. Alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen. Also haben wir die Aussage gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität von  

Seien  . Es gilt

 

Andererseits ist

 

Wir müssen zeigen, dass die Elemente ganz rechts in den beiden Formeln gleich sind. Das heißt wir müssen zeigen:

 

Dafür reicht es wiederum zu zeigen:

 

Multipliziert man aus, so sieht man, dass beide Seiten gleich sind. Dies zeigt die Assozitativität von  .

Beweisschritt: Kommutativität von  

Seien  . Es gilt

 

Dies zeigt die Kommutativität von  .

Beweisschritt:   ist neutrales Element von  

Sei  . Dann gilt

 

Also ist   neutrales Element bezüglich  .

Beweisschritt:   ist inverses Element von   bezüglich  

Sei  . Dann gilt

 

Es gilt aber  , da  . Also ist   Inverses zu   bezüglich  .

Beweisschritt: Assoziativität von  

Seien  . Dann gilt

 

Damit ist die Assoziativität gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität von  

Seien  . Dann gilt

 

Damit ist die Kommutativität gezeigt.

Beweisschritt:   ist neutrales Element von  

Sei  . Dann gilt

 

Also ist   neutrales Element bezüglich  .

Beweisschritt:   ist inverses Element von   bezüglich  

Sei  . Dann ist

 

Es ist aber  , also  . Also ist   Inverses von   bezüglich  .

Beweisschritt: Distributivität von   über  

Seien  . Es gilt

 

Andererseits gilt

 

Damit Gleichheit gilt, muss gelten:

 

Nach Ausmultiplizieren sieht man das sofort. Also ist   distributiv über  .

Damit ist gezeigt, dass   ein Körper ist.

Die Äquivalenzklassen von Tupeln wollen wir nun auch in der altbekannten Bruchschreibweise schreiben: Statt   schreiben wir von nun an also einfach  .

Wir erinnern uns außerdem daran, dass wir eine ganze Zahl   als rationale Zahl   auffassen können. Genauso fassen wir ein Element   als das Element   von   auf. Das "verträgt" sich mit den Operationen von   und  . Es ist zum Beispiel   dasselbe wie  . Es ist also egal, ob wir "in  " addieren und dann den Bruch bilden, oder erst die Brüche bilden und diese dann addieren.

Um auf unsere Motivation zurückzukommen, können wir den Körper   der rationalen Zahlen neu definieren:

 

TeilkörperBearbeiten

To-Do:

Teilkörper sind Unterringe, die Körper sind.

CharakteristikBearbeiten

Wir haben den Körperbegriff am Beispiel   motiviert. Im Abschnitt Eigenschaften haben wir auch gesehen, dass in jedem Körper gewisse Eigenschaften gelten, die wir vom Rechnen in   gewohnt sind. Allerdings haben manche Körper auch Eigenschaften, die auf den ersten Blick etwas seltsam erscheinen.

Ein Beispiel dafür sind Restklassenkörper. Wir haben oben gezeigt, dass   ein Körper ist, falls   eine Primzahl ist. In diesem Körper gilt dann, dass  . In   oder   ist sowas natürlich nicht der Fall. Dies motiviert den Begriff der Charakteristik.

To-Do:

Wenn man Körperhomomorphismen voraussetzt, kann man noch zusätzlich motivieren (oder unten als Eigenschaft anführen), dass Körperhomorphismen nur zwischen Körpern gleicher Charakteristik existieren können, und die Kategorie der Körper durch die Charakteristik somit in "disjunkte Welten" aufgeteilt wird

Definition (Charakteristik eines Körpers)

Sei   ein Körper. Die Charakteristik   von   ist die kleinste die kleinste natürliche Zahl  , sodass  , sofern solch eine Zahl existiert. Falls eine solche Zahl nicht existiert, so setzen wir  .

Satz (Die Charakteristik ist Null oder eine Primzahl)

Sei   ein Körper. Dann gilt   oder   ist eine Primzahl.

Beweis (Die Charakteristik ist Null oder eine Primzahl)

Falls  , so sind wir fertig. Sei also  . Wir wollen zeigen, dass   eine Primzahl ist. Es gilt  , da per Definition   gilt. Schreibe   mit  . Wir müssen zeigen, dass   oder  . Setze   und  . Dann ist  .

Da   ein Körper, und somit insbesondere Integritätsbereich ist, gilt   oder  . Ohne Einschränkung sei  . Da nach Definition   die kleinste Zahl ist, sodass  , folgt  . Andererseits gilt  , denn   und  . Also gilt   und  .

Da   und   beliebig waren, ist   also eine Primzahl.

Beispiel (Beispiele für die Charakteristik von Körpern)

Die Körper  ,   und   haben Charakteristik  . Für   haben wir das bereits angemerkt. Für   oder   ist das auch nicht überraschend, da wir   als Teilmenge (streng genommen als "Teilkörper") von   auffassen können. Wenn wir also die   in   mehrmals aufaddieren, rechnen wir eigentlich nur in  . Und da  , wird diese Summe niemals  .

Für die Restklassenkörper   (mit   Primzahl) gilt  . Das liegt daran, dass   durch   teilbar ist. Also gilt  .

Körperbeweise führenBearbeiten

Wir haben Körper definiert als Ringe, die besondere Eigenschaften erfüllen. Um also nachzuweisen, dass eine Menge zusammen mit zwei Operationen einen Körper bildet, müssen wir also die Ringaxiome zeigen und diese Eigenschaften. Wir wollen hier nochmal auf einen Blick zusammenfassen, welche Eigenschaften das alles umfasst.

Ein Körper ist eine Struktur, die aus einer Menge   und zwei verschiedenen inneren Verknüpfungen besteht:

 

Die Verknüpfungen sind Abbildungen von   nach  , sie bilden Paare von Elementen aus   auf Elemente aus   ab. Wir bezeichnen sie mit „ " und „ " und nennen sie Addition und Multiplikation.

Die Struktur muss dabei folgende Bedingungen erfüllen:

  1.   bildet unter der Verknüpfung   eine abelsche Gruppe, das heißt
    •   ist abgeschlossen unter  
    •   ist assoziativ und kommutativ.
    • Es existiert ein additives neutrales Element  , sodass für alle   gilt:  
    • Für alle Elemente   existiert ein additives inverses Element   in  , sodass gilt:  .
  2. Die Multiplikation   erfüllt folgende Eigenschaften:
    •   ist abgeschlossen unter  .
    • Die Verknüpfung   ist assoziativ und kommutativ
    • Es existiert ein multiplikatives neutrales Element  , sodass für alle   gilt: . Es muss dabei gelten  . Man kann zeigen, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist.
    • Zu jedem Element  , außer dem additiven neutralen Element  , existiert ein multiplikatives Inverses Element   in  , sodass gilt  .
  3. Man kann   und   miteinander verknüpfen, dabei verhalten sie sich distributiv. Das heißt für alle Elemente   gilt:   und